Kolokwium I

rok 2007/2008

Zadanie 3:

Obliczyć







L

dy

y

xy

ydx

x

)

1

(

2

, jeżeli

L

jest krzywą

}

0

2

{

:

2

2







y

y

x

L

zoriento

waną

ujemnie względem swojego wnętrza.

Rozwiązanie:

:

Definicja

Całkę krzywoliniowa z funkcji

F



]

,

[

Q

P



ci

ągłej na łuku gładkim zorientowanym





,

)

(

:





t

dla

t

r

r

L





o parametryzacji zgodnej z orientacja, oznaczamy symbolem



L

P dx + Qdy

=







[ P (x(t), y(t)) · x’(t) + Q(x(t), y(t)) · y’(t))]

dt

1)

}

0

2

{

:

2

2







y

y

x

L

czyli

}

1

)

1

(

{

:

2

2







y

x

L

więc

L

jest okręgiem o środku

)

1

,

0

(



P

i

promieniu

1



r

. Pokzane jest to na wykresie:

2)

Paramatryzując okrąg otrzymamy:



2

;

0

1

sin

cos









t

dla

t

y

t

x

stąd:

t

y

t

x

cos

'

sin

'







3)

Podstawiając dane pod całkę obliczamy:









L

dy

y

xy

ydx

x

)

1

(

2

=

=

dt

t

t

t

t

t

t

t

)

cos

sin

)

1

(sin

cos

)

sin

)(

1

sin

(

(cos

2

0

2















=

=















dt

t

t

t

t

t

t

t

t

)

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

(

2

2

2

2

2

2

0

2









dt



2

0

0

0

Odpowiedź:









L

dy

y

xy

ydx

x

)

1

(

2

=

0

.

Autor: Dagmara Klos grupa 2

24.10.2013