Dewiator symetrycznego tensora II walencji – pierwszy i drugi niezmiennik
Dowolny symetryczny tensor II walencji, w danej bazie reprezentowany macierzą
11
12
13
12
22
23
13
23
33
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
σ
przedstawiamy w postaci sumy tensora kulistego i dewiatora:
m
σ
=
+
σ
I S
Zachodzi
(
11
22
33
1
1
1
3
3
3
m
ii
tr
)
σ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
+
+
σ
, stąd składnik kulisty tensora
σ (tensor kulisty)
ma postać
11
22
33
11
22
33
11
22
33
1
1
1
0
0
3
3
3
1
1
1
0
0
3
3
3
1
1
1
0
0
3
3
3
m
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
I
,
zaś dewiator
11
22
33
12
13
12
11
22
33
23
13
23
11
22
33
2
1
1
3
3
3
1
2
1
3
3
3
1
1
2
3
3
3
dev
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
−
+
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
S
σ
σ
.
Pierwszy niezmiennik – ślad dewiatora tensora
σ
11
22
33
0
ii
I
tr
S
S
S
S
=
=
=
+
+
=
S
S
Z wyrażenia na drugi niezmiennik dowolnego tensora
σ:
( )
(
)
2
2
1
1
2
2
ii
jj
ij
ji
II
tr
tr
σ σ
σ σ
⎡
⎤
=
−
=
−
⎣
⎦
σ
σ
σ
wynika wzór określający drugi niezmiennik dewiatora tego tensora:
2
1
1
2
2
ij
ij
II
tr
S
= −
= −
S
S
S , przy założeniu,
że
σ i S są symetryczne.
Obliczenie drugiego niezmiennika dewiatora dowolnego tensora
σ, względem jego składowych
σ
ij
Sposób I – rozwinięcie wzoru
1
2
ij
ij
II
S
= −
S
S . Obliczenie pomocnicze:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
11
22
33
12
23
31
2
2
2
2
2
2
11
22
33
11
22
33
11
22
33
12
23
31
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
9
9
9
1
4
4
2
4
9
1
4
4
4
2
9
1
9
ij
ij
S S
S
S
S
S
S
S
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
=
+
+
+
+
+
=
=
−
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
−
+
+
+
(
)
2
2
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
22
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
2
2
2
2
11
22
33
11
22
22
33
33 11
12
23
31
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
22
22
22
22
33
33
33
33 11
11
12
23
31
11
4
2
4
4
2
2
2
1
6
6
6
6
6
6
2
2
2
9
1
2
2
2
2
2
2
3
1
3
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
+
+
−
−
+
+
+
=
=
+
+
−
−
−
+
+
+
=
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
=
=
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
22
22
33
33
11
12
23
31
6
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
−
+
−
+
−
+
+
+
⎣
⎦
Stąd
(
) (
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
11
22
22
33
33
11
12
23
31
1
1
6
2
6
ij
ij
II
S S
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
⎡
⎤
= −
= −
−
+
−
+
−
+
+
+
⎣
⎦
S
