Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpiecze stwa Budowli

Stan na dzie : 14.IX.2007 r

.

1/6

Algorytm wymiarowania belki stropowej zginanej

oraz słupa ciskanego i zginanego

wg PN-B-03150/ VIII 2000 r. - konstrukcje drewniane

Uwaga: Wszystkie wyniki s dla przykładu liczbowego maj cego na celu pokaza zakres uzyskiwanych

wyników.

L

a

a

H

Belka o przekroju b x h

S up

ł

Rygiel

b

b

h

H

s

Belka

S up

ł

L

y

L

z

L

z

Podstawowe zało enia, dane materiałowe

L =

6.0 m

rozpi to belki

H =

3.5 m

wysoko słupa

a =

2.4 m

rozstaw słupów, d wigarów

Cz ciowy współczynnik bezpiecze stwa dla materiału

[Tab. 3.2.2]

Cz ciowe współczynniki bezpiecze stwa dla wła ciwo ci materiałów γγγγ

m

Tablica: 3.2.2

1

Okre lenia

Stany graniczne no no ci

γγγγ

m

1

Drewno i materiały drewnopochodne

1,3

2

Elementy stalowe w zł czach

1,1

3

Sytuacje wyj tkowe

1

4

Stany graniczne u ytkowania

1

γ

m

=

1.3

drewno i materiały drewnopochodne

tabela

Cz ciowy współczynnik modyfikacyjny

[Tab. 3.2.5]

np. klasa u ytkowania konstrukcji -

1 (dla 20

o

C wilgotno wzgl dna przez wi kszo czasu u ytkowania <

65%)

[p.3.2.3]

k

mod

=

np. 0.9 dla obci e krótkotrwałych

drewno lite i klejone

tabela

Minimalne przekroje

[p.3.6] dla drewna litego = 4000 mm

2

(nie dotyczy łat dachowych), mniejszy wymiar min.

38 mm. W konstrukcjach o zł czach na gwo dzie lub ruby powierzchnia nie mniejsza ni 1400 mm

2

, a mniejszy

wymiar min. 19 mm - np. d wigary deskowe.

Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpiecze stwa Budowli

Stan na dzie : 14.IX.2007 r

.

2/6

Warto ci współczynnika k

mod

Warto ci współczynnika k

def

Tablica: 3.2.5

Tablica: 5.1

3

Klasa u ytkowania

Klasa u ytkowania

Materiał / klasa

trwania obci enia

Wilgotno

Drewno 12 %

Powietrze do 65 %

Wilgotno

Drewno 20 %

Powietrze do 85 %

Wilgotno

Drewno > 20 %

Powietrze > 85 %

Wilgotno

Drewno 12 %

Powietrze do 65 %

Wilgotno

Drewno 20 %

Powietrze do 85 %

Wilgotno

Drewno > 20 %

Powietrze > 85 %

Drewno lite i klejone warstwowo, sklejka

1

2

3

1

2

3

1

Stałe

wi cej ni 10 lat,

np. ci ar własny

0,6

0,6

0,5

0,6

0,8

2

2

Długotrwałe

6 miesi cy ÷10 lat,

np. obci enie magazynu

0,7

0,7

0,55

0,5

0,5

1,5

3

redniotrwałe

1 tydzie ÷6 miesi cy,

np. obci enie u ytkowe

0,8

0,8

0,65

0,25

0,25

0,75

4

Krótkotrwałe

mniej ni 1 tydzie , np.

wiatr, nieg (mo na te

jako redniotrwałe)

0,9

0,9

0,7

0

0

0,3

5

Chwilowe

np. na skutek awarii

1,1

1,1

0,9

-

-

-

Belka - element zginany

Warto ci obci e

Obci enia stałe: ci ar stropu wg tabeli

L.p.

