MECHANIKA    TEORETYCZNA

Wykładowca:

Prof. dr hab. inż.

KRZYSZTOF WILDE

Kontakt:

[e-mail]

(dla starostów grup)

Materiały przygotowano z wykorzystaniem prac i materiałów Prof. J. Przewłóckiego (PG, PWSZ

Elbląg), a także materiałów Prof. J. Górskiego i dr. M. Skowronka (PG)

1

Kratownica drewniana

Kratownica żelbetowa

Bixby Bridge in Big Sur, California

Konstrukcji dachu hali „Olivia”

Kratownica stalowa

78,54 m

4,0 m

pas dolny

(2 C 220p)

pas górny

(2 dwuteownik 450)

słupki

stężenia

cięgna
sprężając

Kratownicą nazywamy konstrukcję złożona z prostoliniowych

prętów połączonych ze sobą za pomocą przegubów.

Dla uproszczenia na rysunkach konstrukcji
kratownic

pomijamy

oznaczanie kółkami

węzłów kratownic

.

KRATOWNICE

pas górny

pas dolny

słupek

krzyżulec

Kratownica wspornikowa

kratownica trójprzegubowa

kratownica swobodnie podparta

kratownica ciągła-przegubowa

TYPY KRATOWNIC

Najczęściej stosowane kształty kratownic

Kratownice trójkątne i trapezowe
znajdują zastosowanie głównie
jako wiązary dachowe.

Kratownice o pasach parabolicznych używane
są głównie jako konstrukcje mostów

Kratownice o pasach równoległych są
najczęściej używane w budownictwie
przemysłowym i mostach.

Podpora przegubowo-nieprzesuwna kratownicy

Podpora przegubowo-przesuwna kratownicy

Podpory kratownic

1. Osie prętów kratownicy schodzących się w węźle przecinają się
w jednym punkcie – środku przegubu.

ZAŁOŻENIA do wyznaczania sił wewnętrznych:

2. Ciężar własny konstrukcji, zazwyczaj niewielki w porównaniu z obciążeniem

użytkowym, zastępuje się siłami skupionymi przyłożonymi w węzłach.

ZAŁOŻENIA do wyznaczania sił wewnętrznych:

Ciężar własny

3. Obciążenie zewnętrzne działające na kratownice przykładane jest

wyłącznie w węzłach, w postaci sił skupionych.

Ciężar własny

Obciążenia zewnętrzne

Przeguby kratownicy nie są idealnymi przegubami pozbawionymi tarcia.
W rzeczywistości obroty prętów nie muszą dokonywać się idealnie
względem teoretycznego miejsca przegubu (np. połączenia na gwoździe
lub nity z zastosowaniem blach węzłowych).

Przegub czy połączenie sztywne?

W rzeczywistości nie spełnione są
warunki obciążenia w formie sił
skupionych. Jednak, w większości
przypadków ciężar własny prętów
kratownicy sprowadza sie do jednej siły,
której kierunek przechodzi przez przegub.

Sztywność połączeń węzłowych powoduje powstanie w prętach
dodatkowych sił (tnących i momentów).

Przegub kratownicy drewnianej

Dodatowe siły są

jednak

drugorzędne

i

powodują powstanie niewielkich różnic w
porównaniu z siłami obliczonymi przy
założeniu idealnych przegubów.

Przegub czy połączenie sztywne?

Założenia

dotyczące

obliczania

kratownic

umożliwiają

szybkie

i

wystarczająco dokładne

obliczenie

sił w konstrukcjach kratownicowych.

A

B

S

3

S

1

S

2

A

W

1

W=W

1

B

S

4

W

2

W=W

2





N=W

W





- Momenty zginające w przegubach A i B z definicji są równe zeru.
- Gdyby w przegubach działały siły poprzeczne, to pręt nie byłby w

równowadze. W prętach kratowych siły tnące są równe zeru.

- W pręcie kratowym mogą wystąpić jedynie siły równoległe do osi pręta.

Równowaga pręta kratownicy

P

x

= 0,

P

y

= 0,

M

A

= 0

x

y

Siły rozciągające w prętach określa sie jako dodatnie, siły
ściskające oznaczamy jako ujemne.

W pręcie kratowym występują tylko siły normalne.

W każdym węźle kratownicy występuje zbieżny układ sił, który musi spełniać
warunki równowagi:

P

x

= 0,

P

y

= 0.

