Metoda wyznacznikowa (wyznaczników) z dwiema i trzema niewiadomymi - darmowy e-book (opracowanie) pdf. Download

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 2

Opracowanie to omawia rozwiązywanie układów równań metodą wyznacznikową (wyznaczników). To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Nauczysz się z nim jak rozwiązywać układ równań liniowych (stopnia pierwszego). Download go.

Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Układ równań

to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np.

ݔ lub ݕ. Zmienne mogą być podnie-

sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:

൜

ଶ

− 7

ଶ

= 10

−5

ݔ − 4ݕ = 4

൝

ݔ + 4ݕ + 5ݖ = 8

−5

ݔ − 2ݕ + 3ݖ = 7

ݔ + 5ݕ − 3ݖ = −10

Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.

W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest
taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je
z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę
później.

Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do
potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie
tego typu układów równań.

Znalezienie rozwiązania

danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za-

miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na
przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Jeśli w równaniu pierwszym zamiast

ݔ napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast ݕ np. liczbę 2, to strona lewa będzie

równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie
będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza-
niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.

Skoro powyższe liczby tj.

ݔ = 8 i ݕ = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb

i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc
przykładowo

ݔ =

ݕ =

i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast

ݔ w obu równaniach na-

piszesz liczbę

i w obu równaniach zamiast

ݕ napiszesz liczbę

, to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw-

dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem

ݔ = 5 i ݕ = 1 nie spełniają tego układu równań,

bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem
będą nimi:

ݔ = −10 i ݕ = 15. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast

ݕ napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za-

tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci
się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc
liczby

ݔ = 7 i ݕ = 3. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast ݕ napiszesz

liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona
lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia-
ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest

࢞ = ૠ

࢟ = ૜

lub krócej

— jest nim para liczb

(

;

)

— zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były

współrzędne punktu w układzie współrzędnych).

W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań)
w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 3

No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem
tak nie jest.

Sformułowanie

rozwiązać układ równań

oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (

ݔ; ݕ) dla poda-

nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:

równanie pierwsze tj.

ݔ + ݕ = 10 jest spełnione m.in. przez pary (ݔ; ݕ):

(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7),

(7; 3)

, (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2)

a równanie drugie:

ݔ − ݕ = 4 m.in. przez pary (ݔ; ݕ):

(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1),

(7; 3)

, (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).

Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale-
zionej wspólnej pary

(7; 3)

istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par

może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych
oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro-
bione powyżej. Co by było gdybym zamiast

ݔ nie wstawił liczby 7 i zamiast ݕ liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po-

wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.

By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób
rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się
z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć
wszystkie rozwiązania nazywają się tak:

— podstawiania (algebraiczna)

— przeciwnych współczynników (algebraiczna)

— graficzna

— wyznacznikowa (algebraiczna)

— eliminacji Gaussa

— Kroneckera-Cappellego

i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).

Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania
współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów-
nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz
wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy-
kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa-
niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne
tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.

Ćwiczenie:

Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań:

൜

ݔ − 2ݕ = 29

ݔ + ݕ = 23

[Podpowiedź. W obu równaniach zamiast ݔ napisz liczbę

5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast ݕ liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]

Ćwiczenie:

Wypisz 8 par (

ݔ; ݕ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (ݔ; ݕ) spełniających równanie

drugie układu równań:

൜

ݔ − ݕ = 12

ݔ + 2ݕ = 6

. Jaka para liczb (ݔ;ݕ) jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (ݔ; ݕ) = (6; 0).]

Ćwiczenie:

Wypisz po 10 par (

ݔ; ݕ) spełniających równania układu równań: ൜

ݔ − 3ݕ = 12

ݔ + 2ݕ = 5

. Jaka para liczb (ݔ;ݕ)

jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (ݔ; ݕ) = (3; −2).]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 4

Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiado-

mymi.

Sformułowanie

rozwiązać układ równań

o zmiennych

ݔ i ݕ

oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po

napisaniu zamiast

ݔ i zamiast ݕ sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie

prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań:

൜

ݔ + 3 = 7ݕ

ݕ − 4ݔ = 9

Jego rozwiązaniem są liczby

ݔ = −

ଽହ

଺

ݕ = −

ଷଷ

ଵ଼

, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach

równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zasto-
sować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie
rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje.

Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zasto-
sować np. metodę:

—

podstawiania

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Z jednego równania wyliczasz np.

ݔ i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą

zmienną.

—

przeciwnych

współczynników

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0

ݔ lub 0ݕ.

Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z do-
wolnego równania.

—

graficzną

(rysunkowa)

Z obu równań wyliczasz zmienną

ݕ i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Ry-

sujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz
współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny,
a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony.

—

wyznacznikową

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są
opisane w osobnym temacie.

—

eliminacji Gaussa

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisa-
łem małym drukiem i nie będę go omawiać.

—

Kroneckera-Capellego

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z
pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz
go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę −1 lub 1 w zależności którym miejscu
macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów
dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody
tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia.

Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań:

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 5

Metoda wyznacznikowa

Aby stosować tę metodę do równań o dwóch zmiennych

ݔ i ݕ, trzeba będzie najpierw każde równanie przekształcić

do postaci znanej z metody przeciwnych współczynników (najpierw wyrażenie z

ݔ potem wyrażenie z ݕ a po prawej

stronie znaku równości tylko liczba nie mająca przy sobie ani

ݔ ani ݕ), a następnie policzyć 3 tzw. wyznaczniki.

Wyznacznik to liczba otrzymana w specyficzny sposób. Aby ją wyliczyć musisz mieć najpierw tabelę składa-
jącą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn (gdy równania mają tylko dwie zmienne np.

ݔ i ݕ) albo z trzech

wierszy i trzech kolumn (gdy równania mają dokładnie trzy zmienne np.

ݔ, ݕ, ݖ).

Zazwyczaj gdy mówimy o tabelach, rysujemy kratkę o odpowiedniej ilości wierszy i kolumn, i wpisujemy w nią naj-
częściej liczby. W przypadku wyznaczników jest nieco inaczej. Tabelę uzupełniasz tylko liczbami, ale bez rysowania
kratek. Aby zaznaczyć, że jest to tabela (tzw. macierz), ujmuje się ją w rozciągnięte nawiasy kwadratowe. Przykła-
dowa tabela (macierz)

(czyli

wiersze i

kolumny) wygląda następująco:

൥

−3

−1

൩

Licząc wyznacznik z tabeli

(

wiersze i

kolumny) lub 3 × 3 należy z przodu dopisać „det” (skrót od angielskiego

słowa determinant):

det

൥

−3

−1

൩ = …

a następnie daną tabelę ująć w dwie pionowe kreski i pominąć rozciągnięte nawiasy kwadratowe oraz słowo „det”:

det

൥

−3

−1

൩ = อ

−3

−1

อ

Obliczenia można też od razu zaczynać od zapisu z pionowymi kreskami, bo one zastępują słowo „det” i wiadomo
o co chodzi. Tak też będziemy robić w tym opracowaniu. Słowa „det” nie będziemy używać.

Rozpatrzmy przykładowy układ dwóch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi:

൜

ݔ = 5ݕ − 2

−4

ݕ = 6ݔ + 9

i zapiszmy każde jego równanie w postaci

ܽݔ + ܾݕ = ܿ czyli tak jak przy metodzie przeciwnych współczynników.

W metodzie wyznacznikowej jest to konieczne. Masz zatem postać równoważną powyższego układu równań:

൜

− 5

ݕ =

−2

−6

− 4

ݕ =

Najpierw trzeba policzyć wyznacznik który oznaczmy literą

ܹ, później ܹ

௫

, a na końcu

௬

Wyznacznik

ܹ wyliczasz z tabeli utworzonej z liczb stojących przed zmiennymi ݔ i ݕ:

ܹ = ቚ

−5

−6

−4

ቚ

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 6

w taki sposób, że mnożysz liczbę stojącą w lewym górnym rogu (

) przez liczbę w prawym dolnym rogu (

−4

) i od

otrzymanego iloczynu

odejmujesz iloczyn liczby stojącej w prawym górnym rogu (

−5

) i lewym dolnym (

−6

). Masz

więc:

ܹ = ቚ

−5

−6

−4

ቚ = 3 ∙ ሺ−4ሻ

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ିଵଶ

−

൫

−5 ∙

ሺ−6ሻ

൯

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ଷ଴

= −12 − 30 = −42.

