Politechnika Lubelska

Katedra Automatyki i Metrologii

Laboratorium

Podstaw automatyki

Ć

wiczenie nr 5

Regulacja impulsowa

Lublin 2011

5.

Regulacja impulsowa

W technice sterowania często obok sygnałów ciągłych można spotkać sygnały dyskretne.
Dyskretyzacja sygnałów w ogólności może polegać na dyskretyzacji wartości sygnału lub na
dyskretyzacji czasu.

Sygnały dyskretne, występujące jedynie w określonych chwilach czasu, nazywamy
impulsowymi. Stosowanie techniki impulsowej wynika ze względów technicznych, ponieważ
pozwala na:

•

Uproszczenie konstrukcji urządzeń

•

Uzyskanie większej odporności na zakłócenia

•

Większe wykorzystanie mocy obliczeniowej urządzeń

Istnieją układy, z których zasady działania wynika konieczność stosowania układów

impulsowych jak na przykład:

•

Urządzenia realizowane w technice cyfrowej

•

Matematyczne układy cyfrowe

W teorii sterowania rozpatrywanie układów impulsowych wynika z zastosowań tanich urządzeń
cyfrowych takich jak sterowniki programowalne i innych urządzeń swobodnie programowalnych
sterujących procesami przemysłowymi. Zastosowanie techniki cyfrowej w wielu przypadkach
pozawala na polepszenie jakości regulacji w stosunku do układów ciągłych.

5.1

Podstawy teorii układów impulsowych

Przez układ impulsowy rozumie się układ, w którym występują sygnały impulsowe Nie zawsze w
układach impulsowych występują tylko i wyłącznie sygnały impulsowe, mogą występować także
sygnały ciągłe.

Przekształcenie sygnału ciągłego w sygnał impulsowy nazywa się modulacją impulsową, a

urządzenie dokonujące modulacji impulsowej nazywamy - impulsatorem. Podstawowe rodzaje
modulacji impulsowej są przedstawione na rysunku 5.1.

W technice sterowania sygnały impulsowe często odziaływują na ciągłe obiekty, dlatego też

najczęściej stosowaną jest modulacja pola impulsu tzn. modulacja amplitudy (przy stałej
szerokości impulsu - stałym czasie impulsowania) lub modulacja szerokości (przy stałej
amplitudzie).

Uśrednienie ciągu impulsów odbywa się w obiekcie dynamicznym o właściwościach filtru

dolnoprzepustowego. Przykładem obiektu będącego filtrem dolnoprzepustowym jest obiekt o
charakterze inercyjnym.

Impulsatory

Przez impulsator idealny rozumie się człon funkcjonalny zamieniający sygnał ciągły y(t) na

sygnał impulsowy y

p

*(t), będący ciągiem impulsów Dirac’a o polu mającym wartość równą wartości

sygnału ciągłego y(t) w danej chwili czasu (t).Operacja impulsowania obrazowana jest na schemacie
przez klucz idealny.

Rys.5.1. Różnorodne sposoby zamiany sygnału ciągłego w impulsowy

a)

sygnał ciągły,

b)

sygnał impulsowy z modulacją amplitudy,

c)

sygnał impulsowy z modulacją szerokości impulsu,

d)

sygnał impulsowy o kształcie trójkątnym z modulacją amplitudy i
kwantowaniem.

Oprócz przedstawionych na Rys.5.1. modulacji występuje jeszcze: modulacja częstotliwości
i modulacja fazy.

a)

b)

c)

d)

n T

p

n T

p

n T

p

n T

p

Idealny sygnał impulsowy moż

gdzie :

y(n·T

p

) - jest szeregiem warto

wskaź
impulsowania
nT

p

) -

Impulsator idealny liniowy
połączenie impulsatora idealnego

W praktycznym zastosowaniu najcz
impulsatorem. Wytwarza on, co okres
kolejnych impulsów są proporcjonalne do warto
t = n·T

p

.

Impulsator rzeczywisty wytwarza na swoim wyj
wewnątrz okresów impulsowania mo
W przypadku, gdy impulsator generuje
człon formujący jest tzw. ekstrapolatorem
sygnału z takiego impulsatora przedstawiono

Rys. 5.2. Schemat blokowy sygnału schodkowego z impulsatora rzeczywistego z

Transmitancja ekstrapolatora zerowego rz

Idealny sygnał impulsowy można zapisać w postaci wzoru:

( )

( ) (

)

p

n

p

p

nT

t

nT

y

t

y

−

⋅

=

∑

∞

=

δ

0

*

jest szeregiem wartości sygnału ciągłego w chwilach t = nT

wskaźnik n = 0,1,2,3,4, .... jest kolejnym numerem okresu
impulsowania T

p

(próbkowanie) bądź tzw. chwili próbkowania.

