Bryła sztywna

1. Znajdź moment bezwładności jednorodnego pręta o masie M i długości L względem prostopadłej do pręta osi:
a) symetralnej

b) przechodzącej przez jeden z kooców pręta

Dynamika ruchu obrotowego

1. Na cząstkę znajdującą się w położeniu określonym wektorem r działa siła F. Znaleźd związek pomiędzy
momentem pędu cząstki i momentem siły F. Kiedy moment pędu cząstki jest stały?

Moment siły wynosi:

Moment pędu cząstki wynosi:

Liczymy pochodną po czasie momentu pędu:

Ponieważ otrzymujemy:

Jest to II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

Jeśli na cząstkę działa siła , której moment (jest równy zeru), to moment pędu tej cząstki jest zachowan:

Jest to zasada zachowania momentu pędu dla pojedynczej cząstki.

2. Otrzymad zależnośd między momentem pędu i prędkością kątową obracającej się wokół stałej osi bryły sztywnej
o momencie bezwładności I.

Rozpatrujemy obrót wokół osi z.

Moment pędu masy

:

Ponieważ ruch odbywa się w płaszczyźnie XY, a

jest prostopadły do płaszczyzny ruchu.

Całkowity moment pędu bryły:

Ponieważ ruch obrotowy zachodzi tylko wokół osi z:

Więc:

3. Z dwóch stron układu dwóch identycznych bloczków o momencie bezwładności I i promieniu R zawieszono na
bardzo lekkiej lince dwie różne masy m1, m2. Znajdź przyspieszenie mas i siły naprężenia linki.

.

.

Gdy zaniedbamy masę bloczków (I=0)

Ruch drgający

1. Rozwiązad równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego z warunkami początkowymi:
a) x(t=0)=x0 i v(t=0)=0,
b) x(t=0)=0 i v(t=0)=v0.
Jaka jest częstośd i amplituda tych drgao?

Szukamy rozwiązania:

Z równania charakterystycznego:

.

.

Rozwiązanie ogólne

Wprowadźmy oznaczenie:

- częstośd drgao własnych – wtedy:

Jest to funkcja okresowa o okresie T:

Dla warunków początkowych a:

Gdzie

jest fazą początkową drgao. Jeśli

to i

Amplituda

. Częstośd .

Dla warunków początkowych b:

Gdzie

jest fazą początkową drgao. Jeśli

to i

Amplituda

. Częstośd .

2. Policzyd częstośd drgao wahadła matematycznego o masie m i długości l.

Dla małych kątów

Wtedy równanie ruchu wahadła matematycznego:

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego, tzn.

Rozważamy małe wychylenia z położenia równowagi, dla których możemy
przyjąd, że s jest odcinkiem i ruch masy m wzdłuż s pod wpływem działania
siły

jest ruchem jednowymiarowym (

jest styczna do okręgu i jej

działanie powoduje tylko zmianę długości łuku s).
Równanie ruchu masy m:

Czyli rozwiązanie:

3. Policzyd częstośd drgao wahadła fizycznego o masie m i momencie bezwładności I zawieszonego w odległości d
od środka masy.

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego, tzn.

Czyli rozwiązanie:

Wahadło matematyczne jest specjalnym przypadkiem wahadła fizycznego. Dla wahadła matematycznego mamy

i otrzymujemy:

Ruch obrotowy wokół stałej osi 0 (ruch jednowymiarowy)

Ma znak dodatni gdy moment siły powodujący to przyspieszenie
prowadzi do ruchu przeciwnego do ruchu wskazówek zegara.

4. Napisad równanie ruchu oscylatora tłumionego. Podad przybliżony wzór rozwiązania dla bardzo słabego
tłumienia drgao i przedstawid to rozwiązanie na rysunku.

- siła harmoniczna (wymuszająca drgania)

- siła tłumiąca (siła oporu ośrodka)

v – prędkośd, b>0

Równanie charakterystyczne:

Dla

- ruch nie jest ruchem drgajacym

Ruch drgający otrzymujemy tylko dla

Mamy wtedy:

Rozwiązanie ogólne równania ruchu drgającego tłumionego:

Dla

otrzymujemy:

Gdzie

jest fazą początkową drgao. Jeśli

to i

Amplituda malejąca

. Częstośd

dla

5. Rozwiązad równanie oscylatora harmonicznego prostego z siłą wymuszającą F=Acos(wt) i warunkami
początkowymi x(t=0)=x0, v(t=0)=0. Kiedy zachodzi rezonans? Znaleźd zależnośd amplitudy drgao rezonansowych
od czasu.

Z warunków zadania mamy:

Gdzie

.

Rozwiązujemy niejednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu:

Podstawiając warunki początkowe:

Dla

Rezonans zachodzi dla częstości siły wymuszonej równej częstości własnej drgao układu. Amplituda drgao rośnie
liniowo z czasem. Gdy czas dąży do nieskooczoności to amplituda też.

Grawitacja

1. Wyprowadzid drugie prawo Keplera.

Liczymy moment siły grawitacji działającej na Ziemię :

Wiemy, że:

Jest to II prawo Keplera:

Moment pędu planety poruszającej się wokół słooca jest stały.

S

S

Z

Z

masa Ziemi

masa Słooca