Opis warstwy

Grubo , m

Charakterystyczne obci enie stałe

G

k

, kN/m

2

1

Warstwa górna stropu np. parkiet d bowy gr.22 mm na

kleju poliuretanowym

0,022

0,24

2

Warstwa po rednia stropu np. styropian – izolacja
akustyczna,

γ = 0,45 kN/m

3

0,05

0,05 · 0,45 = 0,02

n

Warstwa dolna stropu np. tynk cementowo-wapienny,

γ =

19 kN/m

3

0,015

0,015 · 19 = 0,29

G

k

=

Suma kolumny np. 1,36

Obci enia zmienne: zwi zane ze sposobem u ytkowania pomieszcze wg PN EN 1991-1-1

Kategoria A - powierzchnie mieszkalne 2 kN/m

2

,

Kategoria B - powierzchnie biurowe 3 kN/m

2

,

Kategoria C1 - powierzchnie ze stołami (kawiarnia, sala lekcyjna) 3 kN/m

2

,

Kategoria C2 - powierzchnie z siedzeniami nieruchomymi (kina, aule) 4 kN/m

2

,

Kategoria C3 - powierzchnie w muzeach, salach wystaw 5 kN/m

2

,

Kategoria C4 - powierzchnie na których mo liwa jest aktywno ruchowa (dyskoteki, sale

gimnastyczne, sceny) 5 kN/m

2

,

Kategoria C5 - powierzchnie dost pne dla tłumu (sale koncertowe, stadiony z trybunami) 5 kN/m

2

,

Kategoria D1 - powierzchnie handlowe (sklepy detaliczne) 4 kN/m

2

,

Kategoria D2 - powierzchnie handlowe (w domach towarowych) 5 kN/m

2

,

Kategoria E1 - powierzchnie magazynowe 7.5 kN/m

2

,

Kategoria E2 - powierzchnie produkcyjne - wg stanu istniej cego,

Kategoria F - powierzchnie gara owe (samochody osobowe) 2.5 kN/m

2

,

Q

k

=

np. 2 kN/m

2

dla kategorii A (mieszkanie)

– charakterystyczne obci enie u ytkowe

Współczynniki do wyznaczenia obci e obliczeniowych wg

PN-EN 1990 Tablica A1.2

γ

G

= 1,35 – dla obci e stałych

γ

Q

= 1,50 – dla obci e zmiennych (u ytkowych)

G = G

k

·

γ

G

obliczeniowe obci enie stałe

Q = Q

k

·

γ

Q

obliczeniowe obci enie zmienne (u ytkowe)

Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpiecze stwa Budowli

Stan na dzie : 14.IX.2007 r

.

3/6

Kombinacja obci e - stany graniczne no no ci SGN i stany graniczne u ytkowania SGU

Q

SGN

= G + Q

np. 4.84 kN/m

2

Q

SGU

= G

k

+ Q

k

np. 3.67 kN/m

2

Obci enia od przypadaj ce na belk (zbiera z szeroko ci a)

q

1N

= Q

SGN

· a

np. 11.61 kN/m

q

1U

= Q

SGU

· a

np. 8.81 kN/m

Wybór klasy drewna

Przyj klas drewna w zale no ci od rozpi to ci i wielko ci obci e np.

GL 35 [Tab. Z.2.2.3-1]

Klasy wytrzymało ci - warto ci charakterystyczne drewna krajowego,

iglastego, litego o wilgotno ci 12 %

Tablica: Z-2.2.3-1

10

Wytrzymało [MPa]

Spr ysto [GPa]

G sto [kg/m3]