2

0

r

p

w

 



Kratownica jest statycznie wyznaczalna, jeżeli spełniony jest następujący
warunek:

r – składowe reakcji podpór

Niewiadome: r + p

p – liczba prętów kratownicy

Liczba równań: 2w

w – liczba węzłów kratownicy

Statyczna wyznaczalność kratownic

Przykład:

Kratownica trójkątna

(dodajemy 2 pręty+węzeł)

Kratownica

geometrycznie zmienna - mechanizm

r =3, p=16, w=9 s=3+16-2·9=1

Analiza statyczna polega na wyznaczeniu sił normalnych występujących w
prętach. W trakcie obliczania sił normalnych w prętach kratownicy oraz reakcji
podporowych stosuje się założenie o małych odkształceniach (zasadę
zesztywnienia). Ugięcia kratownicy są bardzo małe w porównaniu z jej
długością (rzędu paru procent) i można pominąć ich wpływ na reakcje oraz siły
normalne.

Analiza kinematyczna polega na sprawdzeniu, czy sposób połączenia
prętów kratownicy zapewnia jej geometryczną niezmienność.

Metody wyznaczania sił w prętach kratownicy

• Przyjmuje się, że nieznane siły są rozciągające

tzn. na rysunkach oznacza się jako wychodzące
z węzłów. Są to siły dodatnie.

• Jeżeli siła obliczona posiada znak ” - ” oznacza

to, że pręt podlega ściskaniu.

Stosowany techniki:

• metoda Cremony

– metoda wykreślna (historyczna)

• metoda równoważenia węzłów – metoda analityczna
• metoda przekrojów Rittera

– metoda analityczna

W pierwszym etapie analizy z reguły wyznacza się składowe reakcji
podporowych z odpowiednich równań równowagi zapisanych dla całej
kratownicy (tak samo jak dla ram lub belek).

D

K

S

Rozciąganie

D

K

S

D

K

S

Ściskanie

Obliczenia rozpoczyna się od węzła, w którym występują co najwyżej dwie
nieznane siły i przechodzi się do kolejnego węzła z dwiema niewiadomymi.

H

A

A

S

1

K

1

D

1

x

y

R

A

B

D

2

K

2

S

3

x

y

R

B

E

G

1

K

1

K

2

G

2

S

2

x

y

F

G

2

S

3

x

y

D

G

1

x

y

S

1

C

D

1

D

2

x

y

S

2





D

E

F

A

C

B

G

1

K

1

K

2

G

2

S

2

S

3

S

1

D

1

D

2

Metoda równoważenia węzłów jest prosta w zastosowaniu, jednak z uwagi na
„przechodzenie” w obliczeniach od węzła do węzła, popełnienie błędu rachunkowego na
początku obliczeń, prowadzi do błędnego rozwiązania całości.

1

1

0 0

0 0

x

y

P

G

P

S

















1

1

0

0

y

x

P

K

P

D













2

2

0

0

y

x

P

S

P

D













2

3

0

0

x

y

P

K

P

S













2

0

0

1

x

y

P

G

P













k o n t r o l a

0

2

0

3

x

y

P

P













k ο n t r o l a

k ο n t r o l a

Metoda równoważenia węzłów

Metoda umożliwia niezależne wyznaczenie sił w dowolnych prętach kratownicy.
Stosuje się ją wyłącznie dla przekrojów kratownic zawierających co najwyżej
trzy pręty, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie.

F

G

H

J

K

A

B





D

E

C

R

A

R

B

H

A

G

HJ

K

HE

D

DE



H

J

K

E

B

G

HJ

K

HE

D

DE

R

B

R

A

H

A

G

HJ

K

HE

D

DE

F



G

H

A

C

D

E

Metoda przekrojów (Rittera)

0 ,

0 ,

0

E

H

y

M

M

P













G

HJ

K

HE

D

DE

40 kN

40 kN

80 kN

‐60

‐60

‐60

‐60

‐4

0

‐4

0

‐8

0

‐8

0

90

90

R

A

=80

R

B

=80

H

A

=0

W przypadku kratownic nie ma potrzeby wykonywania wykresów sił
wewnętrznych, gdyż siły (normalne) w każdym pręcie są stałe.
W podsumowaniu można wykonać spis (listę) uzyskanych wyników lub
umieścić wartości sił, jak na rysunku.

Uwaga: Znak „minus” oznacza ściskanie pręta.