-

impulsowa funkcja Dirac’a.

idealny liniowy to taki, którego efekt da się przedstawić

impulsatora idealnego oraz liniowego członu dynamicznego.

W praktycznym zastosowaniu najczęściej mamy do czynienia z liniowym rzeczywistym

. Wytwarza on, co okres T

p

, impulsy o określonym kształcie. Amplitudy i pola

proporcjonalne do wartości sygnału ciągłego w chwilach próbkowania

wytwarza na swoim wyjściu ciąg impulsów,

trz okresów impulsowania może być różny np.: liniowy,

przypadku, gdy impulsator generuje sygnał schodkowy (szerokość impulsów równa

ekstrapolatorem zerowego rzędu. Strukturę

sygnału z takiego impulsatora przedstawiono na Rys.5.2.

Rys. 5.2. Schemat blokowy sygnału schodkowego z impulsatora rzeczywistego z

ekstrapolatorem zerowego rzędu

ekstrapolatora zerowego rzędu (członu formującego z pami

(5.1)

t = nT

p

,

jest kolejnym numerem okresu

tzw. chwili próbkowania.

δ

(t-

przedstawić jako szeregowe

.

liniowym rzeczywistym

lonym kształcie. Amplitudy i pola

głego w chwilach próbkowania

g impulsów, których kształt

, wykładniczy, itp.

ść

impulsów równa T

p

)

. Strukturę oraz przebiegi

Rys. 5.2. Schemat blokowy sygnału schodkowego z impulsatora rzeczywistego z

cego z pamięcią) jest postaci:

n T

p

pojedynczy k-ty impuls na wyjś

( )

pk

t

y

=

Ze względu na fakt, że w mikroprocesorowych urz
sterowania, zostaną krótko omówione
mogą przeprowadzać obliczenia tylko na
wartościach sygnałów, dodatkowo realizowane jest modelowanie.

Impulsatorem kwantowym

wyjściowych nie mogą przybiera
pewnej jednostki tzw. kwantu
idealnego z nieliniowym członem bezinercyjnym

Rys. 5.3. Impulsator kwantowy idealny; schemat oraz impulsy wyj

5.2

Metody analizy układów impulsowych

Teoria układów impulsowych, stosowana jest do analizy i syntezy układów regulacji
cyfrowej,

ponieważ

układy

impulsowe

zazwyczaj

bezpo

z mikrokontrolerem lub komputerem tworz
komputer nie może dokonywać
chwilach czasu, czyli dokonuje próbkowania o odpowiednim, z góry okre

( )

(

)

P

sT

p

e

s

s

G

−

−

=

1

1

ty impuls na wyjściu można zapisać jako:

( ) (

) (

)

{

}

p

p

p

p

T

kT

t

kT

t

kT

y

−

−

−

−

=

1

1

e w mikroprocesorowych urządzeniach sterują

krótko omówione impulsatory kwantowe. Układy mikroprocesorowe

obliczenia tylko na dyskretnych w czasie

ciach sygnałów, dodatkowo realizowane jest modelowanie.

Impulsatorem kwantowym nazywamy taki impulsator, w którym parametry impulsów

przybierać wartości dowolnych, a jedynie całkowit

kwantu. Impulsator kwantowy powstaje z połączenia

nieliniowym członem bezinercyjnym o charakterystyce kwantowej

Rys. 5.3. Impulsator kwantowy idealny; schemat oraz impulsy wyjś

Metody analizy układów impulsowych

Teoria układów impulsowych, stosowana jest do analizy i syntezy układów regulacji

układy

impulsowe

zazwyczaj

bezpośrednio

współpr

mikrokontrolerem lub komputerem tworząc regulator cyfrowy. Mikrokontroler lub

e dokonywać analizy sygnału w sposób ciągły, lecz jedynie w dyskretnych

chwilach czasu, czyli dokonuje próbkowania o odpowiednim, z góry określonym okresi

n T

p

(5.2)

(5.3)

dzeniach sterujących cyfrowe do

. Układy mikroprocesorowe

i kwantowanych

nazywamy taki impulsator, w którym parametry impulsów

, a jedynie całkowitą wielokrotność

ą

czenia impulsatora

o charakterystyce kwantowej (Rys. 5.3.)

.

Rys. 5.3. Impulsator kwantowy idealny; schemat oraz impulsy wyjściowe

Teoria układów impulsowych, stosowana jest do analizy i syntezy układów regulacji

ś

rednio

współpracują

c regulator cyfrowy. Mikrokontroler lub

gły, lecz jedynie w dyskretnych

chwilach czasu, czyli dokonuje próbkowania o odpowiednim, z góry określonym okresie.

