Rachunek wektorowy

Wektorem (zaczepionym) nazywamy uporządkowaną parę punktów tworzącą w danej przestrzeni odcinek skierowany. Cechy: kierunek (wyznacza prosta przechodząca przez początek i koniec), zwrot (określa, który punkt jest początkiem), długość (odległość między końcami). Wektor, który ma takie same kierunek, zwrot i długość nazywamy równym, natomiast o takim samym kierunku, dlugości lecz przeciwnym zwrocie – przeciwnym. Wektorem swobodnym nazywamu reprezentanta zbioru wszystkich RÓWNYCH wektorów zaczepionych. Uwaga!: Jeśli znamy początek i koniec wektora to jest to zaczepiony, jeśli tylko kierunek, zwrot i długość – swobodny.

Niech A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B). Współrzędne wektora AB to liczby AB=[ax, ay, az] określone: ax=x_B-x_A, ay=y_B-y_A, az=z_B-z_A. Wersorem niezerowego wektora a nazywamy wektor o zwrocie i kierunku takim samym jak zwrot i kierunek wektora a i o długości równej 1. a=[ax, ay, az], wersa=[$\frac{\text{ax}}{|\overset{\rightarrow}{a}|},\ \frac{\text{ay}}{|\overset{\rightarrow}{a}|},\ \frac{\text{az}}{|\overset{\rightarrow}{a}|}$]=[cosα, cosβ, cosγ]. Wersory osi: Ox i=[1, 0, 0], Oy j=[0, 1, 0], Oz k=[0, 0, 1].

Działania na wektorach: Dodawanie (sumą wektorów a i b nazywamy c zbudowany c=a+b, różnica d=a-b=a+(-b), a=[ax, ay, az], b=[bx, by, bz], c=a±b=[ax±bx, ay±by, az±bz]), Mnożenie wektora przez liczbę (iloczynem wektora a przez liczbę x nazywamy wektor o kierunku takim jak kierunek a, zwrotem takim jak a gdy x>0, przeciwnym gdy x<0 i długości równej |x||a|. x*[a_x, a_y, a_z] =[xa_x, xa_y, xa_z]).

Iloczyny wektorowe: Iloczyn skalarny wektorów - jest to liczba (skalar) równa iloczynowi długości wektorów a i b i cosinusa kąta między nimi. Jeżeli któryś z w/w wektorów jest=0 to ich iloczyn skalarny=0. Ozn $\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}$. Własności: 1. a◦b=b◦a, 2. a◦(b+c)=a◦b+a◦c, 3. x(a◦b)=(xa)◦b=a◦(xb), 4. a◦b=0 a=0 v b=0 v cos(a, b)=0 czyli a prost b, 5. a=[a_x, a_y, a_z], b=[b_x, b_y, b_z], a◦b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z. Zastosowanie: 1. Obliczanie długości wektora, 2. Obliczanie cosinusa kąta między wektorami, 3. Badanie prostopadłości wektorów. Iloczyn wektorow – jest to wektor taki, że: 1. Kierunek wektora c jest prostopadłu do a i b, 2. Zwrot określamy regułą prawej dłoni, 3. Długość |c|=|a||b|sin(a, b). Jeżeli a=0 v b=0 to ich i. w. przyjmujemy =0. Ozn c=a×b. Własności: 1. a×b=-b×a, 2. a×(b+c)=a×b+a×c, 3. (b+c)×a=b×a+c×a, 4. x(a+b)=(xa)×b=a×(xb), 5. a×b=0 a=0 v b=0 v a||b, 6. a=[ a_x, a_y, a_z], b=[ b_x, b_y, b_z], $\overset{\rightarrow}{a} \times \overset{\rightarrow}{b} = \left| \begin{matrix} \overset{\rightarrow}{i} & \overset{\rightarrow}{j} & \overset{\rightarrow}{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{matrix} \right| = \overset{\rightarrow}{i}\left| \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \\ \end{matrix} \right| - \overset{\rightarrow}{j}\left| \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \\ \end{matrix} \right| + \overset{\rightarrow}{k}\left| \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \\ \end{matrix} \right|$. Zastosowanie: 1. Obliczanie pola równoległoboku (P=|a×b|), 2. Obliczanie pola trójkąta (P=¹/₂|a×b|), Obliczenie sinusa kąta między wektorami (sin(a, b)=|a×b|/|a||b|), 4. Badanie równoległości wektorów (a||b a=0 ^ b=0 v a×b=0), 5. Wyznaczanie wektora normalnego do płaszczyzny równoległej (n=a×b). Iloczyn mieszany wektorów – jest to liczba = a◦(b×c). Jeżeli któryś z w/w wektorów jest=0 to iloczyn mieszany=0. Ozn (a b c). Własności: 1. a◦(b×c)=(a×b)◦c, 2. (a b c)=(b c a)=(c a b)=-(b a c)=-(c b a)=-(a c b), 3. (a b c)=0 a=0 v b=0 v c=0 v a, b, c są równoległe do jednej płaszczyzny (komplanarne), 4. a=[a_x, a_y, a_z], b=[b_x, b_y, b_z], c=[c_x, c_y, c_z] $\overset{\rightarrow}{a}\overset{\rightarrow}{b}\overset{\rightarrow}{c} = \left| \begin{matrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{matrix} \right|$. Zastosowanie: 1. Obliczanie objętości równoległościanu (V=|(a b c)|), 2. Objętości czworościanu (V=¹/₆|(a b c)|), 3. Badanie komlenarności (współpłaszczyznowości) wektorów (a, b, c są k. (a b c)=0)