Rachunek wektorów

1. Przypomnienie

Niech R

k

będzie zbiorem ciągów k wyrazowych utworzonych z liczb rzeczywistych. Zbiór R

k

nazywamy przestrzenią wektorową k – wymiarową, gdy ustalimy jak dodawać te ciągi oraz

jak je mnożyć przez liczby.

Elementy zbioru R

k

, (czyli te ciągi ) nazywamy wektorami i oznaczamy

→

u

= [u

1

, u

2

, … , u

k

]

oraz

→

v

= [v

1

, v

2

, … , v

k

] . Taki zapis będziemy nazywać wierszowym.

Niekiedy wektory wygodnie zapisywać w kolumnach (zapis kolumnowy) następująco:

→

u

=

























k

u

u

u

...

2

1

.

Przykład 1.

→

a

= [2; -3,5; ½ ; 0,4; 7 ]

∈

R

5

;

→

b

=

























−

5

3

0

1

∈

R

4

.

Definicja

a) Jeżeli

→

u

= [u

1

, u

2

, … , u

k

] przestrzeni R

k

, to elementy u

1

, u

2

, … , u

k

nazywamy

składowymi wektora

→

u

.

b) Wektory

→

u

=

→

v

wtedy i tylko wtedy, gdy u

1

= v

1

, u

2

= v

2

, , … , u

k

=

v

k

.

Czyli wektory danej przestrzeni są równe, gdy mają te same składowe.

c) Wektor [ 0, 0, …, 0] =

→

0

o zerowych składowych nazywamy wektorem zerowym.

Definicja

Jeżeli

→

u

= [u

1

, u

2

, … , u

k

] ,

→

v

= [v

1

, v

2

, … , v

k

]

a) Sumą wektorów

→

u

,

→

v

nazywamy wektor

→

u

+

→

v

= [u

1

+ v

1

, u

2

+ v

2

, … , u

k

+ v

k

].

b) Iloczynem wektora

→

u

przez liczbę

α

nazywamy wektor

α

→

u

= [

α

u

1

,

α

u

2

, … ,

α

u

k

].

Definicja

Wektor -1

→

u

= -

→

u

= [- u

1

, - u

2

, … , - u

k

] nazywamy wektorem przeciwnym

do wektora

→

u

.

Przykład 2.

a)

























−

0

3

4

1

+

























−

−

5

3

0

1

=

























−

5

6

4

0

; 4

⋅

→

a

= 4

⋅

[2; -3,5; ½ ; 0,4; 7 ] = [8; -14; 2; 1,6; 28].

2. Rachunek wektorów


Definicja

Różnicą wektorów

→

u

,

→

v

nazywamy wektor

→

u

-

→

v

=

→

u

+ (-

→

v

).

Twierdzenie

Jeżeli m, n, są liczbami rzeczywistymi,

→

a

,

→

b

,

→

c

wektorami, to:

a)

→

a

+

→

b

=

→

b

+

→

a

,

b) (

→

a

+

→

b

) +

→

c

=

→

a

+ (

→

b

+

→

c

),

c)

→

a

+

→

0

=

→

0

+

→

a

,

d) m (

→

a

+

→

b

) = m

→

a

+ m

→

b

,

e) ( m + n)

→

a

= m

→

a

+ n

→

a

,

f)

→

a

+ (-

→

a

) =

→

a

-

→

a

=

→

0

.

Przykład 3.

Oblicz

→

a

-2

→

b

+ 4

→

c

, gdy

→

a

= [2, -1,2],

→

b

= [4, 0, -2],

→

c

= [ 0, -2, -1].

Mamy:

-2

→

b

= -2 [4, 0, -2] = [-8, 0, 4],

4

→

c

= 4 [ 0, -2, -1] = [ 0, -8, -4].

Zatem

→

a

-2

→

b

+ 4

→

c

= [2, -1,2] - 2[4, 0, -2] + 4[ 0, -2, -1] =

= [2, -1,2] + [-8, 0, 4] + [ 0, -8, -4] =

= [-6, -1, 6] + [ 0, -8, -4] =
= [-6, -9, 2].