Rys. 5.3a. Schemat blokowy układu sterowania komputerowego z przetwornikiem A/C i C/A

Rys. 5.3b. Schemat równowa

Cechą charakterystyczną analizy układów impulsowych jest rozpatrywanie sygnałów

w dyskretnych chwilach czasowych narzuconych przez impulsator. Poniewa
impulsowych występują równie
wprowadza się tzw. impulsatory fikcyjne
związków pomiędzy rzeczywistymi i fikcyjnymi sygnałami impulsowymi.

W przypadku układów impulsowych liniowych istnieje kilka matematycznych metod

analizy, które prowadzą do tych samych wyników.
Metoda pierwsza polega na badaniu zale
impulsowymi, które są ciągami funkcji Dirac’a
przekształcenia Laplace’a i przeprowadzenie analizy liniowych układów impulsowych
analogicznie, jak liniowych układów ci
Metoda druga polega na badaniu zale
w dyskretnych chwilach czasu
ciągów wartości sygnałów w dyskretnych chwilach czasu zwanych
gdy układ i impulsatory są liniowe, mo
zwane przekształceniem „Z”
transformacji Laplace’a.

Metoda trzecia jest najbardziej ogólna i polega na uj

wartości sygnałów w postaci równa

•

Transformata

Z

(5.4)

(nazywana

jest

równie

przekształceniem Laplace’a
potęgowym, względem zmiennej zespolonej „z”

Z

gdzie:

Rys. 5.3a. Schemat blokowy układu sterowania komputerowego z przetwornikiem A/C i C/A

Rys. 5.3b. Schemat równoważny (Rys.5.3a). przy pominięciu efektu kwantowania cyfrowego

i wprowadzeniu ekstrapolatora

ą

analizy układów impulsowych jest rozpatrywanie sygnałów

dyskretnych chwilach czasowych narzuconych przez impulsator. Poniewa

również sygnały ciągłe, w celu ujednolicenia podej

impulsatory fikcyjne. Wtedy analiza polegać będzie na rozpatrywaniu

dzy rzeczywistymi i fikcyjnymi sygnałami impulsowymi.

W przypadku układów impulsowych liniowych istnieje kilka matematycznych metod

tych samych wyników.

polega na badaniu zależności pomiędzy idealnymi sygnałami

ą

gami funkcji Dirac’a. Ujęcie to pozwala na zastosowanie ci

i przeprowadzenie analizy liniowych układów impulsowych

analogicznie, jak liniowych układów ciągłych.

polega na badaniu zależności między wartościami sygnałów ci

dyskretnych chwilach czasu nT

p

niezależnie czy ma miejsce dyskretyzacja

ci sygnałów w dyskretnych chwilach czasu zwanych funkcjami dyskretnymi

ą

liniowe, można zastosować specjalne przekształcenie Laplace’a

przekształceniem „Z”. Przekształcenie „Z” jest dyskretną wer

jest najbardziej ogólna i polega na ujęciu zależności pomi

ci sygnałów w postaci równań różnicowych i ich rozwiązaniu.

Dyskretne przekształcenie Laplace’a – Transformata „Z”

ata

Z

(5.4)

(nazywana

jest

również

dyskretną

lub transformatą Dirichleta albo Laurent’a)

zmiennej zespolonej „z” określonym wzorem:

( )

{ }

( )

( )

z

F

z

n

f

n

f

Z

n

n

df

=

⋅

=

−

∞

=

∑

0

Rys. 5.3a. Schemat blokowy układu sterowania komputerowego z przetwornikiem A/C i C/A

ciu efektu kwantowania cyfrowego

analizy układów impulsowych jest rozpatrywanie sygnałów

dyskretnych chwilach czasowych narzuconych przez impulsator. Ponieważ w układach

głe, w celu ujednolicenia podejścia w analizie,

ę

dzie na rozpatrywaniu

W przypadku układów impulsowych liniowych istnieje kilka matematycznych metod

dzy idealnymi sygnałami

cie to pozwala na zastosowanie ciągłego

i przeprowadzenie analizy liniowych układów impulsowych

ciami sygnałów ciągłych

nie czy ma miejsce dyskretyzacja czy też nie. Do

funkcjami dyskretnymi,

specjalne przekształcenie Laplace’a

jest dyskretną wersją całkowej

ś

ci pomiędzy ciągami

Transformata „Z”

dyskretną

transformatą

Dirichleta albo Laurent’a) jest szeregiem

(5.4)

f(n) - funkcja dyskretna przy zredukowanej skali czasu

τ

= t / T

p

z - zmienna niezależna zespolona, dziedzina transformaty

Z

sygnału.