Wyznacznik

௫

wyliczasz analogicznie do wyznacznika

ܹ. Jedyna różnica jest taka, że tabela w pierwszej kolumnie

będzie mieć wyrazy wolne tj. te liczby, które w układzie równań są za znakiem równości. Zatem:

௫

ቚ

−2

−5

−4

ቚ = −2 ∙ ሺ−4ሻ

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

଼

−

ሺ

−5 ∙ 9

ሻ

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ିସହ

= 8 −

ሺ−45ሻ = 8 + 45 = 53.

Wyznacznik

௬

wyliczasz również analogicznie do wyznacznika

ܹ. Jedyna różnica jest taka, że tabela w drugiej ko-

lumnie będzie mieć wyrazy wolne tj. te liczby, które w układzie równań są za znakiem równości. Zatem:

௬

ቚ

−2

−6

ቚ = 3 ∙ 9

ถ

ଶ଻

−

൫

−2 ∙

ሺ−6ሻ

൯

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ଵଶ

= 27 − 12 = 15.

Szukane wartości zmiennych

ݔ i ݕ wylicza się ze wzorów:

ݔ =

ௐ

ೣ

ௐ

, gdy

ܹ ≠ 0,

ݕ =

ௐ

೤

ௐ

, gdy

ܹ ≠ 0.

Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest

ݔ = −

ହଷ

ସଶ

ݕ = −

ଵହ

ସଶ

W celu nabrania lepszej wprawy, rozwiąż teraz tą metodą układ równań:

൜

−7

ݔ − 5ݕ = −2

−4

ݔ + 0ݕ = 15

ܹ = ቚ−7

−5

−4

ቚ = 0 −

= −20;

௫

ቚ−2

−5

ቚ = 0 +

= 75;

௬

ቚ−7

−2

−4

15 ቚ

= −105 −

= −113;

ݔ = −

ݕ =

113

Sprawdzenie otrzymanych wyników wykonuje się wstawiając obliczone wartości zmiennych do każdego równania
w wyjściowym układzie równań.

Uwaga.

Metodę wyznacznikową warto stosować tylko wtedy, gdy w układzie równań nie występują ułamki.

Uwaga. Jeśli w układzie równań występują ułamki, to warto się ich najpierw pozbyć, wykonując poprawne prze-

kształcenia.

Jeśli wyznacznik

ܹ ≠ 0, to układ równań liniowych jest oznaczony — ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli wszystkie wyznaczniki tj.: W, W

, W

są równe 0, to układ równań liniowych jest nieoznaczony — ma nieskoń-

czenie wiele rozwiązań.

Jeśli wyznacznik

ܹ = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od 0, to układ równań liniowych

jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

Iloczyn — wynik mnożenia.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 7

Pamiętaj też o tym, że jeśli w równaniu brakuje zmiennej np.

ݕ, to musisz dopisać 0ݕ, jeśli brakuje zmiennej ݔ, to

musisz dopisać 0

ݔ. Przykładowo by rozwiązać układ równań:

ቄ

−4

ݕ = 7

ݔ = 8

metodą wyznacznikową, musisz go najpierw zapisać w postaci mu równoważnej:

൜

ݔ − 4ݕ = 7

ݔ + 0ݕ = 8

i dopiero teraz zacząć wyliczać wyznaczniki.

Ćwiczenie:

Rozwiąż wszystkie poniższe układy równań metodą wyznacznikową.

൜

ݔ + 3ݕ = 5

ݔ − 2ݕ = 6

൜

ݔ = 4ݕ − 1

ݕ = 3ݔ + 2

ቄ

−4

ݕ = 7

ݔ = 8

൜

−2

ݕ − 5 = 7ݔ

−3

ݔ + 4 = 5ݕ

Odp. x = 28/23, y = 1/23.

Odp. x = –3/2, y = –1/2.

Odp. x = 4, y = –7/4.

Odp. x = –33/29, y = 43/29.

Sprawdzanie otrzymanego wyniku

Sprawdzenie robi się wstawiając obliczone liczby do każdego równania. Im więcej równań tym więcej czasu potrze-
ba na wykonanie sprawdzenia.

