6’ BADANIE DYNAMIKI RUCHU OBROTOWEGO BRYŁY SZTYWNEJ

Cel:

• Zapoznanie się z dynamiką ruchu obrotowego.

• Sprawdzenie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.

• Wyznaczenie momentu bezwładności bryły sztywnej i momentu sił tarcia.

Pytania kontrolne:

• Zdefiniować wielkości charakterystyczne dla ruchu obrotowego (położenie kątowe, prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe, moment bezwładności, moment siły, moment pędu).

droga kątowa	jest to kąt zakreślony przez promień wodzący punktu ciała	α
prędkość kątowa	Jest wielkością której miarą jest iloraz przebytej drogi kątowej do czasu, w którym ta droga została przebyta	prędkość kątowa średnia $$\mathbf{\omega =}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{t}}$$ prędkość kątowa chwilowa $$\mathbf{\omega = \ }\operatorname{}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{t}}$$
Przyspieszenie kątowe	Jest wielkością której miarą, jest iloraz przyrostu prędkości kątowej do czasu, w którym przyrost ten nastąpił	Przyspieszenie kątowe średnie $$\mathbf{\varepsilon =}\frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{t}}$$ Przyspieszenie kątowe chwilowe $$\mathbf{\varepsilon =}\operatorname{}\frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{t}}$$
Moment bezwładności	Wielkość charakteryzująca bezwładność ciała stosowana przy opisie ruchu obrotowego Moment bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi. W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją na nieskończenie małe części i sumowanie w poszczególnym wzorze zastępujemy całkowaniem Moment bezwładności ciała o tej samej masie i tym samym promieniu zależy od jego kształtu. Moment bezwładności ciała można wyrazić wzorem	I=∫mr^2dm $$\mathbf{I =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$ I =  ∫r^2dm I = mk^2
Moment pędu	Moment pędu bryły obracającej się wokół osi jest sumą momentów pędów wszystkich jego punktów Moment pędu bryły równy jest iloczynowi jej prędkości kątowej ω i momentowi bezwładności I Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z osią obrotu, jego wartość bezwzględna wynosi:	L $$\overrightarrow{\mathbf{L}}\mathbf{= I}\overrightarrow{\mathbf{\omega}}$$ L= rmV = mr^2ω
Moment siły	Moment siły względem punktu 0 nazywamy iloczynem wektorowym wektora wodzącego $\overrightarrow{r}$ (łączącego punkt 0 z początkiem wektora $\overrightarrow{F})$ i wektora siły $\overrightarrow{F}$ Moment siły nazywany jest też momentem obrotowym zgodnie z definicją iloczynu wektorowego wartość ta wynosi:	$$\overrightarrow{\mathbf{M}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{F}}$$ M = rsinαF

• II zasada dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego.

DYNAMIKA ruch postępowy
Przyspieszenie jakie nadaje niezrównoważona siła F ciału o masie m jest wprost proporcjonalne do tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. Siła działająca na ciało o masie m związana z danym oddziaływaniem równa jest iloczynowi masy ciała i przyspieszenia nadawanemu ciału przez to oddziaływanie	Wypadkowy moment sił działających na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentów bezwładności i przyspieszenia kątowego
$$\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{= \ ma}$$	$$\overrightarrow{\mathbf{M}_{}}\mathbf{= \ I\varepsilon}$$
Kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora siły.
Siła związana z jakimś oddziaływaniem jest równa szybkości zmiany pędu ciała wywołanej przez to oddziaływanie.	Wypadkowy moment się działających na bryłę jest równy szybkości zmiany momentu pędu bryły sztywnej
$$F = \ \frac{\text{dp}}{\text{dt}}$$	$$M = \ \frac{\text{dL}}{\text{dt}}$$
Podsumowanie Siła jest miarą przyspieszenia nadawanego swobodnemu ciału. lub Siła jest równa szybkości zmiany pędu.

• Od czego zależy wartość wypadkowego momentu siły działającego na bęben tarczy wykorzystywanej w ćwiczeniu?

Wypadkowy moment siły działający na tarczę zależy od: siły grawitacji, siły tarcia w łożysku siłę naprężenia linki

• Od czego zależy wartość momentu bezwładności tarczy?