Przekształcenie Z transformuje z dziedziny czasu do dziedziny operatorowej czyli
wzajemnie jednoznacznie przyporządkowuje funkcji f(n) zmiennej n funkcję operatorową
F(z) zmiennej z według reguły 5.4.

Przekształcenie odwrotne wyraża się wzorem:

( )

[

]

∫

∑

=

−

−

=

=

k

i

k

k

Z

z

F

res

dz

z

F

Z

j

n

f

1

1

1

*

)

(

)

(

*

2

1

π

(5.5)

W praktyce do obliczeń transformat odwrotnych (oryginałów f(n)) używa się tablic wprost,

bądź w przypadku funkcji złożonych stosuje się rozkład na ułamki proste o postaci

i

z

z

z

−

( z

i

biegun transformaty) i następnie używa się tablic.

Równania różnicowe

Jeżeli układ liniowy opisany jest równaniem różnicowym o sygnale wejściowym u(t)

oraz sygnale wyjściowym y(t) to w dyskretnych chwilach czasu odpowiada to badaniu,
zależności pomiędzy sygnałami u(n) i y(n) i wtedy układ taki jest traktowany jako
impulsowy.

Równaniem różnicowym k-tego rzędu nazywamy związek pomiędzy wartościami

ciągu y(n) a jego różnicami aż do k-tej włącznie, albo równoważnie związek pomiędzy (k+1)
kolejnymi wartościami ciągu y(n). Liniowe równanie różnicowe o stałych współczynnikach
ma postać:

∆

k

y(n) + a

k-1

∆

k-1

y(n) + a

k-2

∆

k-2

y(n)+ .... + a

1

∆

y(n) + a

0

y(n) = u(n)

(5.6)

lub

y(k+n) + a

k-1

y(k+n-1) + …. + a

1

y(n+1) + a

0

y(n) = u(n)

(5.7)

W celu rozwiązania równania różnicowego konieczna jest znajomość funkcji wymuszającej
U(n) oraz k warunków początkowych funkcji y(0) ... y(k-1). Wtedy można metodą
rekurencyjną obliczyć wartości liczbowe y(n) w kolejnych chwilach n. Innymi metodami
rozwiązywania równania różnicowego jest metoda klasyczna lub metoda operatorowa.

Transmitancja impulsowa

Podobnie jak dla układów ciągłych, liniowych i stacjonarnych w przypadku analizy układów
impulsowych, liniowych i stacjonarnych dogodne jest posługiwanie się metodami
operatorowymi – w tym przypadku przekształceniem Z.
Jeżeli układ impulsowy opisany jest przez równanie różnicowe n-tego rzędu, dla jednego
sygnału wyjściowego y i jednego sygnału sterowania u to przy zerowych warunkach
początkowych równanie to jest następujące:

y[k+n] + ... + a

0

y[n] = b

m

u[k+m] + ... + b

0

u[m]

(5.8)

Po stransformowaniu obu stron powyższego równania można z niego wydzielić wyrażenie:

[ ]

0

0

...

...

]

[

]

[

a

Z

b

Z

b

z

U

z

Y

z

G

k

m

m

+

+

+

+

=

=

(5.9)

Wyrażenie to nazywamy transmitancją dyskretną (transmitancją impulsową) układu
opisanego równaniem (5.8), zaś mianownik transmitancji dyskretnej – wielomianem
charakterystycznym. Transmitancja dyskretna G[z] jest transformatą Z dyskretnej
charakterystyki impulsowej g(n) powstałej z dyskretyzacji ciągłej charakterystyki
impulsowej g(t). Odpowiedź układu na dowolne wymuszenie można w dziedzinie transformat
wyrazić jako:

Y[z] = G[z] · U[z]

(5.10)

zaś w dziedzinie czasu dyskretnego jako splot (dyskretny) sygnału wymuszenia i odpowiedzi
impulsowej g(n) czyli:

∑

=

−

=

k

i

i

n

g

i

u

n

y

0

]

[

*

]

[

]

[

(5.11)

Przy analizie układów impulsowych bardzo przydatne są tablice transformat Laplace’a
i odpowiadających im transformat Z.

•

Stabilność liniowych układów impulsowych

Stabilność układu opisanego równaniem różnicowym można określić na podstawie

postaci składowej swobodnej

y

p

(n) rozwiązania jego równania, czyli na podstawie

rozwiązania

ogólnego, równania jednorodnego (bez wymuszenia). Postać tej składowej

zależy od warunków początkowych i przedstawia się następująco:

[ ]

∑

=

⋅

=

k

i

n

i

i

p

z

C

n

y

1

(5.12)

przy czym

z

i

( i = 1,2,3,..., k) są pierwiastkami jednokrotnymi równania charakterystycznego

z

k

+ a

k-1

·z

k-1

+ ... + a

1

·z

1

+ a

0

·z

0

= 0

(5.13)

Stałe

C

i

wyznaczane są z warunków początkowych. Dla pierwiastków wielokrotnych wzór

(5.12) przyjmuje postać:

[ ]

∑∑

=

=

⋅

=

−

k

i

j

n

i

ij

l

j

p

n

z

C

n

y

i

1

0

*

1

(5.14)

gdzie

l

i

- krotność i-tego pierwiastka równania (7.13).

Warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby składowa przejściowa zanikała do
zera przy

n

∞

∞

∞

∞

co jest równoważne warunkowi, aby wszystkie pierwiastki równania

charakterystycznego leżały wewnątrz koła jednostkowego czyli:

|z

i

|=1

(5.15)

W przypadku pierwiastków jednokrotnych można dopuścić do również warunek

|z

i

|=1, wtedy

układ jest stabilny ale nie asymptotycznie. W praktyce do oceny stabilności układów
impulsowych stosuje się kryterium Hurwitz’a po uprzednim odwzorowaniu koła

jednostkowego z płaszczyzny

podstawienie

1

1

+

−

=

z

z

w

.

Po wprowadzeniu zmiennej „w” mo
częstotliwość” i stosować dzięki temu cz

5.3.

Układy regulacji impulsowej

Schemat blokowy typowego układu regulacji impulsowej jednej zmiennej jest pokazany na
Rys. 5.4.

Rys. 5.4. Schemat blokowy typowego układu regulacji impulsowej

Obiekt regulacji G

ob

(s) jest cią

regulatora impulsowego obok wła
impulsatorów oraz członu formuj
W celu przedstawienia schematu w s
znaleźć odpowiednie transmitancje dyskretne
przyporządkowanie transformatom Laplace’a odpowiednich
(transformat Z) można wprowadzi

( )

{ }

s

F

D

Wtedy odpowiednie transmitancje dyskretne b
Transmitancja dyskretna wzgl

G

Transmitancja dyskretna układu otwartego

[ ]

z

G

=

0

Transmitancja dyskretna wzgl

G

ego z płaszczyzny „z” na lewą półpłaszczyznę zmiennej

Po wprowadzeniu zmiennej „w” można jej część urojoną traktować

dzięki temu częstotliwościowe metody analizy i

Układy regulacji impulsowej

Schemat blokowy typowego układu regulacji impulsowej jednej zmiennej jest pokazany na

Rys. 5.4. Schemat blokowy typowego układu regulacji impulsowej

ciągły, natomiast regulator jest regulatorem impulsowym. Układ

regulatora impulsowego obok właściwego regulatora o transmitancji G
impulsatorów oraz członu formującego (ekstrapolatora) o transmitancji G

EP

W celu przedstawienia schematu w sposób analogiczny jak dla układów ci

transmitancje dyskretne. Ponieważ istnieje

transformatom Laplace’a odpowiednich transformat dyskretnych

na wprowadzić tzw. przekształcenie D, które formalnie definiuje si

}

( )

[ ]

z

F

f

r

T

j

s

F

T

r

p

p

=

+















+

=

∑

∞

+

∞

=

2

0

2

1

π

Wtedy odpowiednie transmitancje dyskretne będą równe:

względem ekstrapolatora:

[ ]

( )

( )

{

}

s

G

s

G

D

z

G

EP

r

r

⋅

=

układu otwartego:

[ ]

( )

{

}

[ ]

[ ]

z

G

z

G

s

G

D

z

G

ob

r

ob

r

⋅

=

⋅

=

względem sygnału zakłócającego:

( )

( )

{

}

( )

z

G

s

G

D

s

G

zakl

zakl

zakl

=

=

zmiennej „w” poprzez

traktować jako „zastępczą

syntezy.

Schemat blokowy typowego układu regulacji impulsowej jednej zmiennej jest pokazany na

Rys. 5.4. Schemat blokowy typowego układu regulacji impulsowej

, natomiast regulator jest regulatorem impulsowym. Układ

G

r

(s) składa się z

EP

(s) .

posób analogiczny jak dla układów ciągłych, należy

istnieje jednoznaczne

transformat dyskretnych

, które formalnie definiuje się jako:

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Uwaga: Sygnały z(t) oraz y(t)

jakby wprowadzano impulsatory idealne (fikcyjne próbkowanie).

Transmitancja dyskretnego obiektu (obiektu ci
przedstawia się wzorem:

Analogicznie jak dla układu cią
zamkniętego:

Transmitancji uchybowej od wymuszenia

Transmitancji uchybowej od zakł

Schemat blokowy układu regulacji impulsowej analogiczny do układu ci
przedstawiony na Rys. 5.5.

