Rachunek wektorów
1. Przypomnienie
Niech R
k
będzie zbiorem ciągów k wyrazowych utworzonych z liczb rzeczywistych. Zbiór R
k
nazywamy przestrzenią wektorową k – wymiarową, gdy ustalimy jak dodawać te ciągi oraz
jak je mnoŜyć przez liczby.
Elementy zbioru R
k
, (czyli te ciągi ) nazywamy wektorami i oznaczamy
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
]
oraz
→
v
= [v
1
, v
2
, … , v
k
] . Taki zapis będziemy nazywać wierszowym.
Niekiedy wektory wygodnie zapisywać w kolumnach (zapis kolumnowy) następująco:
→
u
=
k
u
u
u
...
2
1
.
Przykład 1.
→
a
= [2; -3,5; ½ ; 0,4; 7 ]
∈
R
5
;
→
b
=
−
5
3
0
1
∈
R
4
.
Definicja
a) JeŜeli
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
] przestrzeni R
k
, to elementy u
1
, u
2
, … , u
k
nazywamy
składowymi wektora
→
u
.
b) Wektory
→
u
=
→
v
wtedy i tylko wtedy, gdy u
1
= v
1
, u
2
= v
2
, , … , u
k
=
v
k
.
Czyli wektory danej przestrzeni są równe, gdy mają te same składowe.
c) Wektor [ 0, 0, …, 0] =
→
0
o zerowych składowych nazywamy wektorem zerowym.
Definicja
JeŜeli
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
] ,
→
v
= [v
1
, v
2
, … , v
k
]
a) Sumą wektorów
→
u
,
→
v
nazywamy wektor
→
u
+
→
v
= [u
1
+ v
1
, u
2
+ v
2
, … , u
k
+ v
k
].
b) Iloczynem wektora
→
u
przez liczbę
α
nazywamy wektor
α
→
u
= [
α
u
1
,
α
u
2
, … ,
α
u
k
].
Definicja
Wektor -1
→
u
= -
→
u
= [- u
1
, - u
2
, … , - u
k
] nazywamy wektorem przeciwnym
do wektora
→
u
.
Przykład 2.
a)
−
0
3
4
1
+
−
−
5
3
0
1
=
−
5
6
4
0
; 4
⋅
→
a
= 4
⋅
[2; -3,5; ½ ; 0,4; 7 ] = [8; -14; 2; 1,6; 28].
2. Rachunek wektorów
Definicja
RóŜnicą wektorów
→
u
,
→
v
nazywamy wektor
→
u
-
→
v
=
→
u
+ (-
→
v
).
Twierdzenie
JeŜeli m, n, są liczbami rzeczywistymi,
→
a
,
→
b
,
→
c
wektorami, to:
a)
→
a
+
→
b
=
→
b
+
→
a
,
b) (
→
a
+
→
b
) +
→
c
=
→
a
+ (
→
b
+
→
c
),
c)
→
a
+
→
0
=
→
0
+
→
a
,
d) m (
→
a
+
→
b
) = m
→
a
+ m
→
b
,
e) ( m + n)
→
a
= m
→
a
+ n
→
a
,
f)
→
a
+ (-
→
a
) =
→
a
-
→
a
=
→
0
.
Przykład 3.
Oblicz
→
a
-2
→
b
+ 4
→
c
, gdy
→
a
= [2, -1,2],
→
b
= [4, 0, -2],
→
c
= [ 0, -2, -1].
Mamy:
-2
→
b
= -2 [4, 0, -2] = [-8, 0, 4],
4
→
c
= 4 [ 0, -2, -1] = [ 0, -8, -4].
Zatem
→
a
-2
→
b
+ 4
→
c
= [2, -1,2] - 2[4, 0, -2] + 4[ 0, -2, -1] =
= [2, -1,2] + [-8, 0, 4] + [ 0, -8, -4] =
= [-6, -1, 6] + [ 0, -8, -4] =
= [-6, -9, 2].