Pewnie się zastanawiasz dlaczego nigdy otrzymanych liczb nie wolno wstawiać do równania z którego się wyliczało
jedną ze zmiennych. Wyjaśnienie nie jest trudne. Przypuśćmy, że po rozwiązaniu układu równań:

൜ݔ

+ 2

ݕ = 36

ݔ − ݕ = 24

okazało się, że

ݔ =

ݕ =

oraz, że jedna ze zmiennych wyliczona została z równania drugiego. Sprawdzenie wy-

konujesz oczywiście wstawiając do równania pierwszego liczbę

zamiast

ݔ i liczbę

zamiast

ݕ. Masz więc:

+ 2 ∙

= 36

7 + 8 = 36

15 = 36,

Tylko dlaczego wyszedł fałsz? Przecież oczekiwaliśmy tego, że wyjdzie prawda. Pewnie gdzieś jest błąd — albo pod-
czas wykonywania sprawdzenia, albo podczas obliczania liczb 7 i 4. No i mamy problem, bo trzeba znaleźć gdzie ten
błąd się wkradł. Najpierw zakładasz, że liczby te są poprawnie obliczone i sprawdzasz, czy spełniają równanie drugie:

4 ∙

−

= 24

28 − 4 = 24

24 = 24

O! Wyszła prawda. Co jest grane? Liczby te nie spełniają równania pierwszego, a spełniają drugie? Coś tu nie tak.
Powinny spełniać oba równania. Pewnie nie powinny one wyjść 7 i 4, no i trzeba sprawdzić obliczenia za pomocą
których one zostały wyliczone.

Wniosek: Gdyby sprawdzenie wyniku można było robić z równania z którego była wyliczana jedna ze zmiennych,

wówczas mogłoby się okazać, że w sprawdzeniu lewa strona wyjdzie równa prawej i że obliczone liczby
są poprawne, podczas gdy w rzeczywistości mogłoby być inaczej.

Na wszelki wypadek warto obliczone liczby wstawiać do wszystkich równań i sprawdzać czy w każdym
z nich ich lewa strona jest równa stronie prawej. Więcej czasu to zajmuje, ale daje większą pewność po-
prawności obliczeń.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 8

Temat: Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiado-

mymi.

Niektóre typy zadań tekstowych z jakimi można spotkać się w gimnazjum, wymagają ułożenia trzech równań stopnia
pierwszego z trzema niewiadomymi (najczęściej x,

ݕ, ݖ). Wykorzystując wiedzę z klasy pierwszej gimnazjum, równa-

nia takie możesz rozwiązywać tylko metodą podstawiania, co niestety nie jest ani łatwe, ani szybkie. Dużo lepszym
sposobem jest zapisanie tych równań w postaci układu równań i zastosowanie tzw. metody wyznacznikowej.

Metoda wyznacznikowa

Metoda wyznacznikowa dla układu trzech równań liniowych (stopnia pierwszego) z trzema niewiadomymi:

ݔ, ݕ,

ݖ wymaga zapisania każdego równania w postaci:

ܽݔ + ܾݕ + ܿݖ = ݀

i nieco większej pracowitości niż przy układach dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Zobacz to na
przykładzie układu równań:

൝

ݕ = 4 − 3ݔ − 5ݖ

−6 −

ݖ = −2ݔ − 4ݕ

ݔ = 7 − 6ݖ

Przekształcasz każde jego równanie do wspomnianej postaci:

൝

−3

ݔ +

ݕ +

ݖ = 4

ݔ +

− 1

ݖ = 6

ݔ +

ݕ +

ݖ = 7

Wyznacznik

ܹ wyliczasz z tablicy (macierzy) składającej się z liczb stojących tylko przed zmiennymi: ݔ, ݕ, ݖ.

൥

−

૜

ૡ

૞

૛

૝

−

૚

૞

૙

૟

൩

stosując jedną z poniższych możliwości:

a)  u dołu przepisujesz dwa górne wiersze
b)  z prawej strony przepisujesz dwie pierwsze kolumny
c)  u góry dopisujesz dwa dolne wiersze
d)  z lewej strony dopisujesz dwie ostatnie kolumny