Rys. 5.5. Schemat blokowy układu regulacji impulsowej.

Analiza i synteza układów regulacji impulsowej

Synteza układu regulacji impulsowej, tzn. dobór typu regulatora, struktury układu przy
określonych wymaganiach co do parametrów statycznych i nastaw oraz parametrów
dynamicznych regulacji, przebiega podobnie jak dla układów ci
jakościową układu impulsowego jest, obok
Ocena dokładności statycznej (uchybu ustalonego) układu regulacji impulsowej jest zwi
z pojęciem astatyzmu. Układ regulacji impulsowej nazywamy astatyczn
wymuszenia lub zakłócenia) jeś
skokowym wymuszeniu lub zakłóceniu

transmitancja układu otwartego

y(t) traktujemy sztucznie jako sygnały dyskretne, czyli tak

jakby wprowadzano impulsatory idealne (fikcyjne próbkowanie).

Transmitancja dyskretnego obiektu (obiektu ciągłego widzianego przez regulator dyskretny)

( )

( ) ( )

{

}

s

G

s

G

D

z

G

ob

EP

ob

d

⋅

=

Analogicznie jak dla układu ciągłego UAR można przedstawić pojęcie transmitancji

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

z

Y

z

Y

z

G

z

G

z

G

z

0

0

0

1

=

+

=

uchybowej od wymuszenia:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

z

Y

z

E

z

G

z

G

U

0

0

1

1

=

+

=

od zakłócenia w układzie zamkniętym:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

z

Z

z

E

z

G

z

G

z

G

zak

z

=

+

=

0

1

Schemat blokowy układu regulacji impulsowej analogiczny do układu ci

Rys. 5.5. Schemat blokowy układu regulacji impulsowej.

układów regulacji impulsowej

Synteza układu regulacji impulsowej, tzn. dobór typu regulatora, struktury układu przy

lonych wymaganiach co do parametrów statycznych i nastaw oraz parametrów

dynamicznych regulacji, przebiega podobnie jak dla układów ciągłych. Istotn

układu impulsowego jest, obok stabilności dokładność statyczna

ci statycznej (uchybu ustalonego) układu regulacji impulsowej jest zwi

. Układ regulacji impulsowej nazywamy astatyczn

wymuszenia lub zakłócenia) jeśli przy pracy n

∞

∞

∞

∞

uchyb regulacji zanika do zera przy

skokowym wymuszeniu lub zakłóceniu. Warunkiem astatyzmu

otwartego G

0

(z) zawierała czynnik

1

1

−

z

, za

traktujemy sztucznie jako sygnały dyskretne, czyli tak

jakby wprowadzano impulsatory idealne (fikcyjne próbkowanie).

głego widzianego przez regulator dyskretny)

(5.20)

cie transmitancji układu

(5.21)

(5.22)

(5.23)

Schemat blokowy układu regulacji impulsowej analogiczny do układu ciągłego jest

Synteza układu regulacji impulsowej, tzn. dobór typu regulatora, struktury układu przy

lonych wymaganiach co do parametrów statycznych i nastaw oraz parametrów

ą

głych. Istotną cechą

statyczna.

ci statycznej (uchybu ustalonego) układu regulacji impulsowej jest związana

. Układ regulacji impulsowej nazywamy astatycznym (względem

uchyb regulacji zanika do zera przy

układu jest, aby

zaś transmitancja

zakłóceniowa nie zawierała tego czynnika. Istnienie czynnika

1

1

−

z

w transmitancji G

0

(z)

oznacza, że w układzie występuje sumowanie lub w odpowiedniku ciągłym całkowanie.
Układ regulacji impulsowej nazywamy statycznym, jeżeli w odpowiedzi skokowej
występuje uchyb ustalony (uchyb statyczny) tzn. transmitancja dyskretna G

0

(z) nie zawiera

czynnika

1

1

−

z

.

Uchyb statyczny wynosi można wyznaczyć z zależności:

[ ]

0

0

1

1

lim

k

A

n

e

e

n

u

+

=

=

∞

>

−

(5.24)

Gdzie: A

0

– amplituda skoku wymuszenia lub zakłócenia

k

0

– współczynnik wzmocnienia statycznego, obliczony jako

[ ]

z

G

z

0

1

lim

>

−

lub

z twierdzenia granicznego na podstawie transformaty E(z).

W układach regulacji impulsowej urządzeniami regulującymi są regulatory

impulsowe, będące odpowiednikami regulatorów ciągłych PID. Współcześnie rolę regulatora
impulsowego pełni układ regulator cyfrowy-komputer pracujący w czasie rzeczywistym
(on-line) i realizujący programowo algorytm regulacji.
Warunkiem stosowania takiego typu regulatora jest to, aby okres próbkowania był
dostatecznie mały w porównaniu ze stałymi czasowymi obiektu regulacji.

