Wyznaczanie rzędu autoregresji
Teoria Prognozy
Modele autoregresyjne
z uwzględnieniem opóźnień zmiennej zależnej
Krzysztof Glapiak
Matematyka Finansowa
25 maja 2015
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Model Autoregresji
Model AR(p) można zapisać w ogólnej postacji:
Y
t
= f (Y
t−1
, Y
t−2
, ..., Y
t−p
, ξ)
W praktyce najczęściej przyjmuje się, że funkcja f jest liniowa lub logartymiczno
- liniowa. W przypadku funkcji liniowej, model autoregresji jest postaci:
Y
t
= a
0
+
p
X
i =1
a
i
Y
t−i
+ ξ
t
gdzie:
Y
t
- prognozowana zmienna losowa
Y
t−i
- prognozowana zmienna losowa opóźniona w czasie (i= 1,2,...,p)
a
0
, a
1
, ..., a
p
- parametry modelu
p - rząd autoregresji
ξ
i
- składnik losowy
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Paramatery modelu będziemy szacować za pomocą metody
najmniejszych kwadratów, która nie jest najefektywniejsza lecz jest
prostsza w obliczeniach numerycznych.
Oznaczenia
Parametry modelu będziemy estymować w oparciu o n wartości
szeregu czasowego (y
i
)
i =1,...,n
y-wektor o rozmiarach (n - p)× 1 zaobserwowanych wartości
prognozowanej zmiennej
X - macierz o wymiarach (n-p)× (p+1), której pierwsza
kolumna składa się z jedynek,a pozostałe z zaobserwowanych
wartości zmiennej opóźnionej
a - wektor o rozmiarach (p + 1) × 1 nieznanych parametrów
ξ - wektor składników losowych o rozmiarach (n - p) × 1
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
y =
y
p+1
y
p+2
.
.
y
n
X =
1
y
p
y
p−1
...
y
1
1
y
p+1
y
p
...
y
2
.
.
.
...
.
.
.
.
...
.
1
y
n−1
y
p−2
...
y
n−p
a =
a
0
a
1
.
.
a
p
ξ =
ξ
p+1
ξ
p+2
.
.
ξ
n
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Przy takiech oznaczeniach model można zapisać w postaci:
y = X a + ξ
Stosując metodę najmniejszych kwadratów orzymujemy wektor
wartości poszukiwanych parametrów.
a = (X
0
X)
−1
X
0
y
gdzie X
0
oznacza transpozycję
macierz odwrotna (X
0
X)
−1
istnieje
W wyniku estymacji parametrów modelu otrzymujemy postać:
y = X a + e
gdzie e - macierz reszt o wymiarach (n-p) × 1
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Dane, które posłużą nam do zobrazowania modelu porzedstawiają kwartalną
produkcję wyrobów z gumy i tworzyw sztucznych w Polsce w latach 1992 - 2000
Data
Produkcja
Data
Produkcja
sty-92
298,3
lip-96
809,9
kwi-92
296,2
paź-96
752,8
lip-92
345,1
sty-97
679,6
paź-92
362,8
kwi-97
783,9
sty-93
356,9
lip-97
817,1
kwi-93
428,2
paź-97
802,9
lip-93
378,2
sty-98
801,3
paź-93
376,8
kwi-98
911,2
sty-94
373,5
lip-98
960
kwi-94
418,5
paź-98
895,8
lip-94
474,7
sty-99
779,4
paź-94
516,1
kwi-99
909,9
sty-95
552,3
lip-99
1075,2
kwi-95
634,7
paź-99
1040,5
lip-95
702,8
sty-00
877,1
paź-95
708,4
kwi-00
989
sty-96
635,7
lip-00
1041
kwi-96
754,4
paź-00
949,1
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Wartość rzędu autoregresji p można ustalić wykorzystując metody
bazujące na zachowaniu się empirycznych funkcji autokorelacji i
autokorelacji cząstkowej (ACF i PACF). Innym sposobem jest
szacowanie parametrów modelu dla różnych opóźnień.
Wybór p dokonujemy za pomocą funkcji:
SR(k) = ln S
2
e
(k) +
k
n
ln n
Gdzie k - rząd autoregresji,
k ∈ (1, 2, ..., K )
K- maksymalny rząd autoregresji
S
2
e
jest nieobciążonym estymatorem wariancji błędu losowego
S
2
e
=
e
0
e
N − K
=
e
0
e
(n − p) − (p + 1)
N - liczba obserwacji
P - liczba estymowamych parametrów
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Wartości funkcji SR obliczamy dla modeli autoregresji o kolejnych
rzędach opóźnień i następnie wypieramy takie p spełniające
warunek:
SR(p) = min
k
SR(k), k ∈ (1, 2, ..., K )
Dla naszych danych mamy:
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Istotność parametrów
Po wyznaczeniu rzędu autoregresji należy obliczyć miary
dopasowania by sprawdzić jak model opisuje naszą zmienną losową.