Moment bezwładności tarczy zależy od masy i kwadratu odległości od środka tarczy.

• Jak zależy kąt obrotu od czasu w ruchu obrotowym jednostajnie przyspieszonym?

Jeżeli prędkość kątowa punktu poruszającego się po okręgu nie zmienia się, to ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu.

W takim ruchu prędkość liniowa oczywiście też się nie zmienia.

W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie (jako wektor) nie jest równe zero, mimo że wartość prędkości nie zmienia się. Z dwóch składowych przyspieszenia: stycznej i normalnej tylko jedna ma wartość zero. składowa styczna (zmieniająca wartość prędkości) ma wartość zero

składowa normalna (zmieniająca kierunek prędkości) jest niezerowa

Jest tak, ponieważ kierunek prędkości ulega ciągłej zmianie - prędkość musi być ciągle zakrzywiana do środka okręgu. Z ruchem jednostajnym po okręgu związana jest stała wartość przyspieszenia nazywanego przyspieszeniem dośrodkowym.

Przebieg pomiarów:

4 Obciążniki:

• Czas średni:

1. 17,11

2. 13,49

3. 11,43

4. 9,19

• Kąt obortu 12 ∏ => 37,68

• Przyspieszenie kątowe

Α=1/2 𝜺t²

𝜺=2*37,68/17,11=0,257

𝜺₂=0,414

𝜺₃=0,577

𝜺₄=0,192

• Napięcie linki

N=m(g-𝜺r)

N₁ = 0,0503 (9,81-0,257*0,0117)=0,493

N₂ =0,493

N₃ =0,990

N₄ =0,989

• Moment siły

M_N=r*N

M_N1= 0,017*0,493-0,00577

M_N2= 0,00828

M_N3= 0,1158

M_N4= 0,01662

• Moment bezwładności

I=∑mr²

I₁= 0,0503*0,0117² =6,89 * 10^-6

I₂= 14,2* 10^-6

I₃= 13,83* 10^-6

I₄= 21,50* 10^-6

• Ci ężar ciężarków

Q=g*m

Q₁=0,0503 *9,81=0,493

Q₁=0,493

Q₁=0,991

Q₁=0,991

8 Obciążników:

• Czas średni:

1. 18,86

2. 14,57

3. 12,48

4. 10,23

• Kąt obortu 12 ∏ = 37,68

• Przyspieszenie kątowe

α=1/2 𝜺t²

𝜺=0,210

𝜺₂=0,359

𝜺₃=0,484

𝜺₄=0,720

• Napięcie linki

N=m(g-𝜺r)

N₁ = 0,0506 (9,81-0,210*0,0117)=0,493

N₂ =0,496

N₃ =0,993

N₄ =0,983

• Moment siły

M_N=r*N

M_N1= 0,017*0,493=5,77*10^-3

M_N2= 8,33*10^-3

M_N3= 11,62*10^-3

M_N4= 16,68*10^-3

• Moment bezwładności

I=∑mr²

I₁= 0,0506*0,0117² =6,93 * 10^-6

I₂= 14,28* 10^-6

I₃= 13,87* 10^-6

I₄= 28,59* 10^-6

• Ci ężar ciężarków

Q=g*m

Q₁=0,0506 *9,81=0,496

Q₁=0,496

Q₁=0,994

Q₁=0,994

5’ Wnioski

Zadanie polegało na zapoznaniu się z dynamiką ruchu obrotowego, sprawdzenie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego oraz wyznaczenie momentu bezwładności bryły sztywnej i momentu sił tarcia.

• Bryłą sztywną jest ciało, które nie deformuje się pod wpływem działających na nią sił.

• Moment bezwładności wzrasta wraz ze wzrostem obciążenia znajdującego się na tarczy co prowadzi do zwiększeni prędkości kątowej

• Czas obrotu jest dłuższy im większe jest obciążenie tarczy

Przeprowadzone doświadczenie pozwoliło zobrazować II zasadę dynamiki Newtona i udowodnić że przyspieszenie kątowe jest wprost proporcjonalne do wartości wypadkowego momentu siły Mw, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności bryły I, wyznaczonego względem tej osi.