wyznacza wzór funkcji kwadratowej.
Procedura:
1. Przeczytaj starannie tre±¢ zadania
2. Przyjrzyj si¦ uwa»nie punktom, przez które przechodzi twoja parabola. Punkty te mo»na opisywa¢ w ró»ny sposób i tak
f (−2) = 0 oznacza, »e punkt (−2, 0) nale»y do wykresu funkcji y = f (x) zauwa», »e wspóªrz¦dna tego punktu wynosi 0, wi¦c punkt le»y na osi x (wi¦c jest miejscem zerowym tej funkcji) mo»emy zapisa¢ np.x1 = −2) Poza tym −2 jest argumentem funkcji (x-owa wspóªrz¦dna punktu), a 0 jest warto±ci¡ funkcji (y-owa wspóªrz¦dna punktu)
3. Wierzchoªek paraboli to punkt, w którym funkcja osi¡ga najmniejsz¡ lub najwi¦ksz¡ warto±¢, wi¦c jak w zadaniu b¦dzie co± o osi¡ganiu najwi¦kszej lub najmniejszej warto±ci, to skojarz z wierzchoªkiem paraboli.
4. Je±li w±ród punktów, przez które przechodzi twoja parabola, jest wierzchoªek paraboli, to posªó» si¦ postaci¡
kanoniczn¡ funkcji y = a(x − p)2 + q (wstaw dane za p i q ). Dalej wystarczy wyznaczy¢ warto±¢ wspóªczynnika a i napisa¢ wzór funkcji w postaci kanonicznej 5. Je±li w±ród punktów s¡ miejsca zerowe funkcji, to skorzystaj z postaci iloczynowej y = a(x − x1)(x − x2) (wstaw dane za x1 i x2). Tu równie» wystarczy wyznaczy¢ warto±¢ wspóªczynnika a i potem napisa¢ wzór funkcji w postaci iloczynowej
6. Je±li punkty przez które przechodzi wykres paraboli nie s¡ szczególne ( nie jest to wierzchoªek, b¡d¹ miejsca zerowe funkcji) zastosuj posta¢ ogóln¡ y = ax2 + bx + c 7. Jesli wiesz, »e przez jaki± punkt, powiedzmy (−3, 5) przechodzi wykres paraboli, to podstawiaj¡c x = −3 i y = 5
do wzoru funkcji (posta¢ mo»e byc dowolna) osi¡gniesz równo±¢ - to jest najcz¦stszy sposób uzyskania równania z nieznanym wspóªczynnikiem.
Zadanie 1
Wykres funkcji kwadratowej przecina o± x w punktach 3, -2 oraz f(4) = 1.
Ustal wzór tej funkcji
Rozwi¡zanie:
Punkty przeci¦cia si¦ wykresu funkcji z osi¡ x s¡ miejsami zerowymi funkcji czyli x1 = −2 i x2 = 3.
Korzystamy z postaci iloczynowej y = a(x − x1)(x − x2) = a(x + 2)(x − 3) Poniewa» f(4) = 1 podstawi¡j¡c x = 4 i y = 1 do wzoru otrzymamy: 1 = a(4 + 2)(4 − 3)
1 = 6a
1 = a
6
zatem y = 1(x + 2)(x − 3)
6
Zadanie 2
Najmniejsza warto±¢ funkcji kwadratowej −5 jest osi¡gana dla argumentu 2
oraz punkt (−2, 4) nale»y do wykresu tej funcji. Ustal wzór tej funkcji Rozwi¡zanie:
Wierzchoªkiem tej paraboli jest punkt o wspóªrzednych (2, −5) czyli p = 2 i q = −5.
Korzystamy z postaci kanonicznej y = a(x − p)2 + q = a(x − 2)2 − 5
Poniewa» (−2, 4) nale»y do wykresu tej funcji podstawi¡j¡c x = −2 i y = 4 do wzoru otrzymamy: 4 = a(−2 − 2)2 − 5
4 = 16a − 5
9 = 16a
9 = a
16
zatem y = 9 (x − 2)2 − 5
16
Ustal wzór tej funkcji kwadratowej przechodzacej przez: A(−2, −18) , B(−1, −9) oraz f (3) = −13.
Rozwi¡zanie:
Nie mamy informacji o wierzchoªku, »aden z punktów nie jest miejscem zerowym funkcji Korzystamy z postaci ogólnej y = ax2 +bx+c Mo»na zapisa¢ ax2 +bx+c = y - tak wygodniej podstawia¢
wspóªrzedne punktów podane w zadaniu
otrzymujemy:
4a − 2b + c = −18
a − b + c = −9
9a + 3b + c = −13
By otrzyma¢ ukªad z dwoma niewiadomymi najszybciej odejmowa¢ równania stronami np. (III)-(I) i (III)-(II):
5a + 5b = 5 / : 5
8a + 4b = −4 / : 4
a + b = 1
2a + b = −1
metoda wyznaczników:
1
1
W =
= 1 − 2 = −1
2
1
1
1
Wa
2
W
a =
= 1 + 1 = 2
a =
=
= −2
−1
1
W
−1
1
1
Wb
−3
W
b =
= −1 − 2 = −3
b =
=
= 3
2
−1
W
−1
wstawiamy wyznaczone a = −2 oraz b = 3 do jednego z równa« o maªych wspóªczynnikach np. do równania (II) otrzymamy :
−2 − 3 + c = −9
c = −4
zatem y = −2x2 + 3x − 4
Przypominam metod¦ wyznaczników:
wyznacznik 2 × 2 obliczamy wedªug wzoru:
a
b
W =
= a · d − c · b
c
d
Aby rozwi¡za¢ ukªad
−3x
+
2t
=
8
5x
−
4t
=
−9
obliczamy trzy wyznaczniki (uwaga na znaki wspóªczynników, prosz¦ nie gubi¢ minusów)
−3
2
W =
= (−3) · (−4) − 5 · 2 = 12 − 10 = 2
5
−4
8
2
Wx
−14
W
x =
= 8 · (−4) − (−9) · 2 = −32 + 18 = −14
x =
=
= −7
−9
−4
W
2
−3
8
Wt
−13
1
W
t =
= 27 − 40 = −13
t =
=
= −6
5
−9
W
2
2
opracowanie: Krzysztof Klajn 9.10.2009 .