0

1





gradp

F





PŁYN – ciecze lub gaz, brak zdolności do utrzymania kształtu 
= brak sprężystości postaciowej, w mechanice płynów – płyn 
traktuje się jako OŚRODEK CIĄGŁY, tzn. płyn jest materią 
ciągłą doskonale wypełniającą przestrzeń, bez przerw i 
wtrąceń 
CIECZ 

 - nie przejawia tendencji do nieograniczonego 

rozprzestrzeniania się = sprężystość objętościowa, mało 
ściśliwe; zał. ciecz jest lepka i nieściśliwa 
GAZ – duża ściśliwość = brak sprężystości postaciowej i 
objętościowej, samoistnie dążą do wypełnia całej wolnej 
przestrzeni; zał. nielepkie i ściśliwe 
 
wielkości charakteryzujące:  
Gęstość – ρ=m/V [kg.m-3]; ogólnie ρ= ρ(T,p);  
Ciężar właściwy – γ (gama) ciężar właściwy  γ = ρg [N.m-3], 
[kg.m-2.s-2]; ciężar   dG=gdm; objętością właściwą v = 
odwrotnością gęstości; 
Ściśliwość – ζ (dzeta); [m2.N-1] w przedziale ciśnień p1-p2 
jest to wartość względnego zmniejszenia się objętości płynu, 
przy zmianie ciśnienia o jednostkę; odwrotność współ. 
ściśliwości, to moduł sprężystości Younga 
Lepkość – η,ν (eta, ni); zdolność przenoszenia naprężeń 
stycznych jeżeli sąsiednie warstwy płynu poruszają się z 
różnymi prędkościami; dynamiczny współ. lepkości η 
[kg/m.s] lub [N.s/m2]; jedn. techniczną 1P (poise);  1 P = 10-1 
[kg/m.s]; kinematyczny współ. lepkości ν = η/ρ [m2/s], jedn. 
techniczną 1 St (stokes) 1 St=10-4 m2/s 
 
Płyn newtonowski lub tzw. doskonałymi = płyn w którym 
nie występują naprężenia styczne, tj. lepkość jest zerowa. 
Płyny doskonałe – pomijamy lepkość i ściśliwość (ciecze, 
gazy- małe prędkości).  
Płyny rzeczywiste - płyn lepki (newtonowski ) i ściśliwy. 
 
SIŁY: 
-masowe (objętościowe): 1. zewnętrzne: siły ciężkości 
związane z polem grawitacyjnym, siły bezwładności 
d'Alamberta w nieinercjalnym układzie odniesienia (np. ciecz 
w zbiorniku nieruchoma, a zbiornik porusza się ruchem 
niestacjonarnym), siły elektromagnetyczne; 2. wewnętrzne: 
siły bezwładności, wynikające z ruchu niestacjonarnego 
cieczy 
-powierzchniowe: siły ciśnienia, siły styczne wywołane 
tarciem w samym płynie lub płynu o ściany sztywne, napór 
cieczy na ściany, siły hydrodynamiczne będące wynikiem 
ruchu ciała stałego w płynie (siła nośna na skrzydłach 
samolotu) 
SIŁY STYCZNE: Naprężenia styczne wywołane są lepkością 
cieczy. Przy założeniu cieczy newtonowskiej: 

dn

dV

nt











  

a całkowita powierzchniowa siła styczna: 









A

dA

dn

dV

T





 

Siły powierzchniowe występują zawsze niezależnie od tego 
czy ciecz jest lepka czy nie, w spoczynku, czy w ruchu. Siły 
powierzchniowe styczne nie występują w cieczach 
idealnych. Przy założeniu cieczy rzeczywistych musi być 
spełniony dodatkowy warunek: ciecz musi być w ruchu. 
 
NAPÓR HYDROSTATYCZNY 

napór na ściany płaskie = ciężar słupa cieczy, którego 
podstawą jest dana ściana a wysokość głębokości środka 
geometrycznego od zwierciadła cieczy; 

A

gz

N

s





 

punkt przyłożenia siły naporu to środek naporu: 

A

y

I

y

y

s

os

s

N







   

s

N

y

y



 

A

y

I

x

x

s

y

x

s

N

o

o





 

I

xy

 biegunowy moment bezwładności względem osi xy 

o

x

y

I

0

- biegunowy moment bezwładności względem osi 

przechodzącej przez środek geometryczny figury, równoległej 
do osi xy. 
 