Ostatecznie
→
a
-2
→
b
+ 4
→
c
= [-6, -9, 2].
Definicja
Wektory
→
a
,
→
b
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista k,
Ŝ
e
→
a
= k
→
b
.
Iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy
Definicja
JeŜeli
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
] ,
→
v
= [v
1
, v
2
, … , v
k
], to iloczynem skalarnym wektorów
→
u
,
→
v
nazywamy liczbę
→
u
•
→
v
= u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ … + u
k
v
k
.
Zamiast
→
u
•
→
v
piszemy
→
u
⋅⋅⋅⋅
→
v
.
Przykład 4.
Oblicz
→
b
⋅⋅⋅⋅
→
c
, gdy
→
b
= [4, 0, -2],
→
c
= [ 0, -2, -1].
Mamy
→
b
⋅⋅⋅⋅
→
c
= [4, 0, -2]
⋅⋅⋅⋅
[ 0, -2, -1] = 4
⋅⋅⋅⋅
0 + 0
⋅⋅⋅⋅
(-2) + (-2)
⋅⋅⋅⋅
(-1) = 2.
Definicja
Niezerowe wektory
→
a
,
→
b
są prostopadłe (
→
a
⊥
→
b
) wtedy i tylko wtedy, gdy
→
a
⋅
→
b
= 0.
Twierdzenie
Niech α będzie miarą kąta między wektorami
→
u
,
→
v
, wtedy cos α =
v
u
v
u
•
⋅
|
|
|
|
1
.
Definicja
Długością wektora
→
u
= [u
1
, u
2
, … , u
k
] nazywamy liczbę |
→
u
| równą
2
2
2
2
1
)
(
...
)
(
)
(
k
u
u
u
+
+
+
.
Definicja
JeŜeli
→
u
= [u
1
, u
2
, u
3
] ,
→
v
= [v
1
, v
2
, v
3
] oraz nie są one wektorami równoległymi,
to iloczynem wektorowym wektorów
→
u
,
→
v
nazywamy wektor
→
r
oznaczany
→
r
=
→
u
×
→
v
o składowych [u
2
v
3
- v
2
u
3
, u
3
v
1
- v
3
u
1
, u
1
v
2
- v
1
u
2
].
Czyli
→
u
×
→
v
= [u
2
v
3
- v
2
u
3
, u
3
v
1
- v
3
u
1
, u
1
v
2
- v
1
u
2
].
Twierdzenie
a) JeŜeli
→
r
=
→
u
×
→
v
, to wektor
→
r
jest prostopadły do wektorów
→
u
,
→
v
.
b)
→
u
×
→
v
= -
→
v
×
→
u
.
c)
→
u
×
(
→
v
1
×
→
v
2
) =
→
u
×
→
v
1
+
→
u
×
→
v
2.
.
d) Długość wektora
→
r
=
→
u
×
→
v
dana jest wzorem |
→
r
| = |
→
u
| |
→
v
| sin α , gdzie
α jest miarą kąta między wektorami
→
u
,
→
v
.
Przykład 5.
Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów
→
a
= [-2, 3, 1] ,
→
b
= [-1, 2, 0].
Mamy
→
a
×
→
b
= [-2, 3, 1]
×
[-1, 2, 0] = [x, y, z], gdzie
x = 3
⋅⋅⋅⋅
0 – 2
⋅⋅⋅⋅
1 = -2, y = 1
⋅⋅⋅⋅
(-1) – 0
⋅⋅⋅⋅
(-2) = -1, z = (-2)
⋅⋅⋅⋅
2 – (-1)
⋅⋅⋅⋅
3 = -1.
Zatem
→
a
×
→
b
=[ -2, -1, -1].
Twierdzenie
Pole S trójkąta zbudowanego na parze wektorów
→
u
= [u
1
, u
2
, u
3
] ,
→
v
= [v
1
, v
2
, v
3
]
wychodzących z jednego punktu jest równe połowie długości iloczynu wektorowego
wektorów
→
u
,
→
v
, czyli S = ½ |
→
u
×
→
v
|.
