Pole elektromagnetyczne maszyn

elektrycznych

I. Zale

ż

no

ś

ci opisuj

ą

ce pole magnetyczne

Pole magnetyczne okre

ś

laj

ą

nast

ę

puj

ą

ce wielko

ś

ci: wektor indukcji

magnetycznej B[T], definiowany za pomoc

ą

siły działaj

ą

cej na poruszaj

ą

ce

si

ę

ładunki umieszczone w badanym polu magnetycznym, wektor

magnetyzacji M [A/m] charakteryzuj

ą

cy

ś

rodowisko oraz wektor nat

ęż

enia

pola magnetycznego H [A/m]. Mi

ę

dzy tymi wielko

ś

ciami zachodzi

nast

ę

puj

ą

ca relacja:

M

B

H

−

=

0

µ

W polu magnetostatycznym obowi

ą

zuj

ą

nast

ę

puj

ą

ce prawa wyra

ż

one w

ró

ż

nych postaciach:

• Równania Maxwella w postaci ró

ż

niczkowej i całkowej

:

0

=

=

B

J

H

div

rot

0

=

⋅

=

⋅

=

⋅

∫∫

∫∫

∫

S

S

l

d

I

d

d

S

B

S

J

l

H

(1)

(2)

(3)

Prawo przepływu (Ampere’a)

I prawo Kirchhoffa

I. cd.

Przy opisie pola magnetycznego korzysta si

ę

z równania materiałowego, które

dla o

ś

rodka liniowego przybiera posta

ć

H

B

µ

=

gdzie

µ

jest przenikalno

ś

ci

ą

magnetyczn

ą

materiału (

µ

=

µ

r

µ

0

;

µ

r

–

przenikalno

ść

wzgl

ę

dna,

µ

0

– przenikalno

ść

magnetyczna pró

ż

ni:

µ

0

=

4

Π

·10

-7

[H/m]

,

S

l

R

m

µ

=

Reluktancja obwodu magnetycznego /opór magnetyczny/:

R

m

– reluktancja w [H

-1

], l – długo

ść

obwodu magnetycznego [m], S – pole

przekroju poprzecznego [m

2

], - przenikalno

ść

magnetyczna

ś

rodowiska

(bezwzgl

ę

dna) [H/m

2

].

µ

I. cd.

Spadek napi

ę

cia magnetycznego U

m

w równomiernym polu magnetycznym:

Hl

U

m

=

Przepływ (siła magnetomotoryczna) cewki

Iz

F

m

=

=

Θ

Obwody magnetyczne

θ

θ

Λ

=

=

Φ

m

R

- Prawo Ohma dla obwodu magnetycznego

[H]

permeancja

]

[H

a

reluktancj

[A]

przeplyw

]

[Wb

y

magnetyczn

strumien

1

-

−

Λ

−

−

−

Φ

m

R

θ

I. cd.

I prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego: Suma strumieni
magnetycznych wpływaj

ą

cych do w

ę

zła równa jest sumie strumieni

odpływaj

ą

cych od w

ę

zła

.

0

1

=

∑

=

n

k

k

φ

II prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego /prawo przepływu/:
Algebraiczna suma napi

ęć

w

ę

złowych i napi

ęć

odbiornikowych w

dowolnym oczku obwodu magnetycznego jest równa zeru:

.

0

1

1

=

−

∑

∑

=

=

n

k

m

a

a

a

k

k

l

H

z

I

II. Prawo Biota - Savarta

Jedn

ą

z metod, za pomoc

ą

której mo

ż

emy oblicza

ć

nat

ęż

enie H w dowolnym

punkcie A pola magnetycznego wytworzonego przez płaski, jednowymiarowy
obwód pr

ą

dowy, jest stosowanie prawa Biota-Savarta. Zgodnie z tym prawem,

wektor indukcji magnetycznej, wywołanej przez elementarny pr

ą

d J · ds

płyn

ą

cy przez odcinek dl, jest wyra

ż

ony wzorem

.

4

)

(

,

4

)

(

2

2

∫

×

=

×

=

l

r

r

r

d

I

r

d

I

d

π

µ

π

µ

1

l

B

1

l

B

Pole magnetyczne w punkcie A
wytworzone przez p

ę

tl

ę

przedstawion

ą

na rys. 1, w której płynie pr

ą

d,

okre

ś

lone jest wzorem:

Rys.1. Rysunek do prawa Biota-Savarta

Mamy przewód o długo

ś

ci 0,6 m w kształcie okr

ę

gu, przez który

przepływa pr

ą

d o nat

ęż

eniu 15 A. Obliczy

ć

warto

ść

indukcji dla punktu

ś

rodkowego, je

ż

eli

ś

rodowiskiem wypełniaj

ą

cym okr

ą

g utworzony przez

przewód jest stal o przenikalno

ś

ci magnetycznej wzgl

ę

dnej 5000 .

Indukcj

ę

obliczamy wg wzoru

;

2r

I

B

⋅

=

µ

Maj

ą

c długo

ść

okr

ę

gu, musimy znale

źć

jego promie

ń

]

[

095

,

0

28

,

6

6

,

0

2

;

2

m

l

r

l

r

=

=

Π

=

=

Π

Przenikalno

ść

magnetyczna wzgl

ę

dna

ś

rodowiska

m

H

m

H

r

4

7

0

10

63

5000

10

6

,

12

−

−

⋅

=

⋅

⋅

=

=

µ

µ

µ

]

[

495

,

0

]

[

19

,

0

]

[

15

]

/

[

10

63

2

4

T

m

A

m

H

r

I

B

=

⋅

⋅

=

⋅

=

−

µ

Indukcja magnetyczna w

ś

rodku stalowego walca

H

B

r

l

I

B

⋅

=

⋅

Π

⋅

∆

⋅

=

∆

µ

α

µ

;

4

sin

2

III.

