Dewiator symetrycznego tensora II walencji – pierwszy i drugi niezmiennik
Dowolny symetryczny tensor II walencji, w danej bazie reprezentowany macierzą
11
12
13
12
22
23
13
23
33
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
σ
przedstawiamy w postaci sumy tensora kulistego i dewiatora:
m
σ
=
+
σ
I S
Zachodzi
(
11
22
33
1
1
1
3
3
3
m
ii
tr
)
σ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
+
+
σ
, stąd składnik kulisty tensora
σ (tensor kulisty)
ma postać
11
22
33
11
22
33
11
22
33
1
1
1
0
0
3
3
3
1
1
1
0
0
3
3
3
1
1
1
0
0
3
3
3
m
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
I
,
zaś dewiator
11
22
33
12
13
12
11
22
33
23
13
23
11
22
33
2
1
1
3
3
3
1
2
1
3
3
3
1
1
2
3
3
3
dev
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
−
+
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
S
σ
σ
.
Pierwszy niezmiennik – ślad dewiatora tensora
σ
11
22
33
0
ii
I
tr
S
S
S
S
=
=
=
+
+
=
S
S
Z wyrażenia na drugi niezmiennik dowolnego tensora
σ:
( )
(
)
2
2
1
1
2
2
ii
jj
ij
ji
II
tr
tr
σ σ
σ σ
⎡
⎤
=
−
=
−
⎣
⎦
σ
σ
σ
wynika wzór określający drugi niezmiennik dewiatora tego tensora:
2
1
1
2
2
ij
ij
II
tr
S
= −
= −
S
S
S , przy założeniu,
że
σ i S są symetryczne.
Obliczenie drugiego niezmiennika dewiatora dowolnego tensora
σ, względem jego składowych
σ
ij
Sposób I – rozwinięcie wzoru
1
2
ij
ij
II
S
= −
S
S . Obliczenie pomocnicze:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
11
22
33
12
23
31
2
2
2
2
2
2
11
22
33
11
22
33
11
22
33
12
23
31
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
9
9
9
1
4
4
2
4
9
1
4
4
4
2
9
1
9
ij
ij
S S
S
S
S
S
S
S
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
=
+
+
+
+
+
=
=
−
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
−
+
+
+
(
)
2
2
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
22
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
2
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
22
22
22
22
33
33
33
33 11
11
12
23
31
11
4
2
4
4
2
2
2
1
6
6
6
6
6
6
2
2
2
9
1
2
2
2
2
2
2
3
1
3
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
+
+
−
−
+
+
+
=
=
+
+
−
−
−
+
+
+
=
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
=
=
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
22
22
33
33
11
12
23
31
6
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
−
+
−
+
−
+
+
+
⎣
⎦
Stąd
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
11
22
22
33
33
11
12
23
31
1
1
6
2
6
ij
ij
II
S S
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
= −
= −
−
+
−
+
−
+
+
+
⎣
⎦
S
Sposób II – drugi niezmiennik tensora jako suma tzw. minorów głównych macierzy
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
22
23
11
13
11
12
2
2
2
11 22
22 33
33 11
12
23
31
23
33
13
33
12
22
11
22
33
11
22
33
11
22
33
11
22
33
2
2
2
11
22
33
11
22
33
12
23
31
2
2
11
22
33
1
1
2
2
2
9
9
1
2
2
9
1
2
2
9
S
S
S
S
S
S
II
S S
S S
S S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
+
−
−
+
−
−
+
+
+
=
=
−
−
+
S
(
)
2
+
(
)
(
)
(
)
2
11
22
22
33
33 11
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
2
2
2
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
2
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
11
22
5
1
2
2
5
9
1
2
2
5
9
1
3
3
3
3
3
3
9
1
2
2
6
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
−
−
+
+
−
−
−
+
−
+
+
−
+
−
−
−
+
+
+
+
=
=
−
−
−
+
+
+
+
+
+
=
= −
+
(
)
