pomoc do 1 kartkowki

background image

ANALIZA SCHEMATÓW BLOKOWYCH

OPIS UKŁADÓW ZA POMOCĄ ZMIENNYCH STANU

Zadanie 1 (Zmienne stanów i schematy blokowe układów)

Problem:
Wyznaczyć transmitancję od u do y układu:


Rozwiązanie:

1) Przesuwamy węzeł za blok G2:

background image

2) Łączymy szeregowo G1 i G2 :

3) Łączymy równolegle H1 i 1/G2:

4) Przesuwamy węzeł przed blok H1+1/G2:

5) Łączymy szeregowo H2 i H1 + 1/G2:

background image


6) Upraszczamy połączenie równoległe po prawej stronie:




7) Upraszczamy sprzężenie zwrotne:


8) Łączymy szeregowo pozostałe dwa układy:

Po podstawieniu poszczególnych transmitancji do wzoru otrzymamy transmitancje wypadkową:

1

2

3

2

1

2

)

(

2

3

4

2

+

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

s

G

background image

Zadanie 2 (Zmienne stanów i schematy blokowe układów)

Problem:
Napisać równanie stanu i równania wyjścia dla zmiennych stanu z rysunku:


Rozwiązanie:

+

=

=

+

=

+

=

=

=

=

=

)

(

4

1

)

(

)

(

1

)

(

1

2

1

3

3

1

4

4

2

4

2

2

3

1

1

1

2

4

4

2

1

x

u

s

x

u

G

x

x

x

s

x

x

H

x

x

s

x

H

x

x

s

x

G

x

(1)



+

=

=

+

+

=

=

=

u

x

x

x

s

x

u

x

x

s

x

x

x

s

x

x

s

x

x

s

4

3

4

3

4

4

4

2

3

1

2

4

1

4

4

2

1

(2)

)

(

)

(

4

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

)

(

4

3

4

4

2

3

1

2

4

1

t

u

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

+

=

+

=

=

=

(3)

background image

Równanie stanu:

=

4

3

2

1

x

x

x

x

&

&

&

&

*

4

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

4

4

4 3

4

4

4 2

1

A

+

4

3

2

1

x

x

x

x

{

u

B

*

1

0

0

0

(4)

Równanie wyjścia:

4

2

1

x

x

x

u

D

x

C

y

+

+

=

+

=

(5)

[

]

=

4

3

2

1

1

0

1

1

x

x

x

x

y

(6)

Przykłady przekształcania transmitancji na zmienne stanu

Metoda bezpośrednia


Przykład 1

Równanie zmiennych stanu

[ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

u

x

y

u

x

x

y

u

x

x

u

x

x

+

=

+

=

=

+

=





+

=

1

1

1

1

1

1

1

1

]

)

(

1

)

(

)

(

)

(

1

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

1

1

1

1

1

1

1

)

(

s

E

s

s

U

s

E

s

E

s

s

E

s

s

E

s

U

s

E

s

s

U

s

E

s

Y

s

E

s

Y

s

s

U

s

U

s

Y

s

s

s

s

s

s

s

s

G

=

+

=





 +

=

=

+

=

=

=

+

=

+

=

+

+

=

Mnożąc licznik i mianownik transmitancji przez s

-n

otrzymamy

n

n

n

n

n

n

s

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

+

+

+

+

+

+

+

=

=

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

...

1

...

)

(

)

(

)

(

prz

y czym Y(s) i U(s) są odpowiednio transformatą
Laplace’a odpowiedzi i wymuszenia.
W zależności mamy:

)

(

)

...

(

)

(

0

1

1

1

1

s

E

s

b

s

b

s

b

s

Y

n

n

n

+

+

+

=

przy czym

n

n

n

s

a

s

a

s

a

s

U

s

E

+

+

+

+

=

0

1

1

1

1

...

1

)

(

)

(

Zależność możemy również zapisać w postaci:

)

(

)

...

