Kolokwium I

rok 2007/2008

Zadanie 1:

Zbadać, czy pole wektorowe

]

2

;

;

3

[

2

z

x

y

x

F





spełnia warunek wystarczający istnienia

potencja

łu i wyznaczyć ten potencjał.

Rozwiązanie:

Warunek k

onieczny aby istniał potencjał pola wektorowego

F

:

Jeżeli pole

F

jest potencjalne w swej dziedzinie, to

0

)

;

;

(



z

y

x

F

rot

dla każdego

D

z

y

x



)

,

,

(

1)

Sprawdzamy istnienie pola potencjalnego poprzez zbadanie, czy

0

)

;

;

(



z

y

x

F

rot

]

2

;

;

3

[

2

z

x

y

x

F





rot

z

x

y

x

z

y

x

k

j

i

F

2

3

2

















x

z

j

z

x

i

y

y

x

k

x

x

k

z

y

x

j

y

z

i









































)

2

(

)

(

)

3

(

)

(

)

3

(

)

2

(

2

2













0

]

0

,

0

,

0

[

0

0

1

1

0

0

















j

i

k

k

j

i

























3

0

)

;

;

(

R

D

z

y

x

F

rot

F



jest zatem polem potencjalnym.

2)

Szukamy potencjału

)

,

,

(

z

y

x

f

,

takiego że

]

;

;

[

z

y

x

f

f

f

f

grad



, gdzie

x

f

P



,

y

f

Q



,

z

f

R



/

'

3

2

2

)

,

(

)

3

(

)

;

;

(

3

y

x

z

y

C

yx

x

dx

y

x

z

y

x

f

y

x

f



















-

obustronnie liczymy pochodną po y

)

(

0

)

,

(

0

)

,

(

)

,

(

z

D

z

y

C

z

y

C

x

Q

z

y

C

x

f

y

y

y















-

obustronnie całkujemy po y

/

'

3

)

(

)

,

,

(

z

z

D

yx

x

z

y

x

f







- obustronnie

liczymy pochodną po z

A

z

z

D

z

R

z

D

f

z













2

)

(

2

)

(

A

z

yx

x

z

y

x

f









2

3

)

,

,

(

-

potencjał pola wektorowego

F

3)

Aby sprawdzić poprawność rozwiązania liczymy gradient f - jeśli wyjdzie

f

grad

F



oznacza to

poprawnie policzony p

otencjał pola wektorowego i koniec zadania.

Faktycznie,

]

2

;

;

3

[

2

z

x

y

x

f

grad

F







.

Odpowiedź:

Potencjał pola wektorowego wynosi

A

z

yx

x

z

y

x

f









2

3

)

,

,

(

, gdzie A jest dowolną stałą.

Autor: Anna B. grupa 2

14.10.2013