K

la

sy

d

re

w

na

Z

gi

na

ni

e

R

oz

ci

ga

ni

e

w

zd

łu

w

łó

ki

en

R

oz

ci

ga

ni

e

w

po

pr

ze

k

w

łó

ki

en

ci

sk

an

ie

w

zd

łu

w

łó

ki

en

ci

sk

an

ie

w

po

pr

ze

k

w

łó

ki

en

ci

na

ni

e

re

dn

i m

od

uł

sp

r

ys

to

ci

w

zd

łu

w

łó

ki

en

5

%

k

w

an

ty

l m

od

uł

u

sp

r

ys

to

ci

w

zd

łu

w

łó

ki

en

re

dn

i m

od

uł

sp

r

ys

to

ci

w

p

op

rz

ek

w

łó

ki

en

re

dn

i m

od

uł

od

ks

zt

ał

ce

ni

a

po

st

ac

io

w

eg

o

W

ar

to

ch

ar

ak

te

ry

st

yc

zn

a

W

ar

to

r

ed

ni

a

f

m,k

f

t,0,k

f

t,90,k

f

c,0,k

f

c,90,k

f

v,k

E

0,mean

E

0,05

E

90,mean

G

g,mean

ρ

k

ρ

mean

1

C18

18

11

0,3

18

4,8 2,0

9

6,0

0,30

0,56

320

380

2

C22

22

13

0,3

20

5,1 2,4

10

6,7

0,33

0,63

340

410

3

C27

27

16

0,4

22

5,6 2,8

12

8,0

0,40

0,75

370

450

4

C30

30

18

0,4

23

5,7 3,0

12

8,0

0,40

0,75

380

460

5

C35

35

21

0,4

25

6 3,4

13

8,7

0,43

0,81

400

480

6

C40

40

24

0,4

26

6,3 3,8

14

9,4

0,47

0,88

420

500

7

GL24

24

14

0,4

21

5,3 2,5

11

7,4

0,37

0,69

350

8

GL30

30

18

0,4

23

5,7 3,0

12

8,0

0,40

0,75

380

9

GL35

35

21

0,4

25

6 3,4

13

8,7

0,43

0,81

400

10

GL40

40

24

0,4

26

6,3 3,8

14

9,4

0,47

0,88

420

f

m,g,k

f

t,0,g,k

f

t,90,g,k

f

c,0,g,k

f

c,90,g,k

f

v,g,k

E

g,0,mean

E

g,0,05

E

g,90,mean

G

g,mean

ρ

g,k

€

K

la

sy

d

re

w

na

Z

gi

na

ni

e

R

oz

ci

ga

ni

e

w

zd

łu

w

łó

ki

en

R

oz

ci

ga

ni

e

w

po

pr

ze

k

w

łó

ki

en

ci

sk

an

ie

w

zd

łu

w

łó

ki

en

ci

sk

an

ie

w

po

pr

ze

k

w

łó

ki

en

ci

na

ni

e

re

dn

i m

od

uł

sp

r

ys

to

ci

w

zd

łu

w

łó

ki

en

5

%

k

w

an

ty

l m

od

uł

u

sp

r

ys

to

ci

w

zd

łu

w

łó

ki

en

re

dn

i m

od

uł

sp

r

ys

to

ci

w

p

op

rz

ek

w

łó

ki

en

re

dn

i m

od

uł

od

ks

zt

ał

ce

ni

a

po

st

ac

io

w

eg

o

W

ar

to

ch

ar

ak

te

ry

st

yc

zn

a

Wytrzymało [MPa]

Spr ysto [GPa]

G sto [kg/m3]

Tablica: Z-2.3.3-1

Klasy wytrzymało ci - warto ci charakterystyczne drewna klejonego warstwowo,

iglastego o wilgotno ci 12 %

Stany graniczne no no ci SGN

fmd

kmod fmk

⋅

γγγγm

:=

Wytrzymało obliczeniowa na zginanie

fmd 24.23 MPa

=

Wst pne okre lenie wymiarów przekroju

Zakładamy prostok tny przekrój belki: b (szeroko ) x h (wysoko ), zakładaj c jednocze nie proporcj b/h

Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpiecze stwa Budowli

Stan na dzie : 14.IX.2007 r

.