Ostatecznie

→

a

-2

→

b

+ 4

→

c

= [-6, -9, 2].

Definicja

Wektory

→

a

,

→

b

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista k,

ż

e

→

a

= k

→

b

.

Iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy

Definicja

Jeżeli

→

u

= [u

1

, u

2

, … , u

k

] ,

→

v

= [v

1

, v

2

, … , v

k

], to iloczynem skalarnym wektorów

→

u

,

→

v

nazywamy liczbę

→

u

•

→

v

= u

1

v

1

+ u

2

v

2

+ … + u

k

v

k

.

Zamiast

→

u

•

→

v

piszemy

→

u

⋅⋅⋅⋅

→

v

.

Przykład 4.

Oblicz

→

b

⋅⋅⋅⋅

→

c

, gdy

→

b

= [4, 0, -2],

→

c

= [ 0, -2, -1].

Mamy

→

b

⋅⋅⋅⋅

→

c

= [4, 0, -2]

⋅⋅⋅⋅

[ 0, -2, -1] = 4

⋅⋅⋅⋅

0 + 0

⋅⋅⋅⋅

(-2) + (-2)

⋅⋅⋅⋅

(-1) = 2.

Definicja

Niezerowe wektory

→

a

,

→

b

są prostopadłe (

→

a

⊥

→

b

) wtedy i tylko wtedy, gdy

→

a

⋅

→

b

= 0.

Twierdzenie

Niech α będzie miarą kąta między wektorami

→

u

,

→

v

, wtedy cos α =

v

u

v

u

•

⋅

|

|

|

|

1

.

Definicja

Długością wektora

→

u

= [u

1

, u

2

, … , u

k

] nazywamy liczbę |

→

u

| równą

2

2

2

2

1

)

(

...

)

(

)

(

k

u

u

u

+

+

+

.

Definicja

Jeżeli

→

u

= [u

1

, u

2

, u

3

] ,

→

v

= [v

1

, v

2

, v

3

] oraz nie są one wektorami równoległymi,

to iloczynem wektorowym wektorów

→

u

,

→

v

nazywamy wektor

→

r

oznaczany

→

r

=

→

u

×

→

v

o składowych [u

2

v

3

- v

2

u

3

, u

3

v

1

- v

3

u

1

, u

1

v

2

- v

1

u

2

].

Czyli

→

u

×

→

v

= [u

2

v

3

- v

2

u

3

, u

3

v

1

- v

3

u

1

, u

1

v

2

- v

1

u

2

].

Twierdzenie

a) Jeżeli

→

r

=

→

u

×

→

v

, to wektor

→

r

jest prostopadły do wektorów

→

u

,

→

v

.

b)

→

u

×

→

v

= -

→

v

×

→

u

.

c)

→

u

×

(

→

v

1

×

→

v

2

) =

→

u

×

→

v

1

+

→

u

×

→

v

2.

.

d) Długość wektora

→

r

=

→

u

×

→

v

dana jest wzorem |

→

r

| = |

→

u

| |

→

v

| sin α , gdzie

α jest miarą kąta między wektorami

→

u

,

→

v

.

Przykład 5.

Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów

→

a

= [-2, 3, 1] ,

→

b

= [-1, 2, 0].

Mamy

→

a

×

→

b

= [-2, 3, 1]

×

[-1, 2, 0] = [x, y, z], gdzie

x = 3

⋅⋅⋅⋅

0 – 2

⋅⋅⋅⋅

1 = -2, y = 1

⋅⋅⋅⋅

(-1) – 0

⋅⋅⋅⋅

(-2) = -1, z = (-2)

⋅⋅⋅⋅

2 – (-1)

⋅⋅⋅⋅

3 = -1.

Zatem

→

a

×

→

b

=[ -2, -1, -1].