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Istotność parametrów
Macierz wariancji i kowariancji
Macierz wariancji i kowariancji parametrów modelu jest postaci:
Var (a) =
Var (a
0
)
Cov (a
1
, a
o
)
...
Cov (a
p
, a
0
)
Cov (a
0
, a
1
)
Var (a
1
)
...
Cov (a
p
, a
1
)
.
.
.
...
.
.
.
...
Cov (a
0
, a
p
)
...
...
Var (a
p
)
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Istotność parametrów
Obliczamy wartości macierzy wariancji-kowariancji:
Var (a) = Var ((X
0
X)
−1
X
0
y) = Var ((X
0
X)
−1
X
0
(Xa + e)) =
= Var (a + (X
0
X)
−1
X
0
e) = (X
0
X)
−1
X
0
Var (e)
|
{z
}
S
2
e
I
X(X
0
X)
−1
=
= S
2
e
(X
0
X)
−1
X
0
X(X
0
X)
−1
= S
2
e
(X
0
X)
−1
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Istotność parametrów
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik determinacji (R
2
) oraz zbieżności (ϕ
2
) są jednymi z
podstawowych miar dopasowania modelu. Współczynnik R
2
informuje jaka
część zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez model,
natomiast ϕ
2
jaka część nie została wyjaśniona.
Zachodzi:
1 − R
2
= ϕ
2
ϕ
2
=
e
0
e
P
n
i =p+1
(y
i
− ¯
y )
2
gdzie ¯
y jest średnią arytmetyczną wartości szeregu od momentu p+1
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Współczynnik zmienności losowej
Współczynnik V
e
informuje jaką część średniej wartości badanego
zjawiska stanowi odchylenie standardowe reszt. Im niższa wartość
współczynnika tym model lepiej jest dopasowany do danych
empirycznych.
V
e
=
S
e
¯
y
S
e
=
q
S
2
e
jest estymatorem odchylenia standardowego
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Istotność parametrów
Do zbadania czy wyestymowane parametry a
i
∈ a są istotne
posłużymy się statystyką testową t-Studenta.
t
a
i
=
|a
i
|
p
Var (a
i
)
H
0
: a
i
= 0
H
A
: a
i
6= 0
Hipotezę H
0
odrzycamy gdy t
a
i
> t
α:df
Gdzie t
α:df
to wartość odczytana z tablic rozkładu t-Studenta na poziomie
istotności α z df stopniami swobody
df = N − P = (n − p) − (p − 1)
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Macierz wariancji i kowariancji
Współczynniki zbieżnośi i determinacji
Współczynnik zmienności losowej
Poniższe tabele przedstawiają obliczone wartości wyestymowanych parametrów
a, miary dopasowania modelu oraz testy istotności dla parametrów
Z powyzszych tabel odczytujemy, że wszystkie parametry modelu są istotnie
różne od zera. Współczynnik zmienności losowej wynosi niecałe 8% a z wartości
współczynnika R
2
odczytujemy, że model opisuje prawie 95% analizowanej
zmiennej losowej, więc nasz model jest dobrze dopasowany do danych
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Obliczanie wartości prognoz
Prognozy będziemy obliczać sekwencyjnie, czyli do obliczenia
prognozy na okres n + h korzystamy z wartości prognozy z okresu
n + h − 1
y
p
T
= ca =
h
1
y
T −1
y
T −1
...
y
T −p
i
a
0
a
1
.
.
.
a
p
Krzysztof Glapiak
Wyznaczanie rzędu autoregresji
Ocenę średniego błędu predykcji ex ante na okres T wyznaczamy ze wzoru:
S
D
T
=
p
S
2
e
(1 + e(X
0
X)e
0
)
Natomiast błąd względny wynosi:
V
D
T
=
S
D
T
y
p
T
Błędy względne dla wyznaczonych prognoz wynoszą ok 6% więc
można uznać prognozy za dopuszczalne
Krzysztof Glapiak
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Modele dynamiczne id 305054 Nieznany
modele rynkowe1 id 305129 Nieznany
modele rynkowe2 id 305130 Nieznany
lab 3 modele stochastyczne id 4 Nieznany
Modele 2 id 305026 Nieznany
modele id 305023 Nieznany
Modele konspektow lekcji id 305 Nieznany
modele id 305044 Nieznany
IO modele id 219744 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
więcej podobnych podstron