Obwody magnetyczne i materiały magnetyczne. Prawo

przepływu

Rys. 2. Magnetowód nierozgał

ę

ziony: a)

widok przestrzenny; b) schemat płaski
magnetowodu; c) równowa

ż

ny z nim obwód

elektryczny

1. Magnetowody, modelowanie obwodowe magnetowodów

zI

l

H

l

H

l

H

l

H

zI

dl

H

r

l

=

+

+

+

=

⋅

∫

4

4

3

3

2

2

1

1

lub

gdzie:

zl =

θ

[A] – przepływ lub siła magnetomotoryczna, całkowity pr

ą

d przenikaj

ą

cy

powierzchni

ę

, której kraw

ę

dzi

ą

jest krzywa,

H

1

÷

H

4

- nat

ęż

enie pola magnetycznego na drodze odpowiednio l

1

÷

l

4

Cyrkulacja wektora H

Okre

ś

laj

ą

c mianem napi

ę

cia magnetycznego wyra

ż

enie:

]

A

[

∫

⋅

=

B

A

AB

d

U

l

Η

µ

b

ę

d

ą

ce cyrkulacj

ą

wektora H na drodze od punktu A do punktu B, mo

ż

emy

poszczególnym członom wyra

ż

enia przypisa

ć

równie

ż

sens napi

ę

cia

magnetycznego w postaci:

.

4

1

θ

µ

=

∑

=

i

i

U

A zatem w przypadku ogólnym, cyrkulacj

ę

wektora nat

ęż

enia pola

magnetycznego wzdłu

ż

zamkni

ę

tej krzywej, b

ę

d

ą

cej tzw.

ś

redni

ą

drog

ą

magnetyczn

ą

, wyrazimy równaniem:

∑

∑

∑

=

=

=

+

=

K

l

l

M

j

j

N

i

i

I

U

1

1

1

θ

µ

Napi

ę

ciowe prawo

Kirchhoffa dla obwodów

magnetycznych

Ampere’a

circuital law

B-H krzywe dla wybranych materiałów

Przykład 1.

Materiały magnetyczne

Przyjmuj

ą

c za podstaw

ę

klasyfikacji materiałów warto

ść

wzgl

ę

dnej

przenikalno

ś

ci magnetycznej,

ś

rodowiska materialne, w tym pró

ż

ni

ę

fizyczn

ą

, dzielimy na dwie zasadnicze grupy:

1. Diamagnetyki, dla których

µ

r

≤

1;

2. Paramagnetyki, dla których

µ

r

≥

1.

Zró

ż

nicowanie warto

ś

ci

µ

r

wzgl

ę

dem jedno

ś

ci ma daleko id

ą

ce

konsekwencje dla zachowania si

ę

tych materiałów w zewn

ę

trznym plu

magnetycznym. Otó

ż

porównuj

ą

c warto

ś

ci indukcji magnetycznej B w

przestrzeni wypełnionej

ś

rodowiskiem o okre

ś

lonej przenikalno

ś

ci

magnetycznej z indukcj

ą

B

0

, jaka istniałaby w tej przestrzeni, gdyby była

pró

ż

ni

ą

fizyczn

ą

, stwierdzamy,

ż

e:

w diamagnetykach – B/B

0

≤

1,

w paramagnetykach – B/B

0

≥

1,

w ferromagnetykach – B/B

0

>>1

Krzywa magnesowania

Rys.3. Przebieg magnesowania ferromagnetyka: a) przy narastaniu pr

ą

du; b) przy zmianie

kierunku pr

ą

du; c) przy pr

ą

dzie sinusoidalnym o dwóch ró

ż

nych amplitudach

Prawa indukcji elektromagnetycznej

Prawo Faradaya

W obszarze, w którym istnieje pole magnetyczne zmienne w czasie,
powstaje pole elektryczne. Wła

ś

nie to powstaj

ą

ce pole elektryczne popycha

elektrony wokół przewodu, a wi

ę

c jest odpowiedzialne za napi

ę

cie

ź

ródłowe

w obwodzie stacjonarnym, gdy istnieje zmienny strumie

ń

magnetyczny.

Ogólne prawo opisuj

ą

ce pole elektryczne stowarzyszone ze zmiennym

polem magnetycznym mówi,

ż

e:

.

t

∂

∂

−

=

×

∇

B

E

(6)

tw

ie

rd

ze

n

ie

S

to

k

es

a

t

d

t

d

S

∂

∂

−

=

=

⋅

∂

∂

−

=

⋅

∫

∫

Γ

a

B

s

E

(strumień przez powierzchnię S).

(7)

∫

∫

⋅

∂

∂

−

=

⋅

Γ

S

d

t

d

a

B

s

E

Napi

ę

cie

ź

ródłowe (SEM)

Szybko

ść

zmian strumienia

zawartego w obwodzie

„Reguła strumienia”

mówi

ą

ca,

ż

e napi

ę

cie

ź

ródłowe w obwodzie jest proporcjonalne

do szybko

ś

ci zmian strumienia magnetycznego przez obwód, jest

słuszna – bez wzgl

ę

du na to, czy pole si

ę

zmienia, czy porusza

si

ę

obwód, czy te

ż

z obu tych przyczyn naraz.

Przykłady indukcji elektromagnetycznej

IV. Siła i moment w polu magnetycznym – siły

elektrodynamiczne

Siła elektrodynamiczna, która powstaje przy działaniu równomiernego pola
magnetycznego o indukcji B [T] na przewód umieszczony prostopadle do
linii tego pola o długo

ś

ci l [m] i wiod

ą

cy pr

ą

d I [A], wynosi:

F = Bil,

F = siła [N]

Dziękuję za uwagę