Twierdzenie

Pole S trójkąta zbudowanego na parze wektorów

→

u

= [u

1

, u

2

, u

3

] ,

→

v

= [v

1

, v

2

, v

3

]

wychodzących z jednego punktu jest równe połowie długości iloczynu wektorowego

wektorów

→

u

,

→

v

, czyli S = ½ |

→

u

×

→

v

|.

Przykład 6.

Oblicz pole S trójkąta zbudowanego na wektorach

→

a

= [-2, 3, 1] ,

→

b

= [-1, 2, 0].

Z przykładu 4. mamy

→

a

×

→

b

=[ -2, -1, -1].

Zatem S = ½ |

→

a

×

→

b

| =

korzystając ze wzoru na długość wektora

= ½

2

2

2

)

1

(

)

1

(

)

2

(

−

+

−

+

−

= ½

6

.

Ć

wiczenia

1. Dane są wektory

→

a

= [-2, -3] ,

→

b

= [2, 0],

→

c

= [ 4, -1] . Wyznacz wektory:

a)

→

a

+4

→

b

, b)

→

b

- (-

→

c

) ,

c) 5

→

a

-3b

→

b

+ 4

→

c

, d) 4

→

b

- 2

→

c

.

2. Dane są wektory

→

u

= 2

→

a

- 3

→

b

,

→

v

= -3

→

c

+ 5

→

a

. Wyznacz wektory:

a) -4

→

u

- 6

→

v

, b) 5

→

c

- 4 (

→

u

- 6

→

v

).

3. Dane są wektory

→

a

= [-2, 3, 1] ,

→

b

= [-1, 2, 0],

→

c

= [-9, 4, -1] . Oblicz:

a)

→

a

−

2

→

b

+ 3

→

c

, b) (2

→

b

⋅

→

a

)

⋅

→

c

,

c) -2

→

a

⋅

→

b

−

→

c

⋅

→

b

, d) ( -4

→

b

−

(-2

→

c

) )

⋅

→

a

+ 5.

4. Przedstaw wektor [3, -2, 5] jako kombinację liniową wektorów:

a) [ 3, - 2, 5], [1, 1, 1], [0, 1, 2],

b) [ 0, - 1, 1], [1, 1, 1], [-1, 1, 0].

5. Sprawdź, czy są prostopadłe, czy są równoległe wektory

→

u

,

→

v

, gdy:

a)

→

u

= [-2, 3, 1] ,

→

v

= [-1, 2, 0],

b)

→

u

=

→

a

-

→

b

,

→

v

=

→

a

+

→

b

,

c)

→

u

= - 3

→

a

- 3(

→

b

-

→

a

) ,

→

v

= -7

→

b

.

6. Dane są wektory

→

a

= [-2, 0, 4, 1] ,

→

b

= [-1, 2, 0, 0],

→

c

= [0, 4, -1, 2] .

Oblicz długość wektora:

a)

→

a

,

b)

−

→

b

−

2

→

c

.

c) 6

→

a

−

(

→

b

−

2

→

c

)

⋅

(

−

2) .

7. Wyznacz miarę kąta między wektorami:

a) [0, 0, 0, -1] , [-1, 0, 0, 0],

b) [0, 4] , [ -1, 2] .

8. Dane są wektory

→

a

= [-2, 1, 1] ,

→

b

= [-1, 3, 0]. Sprawdź, czy są równoległe wektory:

a)

→

a

×

2

→

b

i

→

a

×

4

→

b

,

b) -3

→

a

×

4

→

b

i 5

→

a

×

(-2

→

b

).

9. Dane są wektory

→

a

= [-1, 1, 1] ,

→

b

= [1, -2, 0]. Sprawdź, czy są prostopadłe wektory:

a)

→

a

×

2

→

b

i -3

→

a

×

→

b

,

b) -3

→

a

×

4

→

b

i 5

→

a

×

(-2

→

b

).

10. Wiadomo, że |

→

a

| = 3, |

→

b

| = 4 oraz

→

a

⋅

→

b

= 6.

a) Oblicz miarę kąta między wektorami

→

a

i

→

b

.

b) Oblicz pole trójkąta rozpiętego na wektorach

→

a

i

→

b

.