Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 1

Kwadratura:

Całkowanie numeryczne

∫

∑

=

=

b

a

n

k

k

k

)

x

(

f

A

dx

)

x

(

f

0

KWADRATURY NEWTONA-COTESA

uzyskane przez interpolację wielomianem z węzłami

równoodległymi

n

a

,...,

i

,

ih

a

x

i

−

=

+

=

0

b

h

,

n

=

)

x

(

P

)

x

(

f

f

,

f

a

b

dx

)

x

(

P

dx

)

x

(

f

i

n

i

i

b

a

n

i

i

n

b

a

=

=

−

=

≈

∫

∑

∫

σ

ns

i

=0

Ł

Instytut Automatyki Politechniki ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 2

n

σ

i

ns

błąd nazwa

1 1 1

2

wzór trapezów

2 1 4 1

6

wzór Simpsona

3 1 3 3 1

8

wzór "trzech ósmych"

4 7 32 12 32

7

90

wzór Milne'a

5 19 75 50 50

75 19

288

-

6 41 216 27 272

27 216 41

840

wzór Weddle'a

h- długość przedziału,

ξ

- punkt pośredni

)

(

f

h

)

(

ξ

2

3

12

1

)

(

f

h

)

(

ξ

4

5

90

1

)

(

f

h

)

(

ξ

4

5

80

3

)

(

f

h

)

(

ξ

6

7

945

8

)

(

f

h

)

(

ξ

6

7

12096

275

)

(

f

h

)

(

ξ

8

9

1400

9

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 3

Kwadratury złożone

n

a

b

h

,

n

,...,

i

,

ih

a

x

i

−

=

=

+

=

0

Wzór prostokątów

∫

)

h

(

R

)

h

x

(

f

h

dx

)

x

(

f

n

i

i

b

a

=

+

≈

∑

−

=

1

0

2

Wzór trapezów

∫

[

]

)

h

(

T

)

x

(

f

)

x

(

f

h

dx

)

x

(

f

n

i

i

i

b

a

=

+

≈

∑

−

=

+

1

0

1

2









+

−

+

+

+

+

=

2

2

)

b

(

f

)

h

b

(

f

)

h

a

(

f

)

a

(

f

h

)

h

(

T

L

Oszacowanie błędu obcięcia:

(

)

)

(

'

'

f

h

a

b

)

h

(

R

dx

)

x

(

f

b

a

ξ

2

24

1

−

≤

−

∫

(

)

)

(

'

'

f

h

a

b

)

h

(

T

dx

)

x

(

f

b

a

ξ

2

12

1

−

≤

−

∫

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

L

+

6

h

W5 - 4

+

3

4

2

a

h

+

+

2

1

a

h

a

=

∫

)

h

(

b

a

dx

)

x

(

f

T

Metoda Romberga=

=złożona kwadratura trapezów+ekstrapolacja Richardsona

q=2, p

i

=2i