Przykład 6.
Oblicz pole S trójkąta zbudowanego na wektorach
→
a
= [-2, 3, 1] ,
→
b
= [-1, 2, 0].
Z przykładu 4. mamy
→
a
×
→
b
=[ -2, -1, -1].
Zatem S = ½ |
→
a
×
→
b
| =
korzystając ze wzoru na długość wektora
= ½
2
2
2
)
1
(
)
1
(
)
2
(
−
+
−
+
−
= ½
6
.
Ć
wiczenia
1. Dane są wektory
→
a
= [-2, -3] ,
→
b
= [2, 0],
→
c
= [ 4, -1] . Wyznacz wektory:
a)
→
a
+4
→
b
, b)
→
b
- (-
→
c
) ,
c) 5
→
a
-3b
→
b
+ 4
→
c
, d) 4
→
b
- 2
→
c
.
2. Dane są wektory
→
u
= 2
→
a
- 3
→
b
,
→
v
= -3
→
c
+ 5
→
a
. Wyznacz wektory:
a) -4
→
u
- 6
→
v
, b) 5
→
c
- 4 (
→
u
- 6
→
v
).
3. Dane są wektory
→
a
= [-2, 3, 1] ,
→
b
= [-1, 2, 0],
→
c
= [-9, 4, -1] . Oblicz:
a)
→
a
−
2
→
b
+ 3
→
c
, b) (2
→
b
⋅
→
a
)
⋅
→
c
,
c) -2
→
a
⋅
→
b
−
→
c
⋅
→
b
, d) ( -4
→
b
−
(-2
→
c
) )
⋅
→
a
+ 5.
4. Przedstaw wektor [3, -2, 5] jako kombinację liniową wektorów:
a) [ 3, - 2, 5], [1, 1, 1], [0, 1, 2],
b) [ 0, - 1, 1], [1, 1, 1], [-1, 1, 0].
5. Sprawdź, czy są prostopadłe, czy są równoległe wektory
→
u
,
→
v
, gdy:
a)
→
u
= [-2, 3, 1] ,
→
v
= [-1, 2, 0],
b)
→
u
=
→
a
-
→
b
,
→
v
=
→
a
+
→
b
,
c)
→
u
= - 3
→
a
- 3(
→
b
-
→
a
) ,
→
v
= -7
→
b
.
6. Dane są wektory
→
a
= [-2, 0, 4, 1] ,
→
b
= [-1, 2, 0, 0],
→
c
= [0, 4, -1, 2] .
Oblicz długość wektora:
a)
→
a
,
b)
−
→
b
−
2
→
c
.
c) 6
→
a
−
(
→
b
−
2
→
c
)
⋅
(
−
2) .
7. Wyznacz miarę kąta między wektorami:
a) [0, 0, 0, -1] , [-1, 0, 0, 0],
b) [0, 4] , [ -1, 2] .
8. Dane są wektory
→
a
= [-2, 1, 1] ,
→
b
= [-1, 3, 0]. Sprawdź, czy są równoległe wektory:
a)
→
a
×
2
→
b
i
→
a
×
4
→
b
,
b) -3
→
a
×
4
→
b
i 5
→
a
×
(-2
→
b
).
9. Dane są wektory
→
a
= [-1, 1, 1] ,
→
b
= [1, -2, 0]. Sprawdź, czy są prostopadłe wektory:
a)
→
a
×
2
→
b
i -3
→
a
×
→
b
,
b) -3
→
a
×
4
→
b
i 5
→
a
×
(-2
→
b
).
10. Wiadomo, Ŝe |
→
a
| = 3, |
→
b
| = 4 oraz
→
a
⋅
→
b
= 6.
a) Oblicz miarę kąta między wektorami
→
a
i
→
b
.
b) Oblicz pole trójkąta rozpiętego na wektorach
→
a
i
→
b
.