ܹ = ተተ

−

૜ ૡ ૞

૛ ૝ −૚

૞ ૙ ૟

−3

−1

ተተ

ܹ = อ

−

૜

ૡ

૞

૛

૝

−

૚

૞

૙

૟

อ

−3

ܹ = ተተ

−1

−

૜ ૡ ૞

૛ ૝ −૚

૞ ૙ ૟

ተተ

ܹ =

−1

อ

−

૜

ૡ

૞

૛

૝

−

૚

૞

૙

૟

อ

W praktyce najczęściej wybiera się sposób a), czyli dopisywanie u dołu dwóch pierwszych wierszy. Obliczanie warto-
ści takiego wyznacznika wykonuje się rozpoczynając mnożenie z lewego górnego rogu:

ܹ = ተተ

−3

−1

−3

−1

ተተ =

−3

∙

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ି଻ଶ

∙

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଴

∙

ሺ

−1

ሻ

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିସ଴

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௟௘௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ିଵଵଶ

−

(

5 ∙ 4 ∙ 5

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵ଴଴

ሺ−1ሻ ∙ 0 ∙ ሺ−3ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

଴

+ 6 ∙ 8 ∙ 2

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଽ଺

)

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௣௥௔௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଵଽ଺

= −308.

Wyznacznik

௫

obliczasz tak jak przy układach dwóch równań tj. zastępując liczby w pierwszej kolumnie wyrazami

wolnymi, czyli stojącymi za znakiem równości.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 9

௫

ተተ

−1

ተተ =

∙

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଽ଺

∙

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଴

∙

ሺ

−1

ሻ

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିହ଺

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௟௘௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ସ଴

−

(

5 ∙ 4 ∙ 7

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵସ଴

ሺ−1ሻ ∙ 0 ∙ 4

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

଴

+ 6 ∙ 8 ∙ 6

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଶ଼଼

)

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௣௥௔௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ସଶ଼

= −388.

Wyznacznik

௬

obliczasz tak jak przy układach dwóch równań tj. zastępując liczby z drugiej kolumny wyznacznika

ܹ, wyrazami wolnymi, czyli stojącymi za znakiem równości.

௬

ተተ

−3

−1

−3

−1

ተተ =

−3

∙

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିଵ଴଼

∙

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଻଴

∙

ሺ

−1

ሻ

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିଶ଴

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௟௘௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ିହ଼

−

(

5 ∙ 6 ∙ 5

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵହ଴

ሺ−1ሻ ∙ 7 ∙ ሺ−3ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ଶଵ

+ 6 ∙ 4 ∙ 2

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ସ଼

)

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௣௥௔௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଶଵଽ

= −277.

Wyznacznik

௭

obliczasz zastępując liczby z trzeciej kolumny wyznacznika

ܹ, wyrazami wolnymi:

௭

ተተ

−3

ተተ =

−3

∙

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ି଼ସ

∙

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଴

∙

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଶସ଴

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௟௘௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଵହ଺

−

(

4 ∙ 4 ∙ 5

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଼଴

+ 6 ∙ 0 ∙

ሺ−3ሻ

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

଴

+ 7 ∙ 8 ∙ 2

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵଵଶ

)

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

௦௞௢௦ ௭ ௣௥௔௪௘௚௢ ௚ó௥௡௘௚௢ ௥௢௚௨

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଵଽଶ

= −36.

Szukane zmienne:

ݔ, ݕ, ݖ wyliczasz ze wzorów:

ݔ =

௫

ݕ =

௬

ݖ =

௭

Uwaga. Powyższe wzory można stosować tylko wtedy, gdy wyznacznik

ܹ ≠ 0.

Zatem:

Sprawdzenie w tej metodzie wykonuje się wstawiając wszystkie otrzymane wyniki do tego równania w wyjściowym
układzie równań, w którym występują wszystkie zmienne. W rozpatrywanym przed chwilą układzie, sprawdzenie za-
leca się wykonywać tylko z równania pierwszego lub drugiego (w trzecim występuje bowiem jednomian 0

ݕ).

Uwaga.

Metodę wyznacznikową warto stosować tylko wtedy, gdy w układzie równań nie występują ułamki.

Uwaga. Jeśli w układzie równań występują ułamki, to warto się ich najpierw pozbyć, wykonując poprawne prze-

kształcenia.

W celu nabrania lepszej wprawy, prześledź rozwiązywanie poniższego układu równań metodą wyznacznikową.