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
2
2
2
2
11
22
22
33
33
11
12
23
31
2
2
2
2
1
6
6
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
−
−
−
+
+
+
=
⎡
⎤
= −
−
+
−
+
−
+
+
+
⎣
⎦
2
Wyprowadzenie przy użyciu prostszych oznaczeń:
a
d
e
d
b
f
e
f
c
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
σ
,
(
)
1
1
3
3
m
tr
a b c
σ
=
=
+ +
σ
,
1
1
1
0
0
3
3
3
1
1
1
0
0
3
3
3
1
1
1
0
0
3
3
3
m
a
b
c
A
a
b
c
a
b
c
⎡
⎤
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
I
,
2
1
1
3
3
3
1
2
1
3
3
3
1
1
2
3
3
3
a
b
c
d
e
d
a
b
c
f
e
f
a
b
c
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
+
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
S
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
11
22
33
12
23
31
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
9
9
9
1
1
4
4
2
4
4
4
4
2
9
9
1
4
2
4
4
2
2
2
9
1
6
6
6
6
6
6
2
9
ij
ij
S S
S
S
S
S
S
S
a b c
a
b c
a b
c
d
e
f
a
b
c
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
d
e
f
a
b
c
ab
bc
ca
d
=
+
+
+
+
+
=
=
− −
+
− +
−
+
− − +
+
+
+
=
=
+
+ −
+
−
+
+
+ −
−
+
+
+
+
+
−
−
+
+
+
=
=
+
+
−
−
−
+
+
(
)
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
1
6
3
e
f
a
ab b
b
bc
c
c
ca
a
d
e
f
a b
b c
c a
d
e
f
+
+
=
=
−
+
+
−
+ + −
+
+
+
+
=
⎡
⎤
=
−
+ −
+ −
+
+ +
⎣
⎦
Sposób I -
Stąd
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
6
2
6
ij
ij
II
S S
a b
b c
c
a
d
e
f
⎡
⎤
= −
= −
−
+ −
+ −
+
+ +
⎣
⎦
S
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
22
23
11
13
11
12
2
2
2
11 22
22 33
33 11
12
23
31
23
33
13
33
12
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
9
9
1
2
2
9
1
2
2
5
9
1
2
2
5
9
1
2
2
9
S
S
S
S
S
S
II
S S
S S
S S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
a b c
a
b c
a
b c
a b
c
a b
c
a b c
d
e
f
a
b
c
ab bc ca
a
b
c
ab
bc ca
a
b
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
− −
− +
− +
− +
−
− − +
+
+
− − +
− − +
+ +
=
=
−
−
+ +
−
−
+
+
−
−
−
+
−
+
+
−
+
−
S
(
)
=
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
1
3
3
3
3
3
3
9
1
2
2
2
2
2
2
6
1
6
6
c
ab bc
ca
d
e
f
a
b
c
ab
bc
ca
d
e
f
a
b
c
ab
bc
ca
d
e
f
a b
b c
c a
d
e
f
−
−
+
+
+ +
=
=
−
−
−
+
+
+
+
+ +
=
= −
+
+
−
−
−
+
+ +
=
⎡
⎤
= −
−
+ −
+ −
+
+ +
⎣
⎦
Sposób II -
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Mikrobiologia i parazytologia zestaw 18, Pielęgniarstwo, II rok, Mikrobiologia i parazytologia
18 entropia i II zasada termodynamiki
PATOMORFOLOGIA wykład 18, PATOMORFOLOGIA wykład 18 (26 II 01)
D. 18, Prawo II rok UMK, Prawo rzymskie UMK - kazusy
System ubezpieczeń społecznych, ART 18 SystUbezpSpoł, II UZP 1/10 - z dnia 21 kwietnia 2010 r
Pytania nr 5 (18), sem II, Podstawy Teorii Okrętów - Wykład.Laboratorium, Laboratorium nr 5 (18) - P
III.PRZEMIANY CYWILIZACYJNE W LATACH 1918-1939, 18.Gospodarka II Rzeczypospolitej, Marek Biesiada
Material na zjazd 18 kwietnia, II rok, Fizjologia
GOJR - 18 kwietnia, II semestr
Mikrobiologia i parazytologia zestaw 18, Pielęgniarstwo, II rok, Mikrobiologia i parazytologia
18 entropia i II zasada termodynamiki
HAIR STYLE SR P 18 55 II
HAIR STYLE SR P 18 55 II
Ekonomika ochrony srodowiska wyklad 18.04.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, Ek
Rozporzadzenie z 18 stycznia 2005 MENiS II, ROZPORZĄDZENIA I USTAWY
Sprawozdanie ćw 18, Tż, Analiza żywności II, Sprawozdania
makroekonomia II 18.10, makroekonomia II
więcej podobnych podstron