4/6

mo na przyj dowoln warto z przedziału

α = 0,15÷ 0,5

Wst pny moment zginaj cy - belka swobodnie podparta:

αααα

0.28

:=

Myw

q1N L

2

⋅

8

:=

Myw 52.24 kN m

⋅

=

L

6 m

=

rozpi to belki

h

3

Myw 6

⋅

fmd αααα

⋅

:=

h

0.36 m

=

b

αααα h

⋅

:=

b

0.1 m

=

Przyj to nast puj ce wymiary belki:

h

45 cm

⋅

:=

b

12 cm

⋅

:=

Długo ci obliczeniowa belki

[Tab. 4.2.2] Belka swobodnie podparta (s.p.) obci ona równomiernie lub równe

momenty na ko cach Ld/L=1; wspornik moment na ko cu Ld/L=1; s.p. obci enie skupione w rodku belki

Ld/L=0.85; Wspornik, obci enie skupione na ko cu Ld/L=0.85; Wspornik, obci enie równomierne Ld/L=0.6;

Warto ci podane w tablicy dotycz obci e działaj cych w osi rodkowej belki. Dla obci e pionowych
przyło onych do górnej powierzchni belki obliczon warto L

d

zwi ksza si o

κ (np = 2) · h, za dla obci e

przyło onych do dolnej powierzchni redukuje si o

κ (np = 0.5) · h, gdzie h - wysoko belki.

L

d

= L + κκκκ · h długo obliczeniowa belki

Ld 6.9 m

=

W pa stwa projekcie prosz przyj

L

d

= L + h. Wielko ta uzale niona jest od sposobu i rodzaju oparcia belki

Moment zginaj cy - belka swobodnie podparta:

My

q1N Ld

2

⋅

8

:=

My 69.09 kN m

⋅

=

E

E005

fmd
fmk

⋅

:=

Moduł spr ysto ci:

[wzór.4.2.2.c]

E

6.02 GPa

=

Dla przekrojów prostok tnych smukło sprowadzona przy zginaniu wyra a si :

[wzór.4.2.2.c].

λλλλrel_m

Ld h

⋅

fmd

⋅

ππππ b

2

⋅

E

⋅

E0mean

Gmean

⋅

:=

λλλλrel_m 1.05

=

Warto

współczynnika stateczno ci gi tej k

crit

. Dla belek z zabezpieczon stref ciskan przed

przemieszczeniami bocznymi oraz obrotem na podporach warto współczynnika wynosi 1.0

kcrit

1

λλλλrel_m 0.75

≤

if

1.56

0.75

λλλλrel_m

⋅

−

(

)

0.75

λλλλrel_m

<

1.4

≤

if

1

λλλλrel_m

2

λλλλrel_m 1.4

>

if

:=

kcrit 0.77

=

Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpiecze stwa Budowli

Stan na dzie : 14.IX.2007 r

.

5/6

Momenty i wska niki bezwładno ci oraz pola przekroju

Iy

b h

3

⋅

12

:=

Iy 9.11 10

4

×

cm

4

=

Wy

Iy

0.5 h

⋅

:=

Wy 4.05 10

3

×

cm

3

=

Napr enia obliczeniowe od zginania. W tym wypadku belka jest jedynie zginana w jednej płaszczy nie bez

siły osiowej.

σσσσmd

My

Wy

:=

σσσσmd 17.06 MPa

=

Warunek na no no belki.

σσσσmd kcrit fmd

⋅

≤

1

=

σσσσmd 17.06 MPa

=

<

kcrit fmd

⋅

18.69 MPa

=

Warunek ekonomiczny

– ideałem jest kiedy pole powierzchni przekroju

b x h jest minimalne – najta sza konstrukcja

70 % < 100%

Warunek ekonomiczny powinien by spełniony z uwagi na koszty inwestycji, jednak e nadrz dnym warunkiem

jest warunek no no ci

Warunek spełniony

Stany graniczne u ytkowalno ci - ugi cie

Warto ci współczynnika kdef uwzgl dniaj cego przyrost przemieszczenia od pełzania i wilgotno ci

[Tab. 5.1]

Warto ci dla drewna litego i klejonego:

obci enie stałe - Klasa u ytkowania 1 (KU1) 0.6, (KU2) 0.8, (KU3) 2.0;

obci enie długotrwałe - (KU1) 0.5, (KU2) 0.5, (KU3) 1.5;

obci enie redniotrwałe - (KU1) 0.25, (KU2) 0.25, (KU3) 0.75;

obci enie krótkotrwałe - (KU1) 0.0, (KU2) 0.0, (KU3) 0.30;

Udział ka dego rodzaju obci enia

uwzgl dniamy osobno

Dla belek i d wigarów dla których L/h >=20 mo na pomin wpływ siły poprzecznej

Klasa trwania obci enia

[Tab.3.2.4] - Stałe (np. ci ar własny) > 10 lat; Długotrwałe (np. obci enie

magazynu) 6 mies. ÷10 lat; redniotrwałe (np. obci enie u ytkowe, czasami nieg je eli długo wyst puje) 1tydz.