Prezentacja wyników

1. Jeżeli nieobciążony węzeł łączy dwa pręty o dowolnych

kierunkach, to nie wystąpią w nich siły

S

1

= S

2

= 0.

x

y

S

1

S

2

S

1

=S

2

=0

Zasady wyznaczania prętów „zerowych”

2. Jeżeli w węźle nieobciążonym zbiegają się trzy pręty, z których

dwa leżą na jednej prostej, to siła w trzecim dochodzącym do
nich pręcie jest równa zeru (S

3

= 0). Ponadto w prętach

leżących na jednej prostej siły będą jednakowe (S

1

= S

2

).

Reguła ta dotyczy także węzła obciążonego, w którym zbiegają

się dwa pręty i jeden z nich leży wzdłuż linii działania siły.

S

1

x

y

S

2

S

3

=0

S

3

Zasady wyznaczania prętów „zerowych”

S

1

=S

2

x

y

S

1

S

2

S

3

S

4

S

1

=S

3

, S

2

=S

4

3. Jeżeli węzeł nieobciążony łączy cztery pręty leżące parami na

dwóch prostych, to wartości sił w każdej parze są sobie równe
(S

1

= S

3

, S

2

= S

4

).

Reguła ta dotyczy także węzła obciążonego, w którym jedną

lub obie pary tworzą pręt i siła leżące na jednej prostej.

Zasady wyznaczania prętów „zerowych”

A

C

E

G

K

B

D

F

H

P

R

B

H

B

H

A

P

Pręty o zerowych wartościach sił, teoretycznie są zbędne.

Na przykład, usunięcie zerowego pręta EF z kratownicy i zastąpienie dwóch
prętów CE i EG jednym prętem CG, nie zmienia rozkładu sił wewnętrznych
kratownicy. Taka zmiana jednak zwiększy podatność pręta CG na
wyboczenie.

Pręty zerowe mogą być także potrzebne dla zapewnienia stateczności
kratownicy w czasie jej konstrukcji lub z uwagi na obciążenia użytkowe.

Które pręty są „zerowe”?

A

C

E

G

K

B

D

F

H

P

P

Pręty rozciąganie

Pręty ściskane





T



Krzyżulec
ściskany



T





Krzyżulec
rozciągany



T



Słupek
rozciągany







T



Słupek
ściskany

Analiza pracy prętów kratownicy

8 kN 8 kN 8 kN 8 kN 8 kN 8 kN 8 kN

Pręty
rozciąganie

Pręty
ściskane

Pręty
zerowe

8 kN

8 kN 8 kN

8 kN

8 kN

8 kN 8 kN

4 m

2 m

2 m

2 m

2 m

2 m

2 m

2 m

2 m

30

30

24

24

14

-14

14

-24

-14

-30

-24

-30

-32

-32

-28

-28

-28

-28

-12

-20

-12

-20

-8

Siły w pasach kratownicy maleją wraz ze wzrostem jej wysokości.

120

120

56

M

56

96

96

[kNm]

128

T

28

20

12

20

12

4

4

[kN]

28

Porównanie belka wolnopodparta - kratownica

• Przy kształtowaniu kratownic, najmniejsze siły w prętach

ukośnych występują przy ich nachyleniu do poziomu 45

0

-60

0

.

• Kratownice pozwalają na wykonanie konstrukcji o znacznych

rozpiętościach ponieważ materiał, z którego są wykonane jest
lepiej wykorzystany niż np. w belkach.

• W praktycznych obliczeniach, siły w niektórych prętach

najczęściej wyznacza się metodą równoważenia węzłów a w
innych metodą przekrojów. W wielu przypadkach oblicza się
jedynie siły w wybranych prętach, w których spodziewamy się
wystąpienia wartości ekstremalnych.

• Pręty ściskane powinny być możliwie najkrótsze.

Uwagi ogólne dotyczące kratownic

World Trade Center Transportation Hub,
New York City, USA

Turning Torso, Malmo,
Szwecja

SANTIAGO CALATRAVA

Katastrofy i awarie

Awaria wiaduktu

w ciągu ul. Braci Lewoniewskich

W Gdańsku

10.10.2004r.

10.10.2004r.

Wiaduktu w ciągu ul. Braci Lewoniewskich

W Gdańsku

10.10.2004r.

Wiaduktu w ciągu ul. Braci Lewoniewskich

W Gdańsku

10.10.2004r.

Wiaduktu w ciągu ul. Braci Lewoniewskich

W Gdańsku

10.10.2004r.

Koncepcja remontu wiaduktu w ciągu ul. Braci Lewoniewskich

Obliczanie etapów

pośrednich remontu

Zdjęcie w trakcie prac

remontowych