൝

ݖ = 9ݔ − 10ݕ + 11

ݔ − 6 + 2ݕ = 7ݖ

ݔ + 5 = 2ݕ − 3ݖ

൝

−9

ݔ + 10ݕ + 8ݖ = 11

ݔ +

ݕ − 7ݖ =

ݔ −

ݕ + 3ݖ = −5

ܹ = ተተ

−9

−7

−2

−9

−7

ተተ = −9 ∙ 2 ∙ 3

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିହସ

+ 4 ∙

ሺ−2ሻ ∙ 8

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ି଺ସ

+ 1 ∙ 10 ∙

ሺ−7ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ି଻

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ିଵଶହ

−

൭8 ∙ 2 ∙ 1

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵ଺

ሺ−7ሻ ∙ ሺ−2ሻ ∙ ሺ−9ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

ିଵଶ଺

+ 3 ∙ 10 ∙ 4

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵଶ଴

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଵ଴

൱

= −135

ݔ =

388

308

ݕ =

277

308

ݖ =

308

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 10

௫

ተተ

−7

−5

−2

−7

ተተ = 11 ∙ 2 ∙ 3

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଺଺

+ 6 ∙

ሺ−2ሻ ∙ 8

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିଽ଺

ሺ−5ሻ ∙ 10 ∙ ሺ−7ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

ଷହ଴

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଷଶ଴

−

൭8 ∙ 2 ∙ ሺ−5ሻ

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ି଼଴

+ (−7) ∙ (−2) ∙ 11

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

ଵହସ

+ 3 ∙ 10 ∙ 6

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵ଼଴

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ଶହସ

൱

௫

= 66

௬

ተተ

−9

−7

−5

−9

−7

ተተ = −9 ∙ 6 ∙ 3

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିଵ଺ଶ

+ 4 ∙

ሺ−5ሻ ∙ 8

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

ିଵ଺଴

+ 1 ∙ 11 ∙

ሺ−7ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ି଻଻

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ିଷଽଽ

−

൭8 ∙ 6 ∙ 1

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ସ଼

ሺ−7ሻ ∙ ሺ−5ሻ ∙ ሺ−9ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

ିଷଵହ

+ 3 ∙ 11 ∙ 4

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵଷଶ

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ିଵଷହ

൱

௬

= −264

௭

ተተ

−9

−2

−5

−9

ተተ = −9 ∙ 2 ∙ ሺ−5ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ଽ଴

+ 4 ∙

ሺ−2ሻ ∙ 11

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ି଼଼

+ 1 ∙ 10 ∙ 6

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଺଴

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

଺ଶ

−

൭11 ∙ 2 ∙ 1

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଶଶ

+ 6 ∙

ሺ−2ሻ ∙ ሺ−9ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ଵ଴଼

+ (−5) ∙ 10 ∙ 4

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ିଶ଴଴

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ି଻଴

൱

௭

= 132

ݔ =

−135

= −

ݕ =

−264

−135

ݖ =

132

−135

= −

Uwaga. Jeśli wyznacznik

ܹ ≠ 0, to układ równań liniowych jest oznaczony — ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli wszystkie wyznaczniki tj.:

ܹ, ܹ

௫

௬

௭

są równe 0, to układ równań liniowych jest nieoznaczony, czy-

li ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeśli wyznacznik

ܹ = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od 0, to układ równań

liniowych jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

Uwaga. O tym czy istnieje rozwiązanie układu równań liniowych rozstrzyga twierdzenie Kroneckera-Capellego. Nie-

stety jest ono zbyt zaawansowane żeby móc go tłumaczyć w oparciu o wiedzę z gimnazjum.

Ćwiczenie:

Rozwiąż poniższe układy równań stosując metodę wyznacznikową.

൝

ݔ − ݕ + 3ݖ = 5

−3

ݔ − 2ݕ + ݖ = −4

−5

ݔ + 4ݕ − 6ݖ = 6

൝

ݔ = 6ݕ − 5ݖ

ݕ = 5ݔ + 2

ݖ + 6ݔ = 8

൝

−

ݖ + 5ݕ − 3ݔ = 4

−

ݕ + 5ݔ − 3ݖ = 4

−

ݔ + 5ݖ − 3ݕ = 4

൝

ݖ = 8ݔ

ݕ = 6ݖ

ݔ = 4ݕ

Odp. x = –46/27; y = 193/27; z = 140/27.

Odp. x = 62/93; y = z = 124/93.

Odp. x = y = z = 4.

Odp. x = y = z = 0.