(

)

(

)

(

0

1

1

1

1

s

E

s

a

s

a

s

a

s

U

s

E

n

n

n

+

+

+

=


background image

x

x

1

E(s) s

-1

E(s)

U(s)

Y(s)

-1



Przykład 2

[

]

[

]

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

3

)

(

2

3

2

)

(

)

(

)

(

3

2

)

(

)

(

3

2

)

(

1

)

(

)

(

)

(

1

3

2

1

3

2

)

(

)

(

1

3

2

)

(

=

+

+

=

=

+

+

+

=

+

=

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

s

s

E

s

s

E

s

U

s

E

s

s

s

E

s

U

s

E

s

s

s

U

s

s

E

s

s

E

s

s

s

E

s

Y

s

E

s

s

s

Y

s

E

s

s

s

Y

s

s

s

U

s

U

s

Y

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

Y

s

s

s

s

G

D

C

Równanie zmiennych stanu –
W następnych przykładach nie
będzie one wyprowadzone.

[ ]

[

]

[ ] [ ]

u

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

u

x

x

x

x

x

y

x

x

+

=





+

=



+

=

+

=

=

+

=

=

0

2

3

1

0

1

1

1

0

2

3

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

B

A










background image

2

E(s) s

-1

E(s) s

-2

E(s)

U(s)

Y(s)

2

x

1

x

3

-1

-1

Przykład 3

[

]

[

]

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

3

2

3

2

3

2

2

2

3

2

2

2

2

)

(

60

)

(

47

)

(

12

)

(

)

(

60

47

12

1

)

(

)

(

5

4

)

(

)

(

)

(

5

4

)

(

60

47

12

1

)

(

)

(

)

(

60

47

12

1

5

4

60

47

12

1

5

4

)

(

)

(

60

47

12

1

5

4

60

35

5

12

7

1

5

4

)

5

)(

12

4

3

(

1

5

4

)

5

)(

4

)(

3

(

1

5

4

)

(

=

+

+

+

=

+

+

=

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

s

s

E

s

s

E

s

s

E

s

U

s

E

s

s

s

s

E

s

U

s

s

s

s

E

s

Y

s

E

s

s

s

s

Y

s

s

s

s

U

s

U

s

Y

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

Y

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

G



-47

5

-12

-60

4

U(s)

E(s)

E(s) s

-1

E(s) s

-2

E(s) s

-3

Y(s)





background image

Przykład 4

Problem:
Układ jednowymiarowy o schemacie ogólnym przedstawionym na rysunku 1., o transmitancji G(s) opisać
równaniami stanu i równaniami wyjścia. Narysować schemat blokowy wynikający z obliczeń zmiennych
stanów.

Schemat układu jednowymiarowego
o wejściach r=1 , wyjściach m=1 i
o n=3 równaniach stanu

x

x

t )

y(t)

u(t)

A

B

C

Rys.1Schemat ogólny układu

Transmitancja G(s) to stosunek
transmitancji sygnału wyjściowego
Y(s) do transmitancji sygnału
sterującego U(s).

Rozwiązanie:

( )

( )

( )

1

2

2

2

1

3

2

3

2

+

+

+

+

+

=

=

s

s

s

s

s

s

U

s

Y

s

G

(1)

Mnożymy licznik i mianownik
transmitancji G(s) przez
odwrotność najwyższej potęgi w
mianowniku

( )

3

3

1

1

2

3

2

1

2

2

2

1

3

s

s

s

s

s

s

s

s

G

+

+

+

+

+

=

(2)

( )

( )

( )

3

2

3

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1

3

s

s

s

s

s

s

s

U

s

Y

s

G

+

+

+

+

+

=

=

(3)

Wprowadzamy zmienną E(s) i
przekształcając równanie (3)
otrzymujemy poniższą zależność

( )

( )

( )

3

2

3

2

1

2

1

1

1

3

1

1

2

1

2

s

s

s

s

Y

s

s

s

s

U

s

E

+

+

=

+

+

+

=

(4)

Równania (5) i (6) otrzymujemy
przez wymnożenie stronami
równania (4)

( )

( )

( )

( )

( )

