Uniwersytet Mikołaja Kopernika

Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej

Studium Politechniczne

Pracownia Podstaw Automatyki

Ćwiczenie nr 3

Stabilność układów liniowych

Opracował

dr inż. Tomasz Tarczewski

Toruń 2012

1.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zagadnieniem określania stabilności układów

liniowych ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym.

2. Podstawowe wiadomości

Stabilność układu liniowego najprościej może zostać określona na podstawie znajomości

transmitancji operatorowej:

G s =

L s 

M s 



1

poprzez określenie położenia pierwiastków równania charakterystycznego, czyli

biegunów transmitancji.

Układ liniowy jest:

–

stabilny – wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny jego transmitancji mają

niedodatnie części rzeczywiste,

–

stabilny asymptotycznie – wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny jego

transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, wówczas składowa

przejściowa odpowiedzi y(t) zanika do zera przy t → ∞,

–

na granicy stabilności – jeżeli ma jeden zerowy biegun lub dwa urojone sprzężone, a

reszta biegunów leży w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s,

–

niestabilny – jeżeli co najmniej jeden jego biegun leży w prawej półpłaszczyźnie

zmiennej zespolonej s lub więcej niż jeden biegun znajduje się na osi urojonej,

wówczas składowa przejściowa odpowiedzi y(t) rośnie do nieskończoności przy

t → ∞.

Kryteria stabilności umożliwiają pominięcie procedury wyznaczania położenia biegunów

transmitancji operatorowej. Kryteria stabilności można podzielić w następujący sposób:

–

kryteria analityczne (algebraiczne) – Routha i Hurwitza – stosowane w przypadku

znajomości analitycznej postaci wielomianu charakterystycznego M(s),

–

kryteria graficzne – Nyquista, Bodego, Nicholsa – stosowane w przypadku znajomości

charakterystyk częstotliwościowych układu; metoda linii pierwiastkowych –

stosowana w przypadku znajomości analitycznej postaci transmitancji układu

otwartego.

3. Słowa kluczowe: równanie charakterystyczne, bieguny, położenie biegunów a stabilność,

2

algebraiczne kryterium Routha i Hurwitza, graficzne kryterium Nyquista, Bodego;

4. Polecenia Matlaba: pole, pzmap, isstable, nyquist, bode

5. Przebieg ćwiczenia

Określić wpływ wartości wzmocnienia k na stabilność układu zamkniętego dla układów

otwartych o transmitancji:

– dwuinercyjnego (zmienne T

1

),

– całkującego,

–

dwuinercyjnego z astatyzmem (zmienne T

1

),

–

inercyjnego trzeciego rzędu (zmienne T

1

),

–

dwukrotnie całkującego z inercją (zmienne T

1

)

wybierając dla każdego zmienianego parametru trzy wartości tak, aby układ zamknięty

był: stabilny, na granicy stabilności oraz niestabilny (jeżeli to możliwe). Dla każdego z

przypadków dokonać analizy wpływu stanu stabilności na odpowiedź skokową układu

zamkniętego.

Korzystając z pakietu Matlab/Simulink zbudować model umożliwiający zbadanie

stabilności układu zamkniętego z obiektem o zadanej transmitancji operatorowej dla

różnych wartości wzmocnienia k.

6. Sprawozdanie

Wykonane na zajęciach sprawozdanie powinno zawierać:

–

odpowiedzi skokowe wraz z opisem wpływu wzmocnienia na stabilność układu

zamkniętego,

– wyznaczoną analitycznie transmitancję operatorową układu z ujemnym sztywnym

sprzężeniem zwrotnym dla modelu obiektu o podanej transmitancji operatorowej,

– wyznaczoną przy pomocy kryterium Routha wartość graniczną parametru k, dla

którego podany wielomian jest stabilny.

7. Literatura

D. Horla, Podstawy automatyki – ćwiczenia laboratoryjne, Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2009

3

K. Rumatowski, Podstawy regulacji automatycznej, Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2008

J. Mazurek, H. Vogt, W. Żydanowicz, Podstawy automatyki, Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2002

A. Zalewski, R. Cegieła, Matlab – obliczenia numeryczne i ich zastosowania,

Wydawnictwo Nakom, Poznań 2003

4