5.4.

Realizacja techniczna

Odpowiednikami regulatorów ciągłych P, PI, PD, PID są standardowe typy regulatorów
impulsowych o transmitancjach zestawionych w tablicy Tab.4.1.

Tabela 5.1. Zestawienie podstawowych algorytmów regulacji impulsowej PID (wzory)

Typ regulatora

P

I

PI

PD

PID

Równanie

różnicowe

k

p

e

[n·T

p

]

[ ]

∑

=

n

i

p

i

p

T

e

T

T

0

[ ]













+

∑

=

n

i

p

i

p

p

p

nT

e

T

T

nT

e

k

0

]

[

















+

−

∆

]

[

]

)

1

[(

p

p

p

d

p

nT

e

T

n

e

T

T

k









+

+

−

∆

]

[

]

)

1

[(

p

p

p

d

p

nT

T

n

T

T

k

ε

ε

[ ]







+

∑

=

n

i

p

i

p

iT

T

T

0

ε

Transmitancja

dyskretna

G[z]

k

p

1

−

z

z

T

T

i

p













−

+

1

1

k

p

z

z

T

T

i

p

















−

+

z

z

T

T

p

d

1

1

k

p

















−

+

−

+

z

z

T

T

z

z

T

T

p

d

i

p

1

1

1

k

p

Parametry

(Tp - okres

impulsowania)

k

p

–

współczy

nnik

wzmocni

enia

Ti – czas

zdrojenia

k

p

; T

i

k

p

; T

d

– czas

wyprzedzenia

k

p

; Ti ; T

d

Działanie regulatora D (różnicowanie) można zrealizować tylko na zasadzie różnicy
wstecznej tzn.

∆

e = e[n] - e[n-1] dlatego też w tablicy 5.1 zamiast nierealizowanego

składnika z-1 jest składnik

z

z 1

−

.

Działanie I (sumowanie) realizowane jako

∑

=

n

i

i

e

0

]

[ , a nie jak w przypadku idealnym

∑

−

=

1

1

]

[

n

i

i

e

tzn. w transmitancjach tablicy 4.1 pojawia się składnik

1

−

z

z

a nie

1

1

−

z

. Nie jest to

ograniczenie wynikające z realizacji technicznej, zostało przyjęte ze względu na

korzystne

działanie „przyspieszenia” sumy.


Realizacja techniczna ekstrapolatora

Rzeczywisty ekstrapolator zerowego rzędu zapamiętuje na okres

T

p

nie wartość y[nTp], lecz

wartość nieco wcześniejszą y[nT

p

]. Jeżeli w szereg z takim ekstrapolatorem włączony jest

kolejny ekstrapolator za pośrednictwem członu bezinercyjnego, to otrzymuje się efekt
opóźnienia o jeden okres impulsowania, ponieważ wartość y[nT

p

] może zostać

przeniesiona przez kolejny ekstrapolator dopiero w chwili (T

p

+ nT

p

). Ten sam efekt można

zauważyć, gdy ekstrapolator rzeczywisty połączony jest w układzie

bezinercyjnego

sprzężenia zwrotnego. Transmitancja dyskretna ekstrapolatora idealnego zerowego rzędu
jest równa 1, zaś ekstrapolator

rzeczywisty w połączeniu z innym ekstrapolatorem lub

zwrotnie z samym sobą ma transmitancję dyskretną

z

-1

.

W większości przypadków praktycznych można traktować człony układu impulsowego w
sposób idealizowany. Szczególnie ma to miejsce gdy dyskretyzacja wynika z zastosowania
cyfrowego układu sterowania, gdzie okres próbkowania jest mały, przy obiekcie mającym
właściwości filtrujące wyższe częstotliwości (człony całkujące, inercyjne itp..).0biekt wraz z
ekstrapolatorem zerowego rzędu traktuje się jak funkcjonalną całość o transmitancji ciągłej.

( )

( )

s

G

s

e

s

G

ob

sT

ob

p

−

−

=

1

(5.25)

Jedynym przaypadkiem, w którym konieczne jest uwzględnienie nieidealności ekstrapolatora
jest przypadek, gdy G

ob

(s) = k

ob

, czyli gdy obiekt jest bezinercyjny.

Opis stanowiska laboratoryjnego
Ć

wiczenie wykonuje się na elektronicznym modelu układu regulacji impulsowej, w postaci

stojaka, którego płyta czołowa jest przedstawiona na Rys. 5.6.

