1. Rachunek wektorowy

1. Dane są dwa wektory:

Obliczyć:

a) długość każdego wektora,

b) iloczyn skalarny
,

c) kąt zawarty między wektorami,

d) iloczyn wektorowy
.

2. Znaleźć wektor jednostkowy
, który jest prostopadły jednocześnie do wektora
i do osi OX.

3. Udowodnić podane zależności rozkładając wektory na składowe:

a)
,

b)
.

4. Wyznacz gradient funkcji f(x, y, z) dla:

a)
,

b)
,

gdzie A i B są stałymi.

5. Wyznacz dywergencję wektora
, którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu zaczepienia wektora:

a)
,

b)
.

6. Wyznacz rotację wektora
, którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu zaczepienia wektora :

a)
,

b)
.

7. Dwie cząstki zostały wysłane z początku układu współrzędnych i po pewnym czasie ich położenia są opisane wektorami:

oraz
.

Oblicz:

a) długości wektorów,

b) wektor przemieszczenia cząstki drugiej względem pierwszej
,

c) kąty między wszystkimi parami tych trzech wektorów,

d) rzut wektora
na
,

e) iloczyn wektorowy
.

8. Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w następujący sposób:

. Znajdź zależność od czasu prędkości punktu materialnego oraz jego przyspieszenia.

9. Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami
m/s
i
m/s. W chwili
są one w punktach o współrzędnych:

m,
oraz
m.

Znaleźć wektor
, który określi położenie cząstki B względem A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie obie te cząstki będą najbliżej siebie?

---