Kolokwium I
rok 2007/2008
Zadanie 1:
Zbadać, czy pole wektorowe
]
2
;
;
3
[
2
z
x
y
x
F
spełnia warunek wystarczający istnienia
potencja
łu i wyznaczyć ten potencjał.
Rozwiązanie:
Warunek k
onieczny aby istniał potencjał pola wektorowego
F
:
Jeżeli pole
F
jest potencjalne w swej dziedzinie, to
0
)
;
;
(
z
y
x
F
rot
dla każdego
D
z
y
x
)
,
,
(
1)
Sprawdzamy istnienie pola potencjalnego poprzez zbadanie, czy
0
)
;
;
(
z
y
x
F
rot
]
2
;
;
3
[
2
z
x
y
x
F
rot
z
x
y
x
z
y
x
k
j
i
F
2
3
2
x
z
j
z
x
i
y
y
x
k
x
x
k
z
y
x
j
y
z
i
)
2
(
)
(
)
3
(
)
(
)
3
(
)
2
(
2
2
0
]
0
,
0
,
0
[
0
0
1
1
0
0
j
i
k
k
j
i
3
0
)
;
;
(
R
D
z
y
x
F
rot
F
jest zatem polem potencjalnym.
2)
Szukamy potencjału
)
,
,
(
z
y
x
f
,
takiego że
]
;
;
[
z
y
x
f
f
f
f
grad
, gdzie
x
f
P
,
y
f
Q
,
z
f
R
/
'
3
2
2
)
,
(
)
3
(
)
;
;
(
3
y
x
z
y
C
yx
x
dx
y
x
z
y
x
f
y
x
f
-
obustronnie liczymy pochodną po y
)
(
0
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
z
D
z
y
C
z
y
C
x
Q
z
y
C
x
f
y
y
y
-
obustronnie całkujemy po y
/
'
3
)
(
)
,
,
(
z
z
D
yx
x
z
y
x
f
- obustronnie
liczymy pochodną po z
A
z
z
D
z
R
z
D
f
z
2
)
(
2
)
(
A
z
yx
x
z
y
x
f
2
3
)
,
,
(
-
potencjał pola wektorowego
F
3)
Aby sprawdzić poprawność rozwiązania liczymy gradient f - jeśli wyjdzie
f
grad
F
oznacza to
poprawnie policzony p
otencjał pola wektorowego i koniec zadania.
Faktycznie,
]
2
;
;
3
[
2
z
x
y
x
f
grad
F
.
Odpowiedź:
Potencjał pola wektorowego wynosi
A
z
yx
x
z
y
x
f
2
3
)
,
,
(
, gdzie A jest dowolną stałą.
Autor: Anna B. grupa 2
14.10.2013