Rys. 5.6. Płyta czołowa stanowiska laboratoryjnego

Przy pomocy przycisków ”
dowolny wybór ciągłego obiektu regulacji.
Regulator impulsowy (model) posiada rozdzielone i niezale
(z odpowiednim współczynnikiem)
pośrednictwem nieidealnego ekstrapolatora zerowego rz
Okres impulsowania można nastawia
Sygnałami wymuszającymi
(przycisk Y

0

), którego amplitud

oraz dodatkowy sygnał wymuszaj
Do obserwacji przebiegu dyskretnych sygnałów
U1 i U2. Sygnały można rejestrowa

5.5.

Instrukcja wykonania

Badanie elementów układu otwartego

Zarejestrować przebiegi na wej
impulsowej

•

Ekstrapolatora np. e
narastającej).

•

Regulatora (jego poszczególnych

•

Obiektu (wariantu) przy

•

Określić wpływ charakteru wymusze
badanych elementów.

Badanie układów regulacji impulsowej

Zarejestrować przebiegi sygnałów (uchyb, itp.) w
obiekcie :

1.

proporcjonalnym

2.

całkuj

3.

całkuj

4.

inercyjn

Rys. 5.6. Płyta czołowa stanowiska laboratoryjnego

Przy pomocy przycisków ”OPÓŹN”,”INERCJA”,”CAŁKOWANIE”

głego obiektu regulacji.

(model) posiada rozdzielone i niezależnie włączane b

współczynnikiem) działanie P, I, lub D. Jest on połączony z obiektem za

nictwem nieidealnego ekstrapolatora zerowego rzędu (nie wyodrębnionego).

na nastawiać skokowo na wartość 1sek lub 2sek przyciskiem

cymi w układzie mogą być: sygnał warto

amplitudę można nastawić pokrętłem potencjometru,

sygnał wymuszający W (gniazdo W) podawany z zewnętrznego

Do obserwacji przebiegu dyskretnych sygnałów e[nTp] i y[nTp] w układzie słu

ejestrować rejestratorem wykorzystując odpowiednie gniazda.

Instrukcja wykonania ćwiczenia

Badanie elementów układu otwartego

przebiegi na wejściu i wyjściu podstawowych elementów modelu regulacji

e i e[nTp] przy skokowej i ciągłej zmianie e (np. liniowo

(jego poszczególnych działań składowych) przy skokowej zmianie e

(wariantu) przy skokowej zmianie sygnału wejściowego (np. zakłócenia Z

wpływ charakteru wymuszeń, parametrów, rodzaju działa

Badanie układów regulacji impulsowej

przebiegi sygnałów (uchyb, itp.) w układzie zamkniętym

proporcjonalnym
całkującym
całkującym z opóźnieniem
inercyjnym

”CAŁKOWANIE” możliwy jest

ą

czane bądź wyłączane

ą

czony z obiektem za

ę

bnionego).

przyciskiem T

p.

sygnał wartości zadanej Y

0

tłem potencjometru, zakłócenie Z

ę

trznego źródła.

w układzie służą mierniki

c odpowiednie gniazda.

ciu podstawowych elementów modelu regulacji

głej zmianie e (np. liniowo

skokowej zmianie e.

ciowego (np. zakłócenia Z)

parametrów, rodzaju działań oraz reakcję

ę

tym, przy wybranym

5.

inercyjnym z ….

oraz przy wybranych wariantach algorytmu regulatora impulsowego:

1.

P

2.

I

3.

D

4.

PI

5.

oraz różnym okresie próbkowania

Zwrócić jakościowo uwagę na warunek stabilności i wpływ elementarnych działań na jakość
regulacji.

Dla ustalonego przez prowadzącego obiektu, zbadać przebiegi uchybu regulacji przy różnych
nastawach regulatora. Dobrać metodą prób i błędów nastawy zapewniające uzyskanie
korzystnych przebiegów uchybu (minimum uchybu ustalonego i czasu regulacji). Dokonać
analizy uzyskanych wyników.

LITERATURA

1. Frelek B., Komor Z., Kruszyński H., Markowski A. „Laboratorium podstaw automatyki ” ; Skrypt P.W. ‘80r.
2. Cypkin J.Z.: „Teoria układów impulsowych ” ; PWN. W-wa ‘65r.
3. Jury E.J.:” Przekształcenie Z i jego zastosowania ” ; WNT. W-wa ‘68r.
4. Nowacki P.J., Szklarski L., Górecki H.: ”Podstawy teorii układów regulacji automatycznej” T.II. PWN. W-wa ‘74r.
5. Ackerman J.: ”Regulacja impulsowa ” ; WNT. W-wa ‘74r.
6. Steiglitz K.: „Wstęp do systemów dyskretnych ” ; WNT. W-wa ‘77r.

7.Kaczorek.T.: „Teoria sterowania. Tom 1” ; PWN. W-wa ‘77r.