3

2

1

1

2

1

2

s

s

E

s

s

E

s

s

E

s

E

s

U

+

+

+

=

(5)

( )

( )

( )

( )

3

2

1

2

1

1

3

s

s

E

s

s

E

s

s

E

s

Y

+

+

=

(6)

Przekształcając równanie (5) otrzymujemy:

( )

( ) ( )

( )

( )

2

:

1

1

2

1

2

3

2

s

s

E

s

s

E

s

s

E

s

U

s

E

=

(7)

( )

( )

( )

( )

( )

3

2

1

2

1

1

1

2

1

s

s

E

s

s

E

s

s

E

s

U

s

E

=

(8)






background image



Na podstawie równania (8) wyznaczamy równania stanu w postaci wektorowej:

2

1

1x

x

=

(9)

3

2

1x

x

=

(10)

x

E

W równaniach (9),(10),(11)
występują poniższe
podstawienia:

( )

3

=

s

( )

3

2

1

x

x

s

E

s

=

=

( )

2

1

1

1

x

x

s

E

s

s

=

=

( )

1

1

1

1

x

s

E

s

s

s

=

( )

1

2

3

3

2

1

2

1

2

1

x

x

x

s

U

x

=

( )

s

U

x

x

x

x

2

1

2

1

2

1

3

2

1

3

+

=

(11)

Równanie stanu w postaci wektorowo-macierzowej:

( )

s

U

x

x

x

x

x

x

+

=

2

1

3

2

1

2

1

2

1

3

2

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

(12)

Macierz stanu o wymiarach
n x n (13)

=

2

1

2

1

1

1

0

0

0

1

0

A

(13)

=

2

1

0

0

B

(14)

Macierz sterowania o
wymiarach n x r (14)

Równanie stanu w uproszczonej postaci:

( )

( )

( )

t

Bu

t

Ax

t

x

+

=

(15)

Równanie wyjścia (16)
powstało po podstawieniu do
równania (6) następujących
wyrażeń:

( )

3

1

x

s

E

s

=

( )

2

1

1

x

s

E

s

s

=

( )

1

1

1

1

x

s

E

s

s

s

=

Równanie wyjścia powstało po przekształceniu równania (6):

3

2

1

3

2

x

x

x

y

+

+

=

(16)

Równanie wyjścia w postaci macierzowej:

[

]

( )

s

U

x

x

x

y

+

=

0

3

1

2

3

2

1

(17)

[

]

3

1

2

=

C

(18)

0

=

D

(19)

Macierz wyjścia o wymiarach
m x n


Równanie wyjścia w uproszczonej postaci:

y(t)=Cx(t) (20)

Stała macierz transformacji o
wymiarach m x r

background image


ys.2 Schemat blokowy układu regulacji spełniający równania stanu i wyjścia dla transmitancji G(s).

u(t)

y(t)

1

x

1

2

= x

x

2

3

= x

x

3

x

2

1

2

1

2

1

2

2

1

3

R


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Pomoc do nauki na mieszanki v1 0 1
[LAB5]Tutorial do kartkówki
BEP wieloasortymentowa produkcja rozwiązanie szczególne pomoc do zadania domowego formuły
pomoc do projektu
Marynata do kartkówki z grilla
Pomoc do testu
pomoc do referatu
Pomoc do cw 3
PYTANIA DO KARTKÓWKI NR 5, 2013
Lekarska pomoc do samobójstwa
pomoc do egz
pomoc do stozkowych
Pomoc do MATLABA
pomoc do pracy łukasza, Studia, Doktryny pedagogiczne
zakładam firme mapa myśli - pomoc do filmu, Psychologia, OHP
Pytania do kartkowki stropodachy, Politechnika Krakowska, V Semestr 2, Budownictwo ogólne, Kartkowka
analityczna teoria do 3 kartkowki
POMOC DO OBSERWACJI NIEBA W SIERPNIU, NAUKA, geografia, Geografia(1)
Pomoc do arkuszy kalkulacyjnych v1

więcej podobnych podstron