Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 1

Całkowanie numeryczne

Kwadratura:

∫

∑

=

=

b

a

n

k

k

k

)

x

(

f

A

dx

)

x

(

f

0

KWADRATURY NEWTONA-COTESA

uzyskane przez interpolację wielomianem z węzłami

równoodległymi

n

a

b

h

,

n

,...,

i

,

ih

a

x

i

−

=

=

+

=

0

)

x

(

P

)

x

(

f

f

,

f

ns

a

b

dx

)

x

(

P

dx

)

x

(

f

i

n

i

i

b

a

n

i

i

i

n

b

a

=

=

−

=

≈

∫

∑

∫

=0

σ

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 2

n

σ

i

ns

błąd nazwa

1 1 1

2

)

(

f

h

)

(

ξ

2

3

12

1

wzór trapezów

2 1 4 1

6

)

(

f

h

)

(

ξ

4

5

90

1

wzór Simpsona

3 1 3 3 1

8

)

(

f

h

)

(

ξ

4

5

80

3

wzór "trzech ósmych"

4 7 32 12 32

7

90

)

(

f

h

)

(

ξ

6

7

945

8

wzór Milne'a

5 19 75 50 50

75 19

288

)

(

f

h

)

(

ξ

6

7

12096

275

-

6 41 216 27 272

27 216 41

840

)

(

f

h

)

(

ξ

8

9

1400

9

wzór Weddle'a

h- długość przedziału,

ξ

- punkt pośredni

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 3

Obliczenie współczynników kwadratur Newtona-Cotesa:

Dane są węzły x

0

,x

1

,..,x

n

. Chcemy, by kwadratura całkowała dokładnie (na przedziale [–1

1])stałą:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

)

(

x

dx

x

x

w

x

w

x

w

n

n

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

+

+

+

−

−

∫

L

oraz funkcje x, x

2

, …x

n

:

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1
0

0

)

(

x

dx

x

x

w

x

w

x

w

n

n

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

+

+

+

−

−

∫

L

…………………………………

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

+

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

=

+

+

+

+

−

−

+

∫

n

)

(

n

x

dx

x

x

w

x

w

x

w

n

n

n

n

n

n

n

n

L

W postaci macierzowej:

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 4

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

0

1

0

1

1

1

1

1
0

0

0

1

0

0

n

)

(

)

(

)

(

w

w

w

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

n

n

M

M

L

M

M

M

M

K

L

transponowana macierz Vandermode’a

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 5

Kwadratura Newtona-Cotes’a o n+1 węzłach obliczy dokładnie całkę wielomianu
stopnia n. Można zmienić układ węzłów, tak by zwiększyć stopień wielomianu
całkowanego dokładnie przez kwadraturę korzystającą z n węzłów.

Kwadratury Gaussa pozwalaja na dokładne całkowanie wielomianów stopnia do
2n-1 przy n węzłach.

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 6

Kwadratury złożone

n

a

b

h

,

n

,...,

i

,

ih

a

x

i

−

=

=

+

=

0

Wzór prostokątów

)

h

(

R

)

h

x

(

f

h

dx

)

x

(

f

n

i

i

b

a

=

+

≈

∑

∫

−

=

1

0

2

Wzór trapezów

[

]

)

h

(

T

)

x

(

f

)

x

(

f

h

dx

)

x

(

f

n

i

i

i

b

a

=

+

≈

∑

∫

−

=

+

1

0

1

2

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

+

+

+

+

=

2

2

)

b

(

f

)

h

b

(

f

)

h

a

(

f

)

a

(

f

h

)

h

(

T

L

Oszacowanie błędu obcięcia:

(

)

)

(

'

'

f

h

a

b

)

h

(

R

dx

)

x

(

f

b

a

ξ

2

24

1

−

≤

−

∫

(

)

)

(

'

'

f

h

a

b

)

h

(

T

dx

)

x

(

f

b

a

ξ

2

12

1

−

≤

−

∫

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 7

L

+

+

+

+

=

∫

6

3

4

2

2

1

h

a

h

a

h

a

dx

)

x

(

f

)

h

(

T

b

a

Metoda Romberga=

=złożona kwadratura trapezów+ekstrapolacja Richardsona

q=2, p

i

=2i

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 8

Kwadratury adaptacyjne

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 5

W5 - 9