Teoria sygnałów i systemów

Kolokwium 3 – poprawa

02 lutego 2015 r.

0. Wyznaczyć splot całkowy w(t) = x(t) ∗ y(t) dla funkcji:

x(t) = te

−t

1(t)

y(t) =







1

dla t ≥ 1

0

dla t < 1

1. Dany jest układ opisany przez równianie różniczkowe:

2¨

y + 8 ˙

y + 10y = 2f (t)

przy czym y(0) = 0 oraz ˙

y(0) = 0. Wyznaczyć odpowiedź impulsową tego układu

oraz narysować jej wykres.

2. Odpowiedź impulsowa systemu wynosi:

h(t) = te

−t

1(t)

Znaleźć odpowiedź systemu na wymuszenie:

x(t) = 1(t − 2)

i narysować jej wykres.

3. Dany jest filtr dolnoprzepustowy o transmitancji widmowej:

H(jω) =

10

2

10

2

− ω

2

+ 10

√

2ωj

Na jego podstawie poprzez tranformację częstotliwości skonstruować filtr dolnoprze-
pustowy, którego pulsacja graniczna będzie dziesięciokrotnie większa, niż dla filtra
wyjściowego.

4. Równanie ˙

x = au (a ≡ const) jest modelem systemu, który umożliwia oszacowanie

wartości zmiennej x z odchyleniem standardowym 0.01. Układ pomiarowy mierzy
bezpośrednio x oraz zmienną u z wariancjami odpowiednio 0.01 oraz 0.002. Do
zwiększenia dokładności estymacji zastosowano filtr Kalmana. Proszę podać założe-
nia przyjęte przy konstrukcji filtra Kalmana, wyznaczyć równanie stanu, równanie
obserwacji, macierze kowariancji błędów oraz parametry startowe. W przypadku
braku wystardzającej ilości danych proszę opisać sposób wyznaczania tych parame-
trów filtra.

5. Model dyskretny układu ma postać:

x

k+1

= 0.9x

k

a równanie obserwacji to:

y

k

= 4x

k

Wykonano dwukrotny odczyt wartości pomiarowych, otrzymując y

0

= 11 i y

1

=

10. Dla tego układu przeprowadzić dwa pierwsze kroki czasowe algorytmu filtracji
Kalmana, przyjmując E[w

2

k

] = 9 · 10

−2

oraz E[v

2

k

] = 10

−4

dla każdego k (gdzie w to

błąd w równaniu modelu, zaś v to błąd w równaniu obserwacji). Wartości startowe
przyjąć dowolne, ale uzasanić ich wybór.