÷ 6 miesi cy; Krótkotrwałe (np. nieg, wiatr) < 1 tydzie ; Chwilowe - na skutek awarii. Przy kombinacji

obci e zawsze bierzemy współczynniki dla obci enia najkrócej wyst puj cego (np. stałe i krótkotrwałe

bierzemy jak dla krótkotrwałego).

Rozpatrujemy stał cze obci enia

W przypadku obci enia nale y bra warto prostopadł do rozwa anej belki, np. dla obci enia. zmiennego -

nieg uwzgl dni

S

kprostopadłe.

kdefS 0.6

:=

L
h

13.33

=

uinstS

5 a Gk

⋅

(

)

⋅

L

4

⋅

384E0mean Iy

⋅

L
h

20

≥

if

5 a Gk

⋅

(

)

⋅

L

4

⋅

384E0mean Iy

⋅

1 19.2

h
L

2

⋅

+

⋅

L
h

20

<

if

:=

uinstS 0.63 cm

=

Podstawy budownictwa – SGSP Warszawa

Zakład Podstaw Budownictwa i Materiałów Budowlanych

Katedra Bezpiecze stwa Budowli

Stan na dzie : 14.IX.2007 r

.

6/6

ufinS uinstS 1 kdefS

+

(

)

⋅

:=

ufinS 1.01 cm

=

Rozpatrujemy zmienn cze obci enia - obci enie redniotrwałe

kdefZ 0.25

:=

uinstZ

5 a Qk

⋅

(

)

⋅

L

4

⋅

384E0mean Iy

⋅

L
h

20

≥

if

5 a Qk

⋅

(

)

⋅

L

4

⋅

384E0mean Iy

⋅

1 19.2

h
L

2

⋅

+

⋅

L
h

20

<

if

:=

uinstZ 0.76 cm

=

ufinZ uinstZ 1 kdefZ

+

(

)

⋅

:=

ufinZ 0.95 cm

=

Ł czne ugi cie belki

ufin ufinS ufinZ

+

:=

ufin 1.96 cm

=

Warto ci graniczne ugi unet_fin

[Tab. 5.2.3] Dla obiektów starych i zabytkowych dopuszcza si zwi kszenie o

50%

Bez wygi cia wst pnego:

d wigary pełno cienne L/300; d wigary kratowe: obliczenia przybli one L/600, obliczenia dokładne L/300;

konstrukcje cienne L/200; płyty dachowe L/150; elementy stropu: nietynkowane L/250, tynkowane L/300;

krokwie, płatwie, inne elementy wi zarów dachowych L/200; deskowania dachowe L/150

Bez wygi cia wst pnego:

d wigary pełno cienne L/200; d wigary kratowe: obliczenia przybli one L/400, obliczenia dokładne L/200;

unetfin

L

300

:=

unetfin 2 cm

=

Warunek na u ytkowalno belki

ufin unetfin

≤

1

=

ufin 1.96 cm

=

<

unetfin 2 cm

=

Warunek ekonomiczny

– nie jest konieczne spełnienie warunku, niemniej jednak zmieszczenie si w poni szym przedziale wiadczy

o oszcz dnymprojektowaniu.

75 % <

ufin

unetfin

100

⋅

97.96

=

100%

Warunek spełniony

WNIOSEK: Przyj to belk o wymiarach b x h wykonan z drewna klejonego klasy GL35. Warunki ekonomiczne

nie musz by rygorystycznie spełnione. Wa niejsze s warunki no no ci i u ytkowalno ci

b

0.12 m

=

h

0.45 m

=