Liczby podobieństwa, zwane też liczbami kryterialnymi – to 
bezwymiarowe współczynniki: 
LICZBA REYNOLDSA –  wyraża stosunek składowej siły 
unoszenia do sił tarcia lepkiego; podstawowe kryterium 
podobieństwa przepływów płynów lepkich nieważkich i 
nieściśliwych; Re=lV

0

/ ν; l-charakterystyczny wymiar 

liniowy, V

0 

– stała prędkość charakterystyczna, ν- lepkość 

kinematyczna; 
pozwala oszacować występujący podczas ruchu płynu 
stosunek sił czynnych (sił bezwładności) do sił biernych 
związanych z tarciem wewnętrznym w płynie przejawiającym 
się w postaci lepkości 
wielkość liczby Reynoldsa pozwala na określenie kiedy ruch 
płynu jest laminarny, a kiedy może pojawić się turbulencja 
 
LICZBA FROUDE’A – wyraża stosunek siły unoszenia so 
siły ciężkości; charakteryzuje podobieństwo przepływów z 
uwagi na siły ciężkości; Fr=V

0

2

/gl; 

oszacowanie względnej wielkości wyrazu związanego  
z siłami bezwładności i siły grawitacji, zastosowanie 
szczególnie w przepływach z powierzchnią swobodną 
 
Kryterium Frounde’a jest sprzeczne z kryterium Reynoldsa to 
znaczy: niemożliwe jest równoczesne zachowanie 
podobieństwa oporu falowego i sił tarcia (w cieczach o tej 
samej gęstości) 
 
Liczba STROUHALA – wyraża stosunek lokalnej siły 
bezwładności do składowej siły unoszenia, St=l/Vt 
Liczba EULERA – wyraża stosunek sił ciśnienia do składowej 
siły unoszenia, Eu=p/ρV

2

 

Liczba MACHA – stosunek prędkości przepływu do 
prędkości rozchodzenia się dźwięku w tym gazie, dot. badania 
przepływów płynów ściśliwych (gazów), Ma=V/c 
 
REAKCJA HYDRODYNAMICZNA – reakcja ścian na ciecz, 
występuje wszędzie tam, gdzie zachodzi zmiana pędu 
strumienia równa jest pochodnej pędu po czasie i zwrócona 
jest przeciwnie do zwrotu geometrycznego przyrostu 
prędkości; R= ρQ(v

2

-v

1

) 

 

ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU, moment pędu (kręt); 
kręt jest iloczynem wektorowym pędu i wektora promienia 
u=ωr prędkość unoszenia 
 
Równianie równowagi (rów. EULERA) umożliwia nam 
analizę równowagi cieczy poddanej działaniu sił 
ciśnieniowych 

Równania EULERA: 

Opisują one wyłącznie ruch płynu nie lepkiego, ponieważ 
przy ich wyprowadzaniu nie uwzględniliśmy tarcia 
wewnętrznego . Natomiast równania te odnoszą się zarówno 
do płynów nieściśliwych (tzn. cieczy), jak i do gazów , a 
różnica polega na traktowaniu gęstości bądź jako wielkości 
stałej ,bądź te§ jako funkcji położenia i czasu. 
 
Równanie Naiviera – Stokesa, postać wektorowa: 
 
 
 
gdzie v=



/



 - lepkość kinematyczna 

dot. dynamiki płynów newtonowskich, nieściśliwych 
 
RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI wynika bezpośrednio z zasady 
zachowania masy (czyli D/Dt*∫ ρdV=0) 
 dm/dt = d/dt * ∫ ρdV = 0 

Masa układu (obszaru płynnego) pozostaje stała. Masa cząstki 
elementarnej jest równa ρdV, gdzie dV jest objętością zajętą 
przez cząstkę, a ρ jest gęstością płynu. Wiedząc, że gęstość 
może się zmieniać w rożnych punktach układu, zachowanie 
masy może być wyrażone przez całkę D/Dt*∫ ρdV=0. 
 
RÓWNANIA BERNOULLIEGO 
dla cieczy doskonałej 

const

gz

p

v









2

2

 

dla płynu doskonałego 

const

z

p

g

v

z

p

g

v













2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





 

dla płynów nieściśliwych 



1





F

dt

V

d

grad p 

dla gazów nieściśliwych 

const

p

v







2

2

 

dla gazów ściśliwych 







dp

v

2

2

 

STRATY 
Wychodząc z równania Bernouliego mamy 

Wysokość strat tarcia gdzie : 



 - współczynnik tarcia 

Wysokość strat lokalnych  
gdzie: 



 - współczynnik strat miejscowych 

Dla przepływu laminarnego; burzliwego: 

 
Dynamika cieczy rzeczywistej – równanie Bernoulliego 

















hstrat

z

p

g

v

z

p

g

v

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2









 

α – współ. Coriolisa 
przepływ laminarny: α=2; 2v

sr

=v

max

 

przepływ burzliwy: α=1,06; v

max

/v

sr

=1,15-1,22 

straty: liniowe i miejscowe 
 

dV

dm

V

m

T

z

y

x

V













lim

0

)

,

,

,

(



,

1

x

p

q

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

X

X

Z

X

Y

X

X

X

































,

1

y

p

q

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

Y

Y

Z

Y

Y

Y

X

Y

































,

1

z

p

q

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

Z

ż

Z

ż

Y

Z

X

Z

































v

v

gradp

q

v

gradp

v

t

v

2

1

)

*

(



























































0

1

0

1

0

1

z

P

z

y

P

y

x

P

x







sm

strat

k

k

z

P

g

V

z

P

g

V















2

2

2

2

1

1

2

1

2

2





g

d

lv

k

strat

2

2





g

V

P

k

sm

2

2











Re

64





4

Re

316

,

0



