Wykład 10
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ci
,
agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosn
,
aca ( niemalej
,
aca ) w przedziale (a, b) to ∀x ∈ (a, b)
f
0
(x) ≤ 0 ( f
0
(x) ≥ 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x
0
f (x) ≥ f (x
0
).
Zatem
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 skąd lim
x→x
+
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0.
Z istnienia pochodnej f
0
(x
0
) ≥ 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ci
,
agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosn
,
aca ( niemalej
,
aca ) w przedziale (a, b) to ∀x ∈ (a, b)
f
0
(x) ≤ 0 ( f
0
(x) ≥ 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x
0
f (x) ≥ f (x
0
).
Zatem
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 skąd lim
x→x
+
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0.
Z istnienia pochodnej f
0
(x
0
) ≥ 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ci
,
agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosn
,
aca ( niemalej
,
aca ) w przedziale (a, b) to ∀x ∈ (a, b)
f
0
(x) ≤ 0 ( f
0
(x) ≥ 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x
0
f (x) ≥ f (x
0
).
Zatem
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 skąd lim
x→x
+
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0.
Z istnienia pochodnej f
0
(x
0
) ≥ 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ci
,
agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosn
,
aca ( niemalej
,
aca ) w przedziale (a, b) to ∀x ∈ (a, b)
f
0
(x) ≤ 0 ( f
0
(x) ≥ 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x
0
f (x) ≥ f (x
0
).
Zatem
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 skąd lim
x→x
+
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0.
Z istnienia pochodnej f
0
(x
0
) ≥ 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ci
,
agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosn
,
aca ( niemalej
,
aca ) w przedziale (a, b) to ∀x ∈ (a, b)
f
0
(x) ≤ 0 ( f
0
(x) ≥ 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x
0
f (x) ≥ f (x
0
).
Zatem
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 skąd lim
x→x
+
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0.
Z istnienia pochodnej f
0
(x
0
) ≥ 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy’ego )
Jeżeli funkcje ci
,
agłe f, g : [a, b] −→ R s
,
a różniczkowalne w przedziale
(a, b) i ∀x ∈ (a, b) g
0
(x) 6= 0 to ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
h(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
(g(x) − g(a))
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle’a zatem ∃c ∈ (a, b) takie, że
g
0
(c) = 0.
Stąd
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy’ego )
Jeżeli funkcje ci
,
agłe f, g : [a, b] −→ R s
,
a różniczkowalne w przedziale
(a, b) i ∀x ∈ (a, b) g
0
(x) 6= 0 to ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
h(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
(g(x) − g(a))
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle’a zatem ∃c ∈ (a, b) takie, że
g
0
(c) = 0.
Stąd
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy’ego )
Jeżeli funkcje ci
,
agłe f, g : [a, b] −→ R s
,
a różniczkowalne w przedziale
(a, b) i ∀x ∈ (a, b) g
0
(x) 6= 0 to ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
h(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
(g(x) − g(a))
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle’a zatem ∃c ∈ (a, b) takie, że
g
0
(c) = 0.
Stąd
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy’ego )
Jeżeli funkcje ci
,
agłe f, g : [a, b] −→ R s
,
a różniczkowalne w przedziale
(a, b) i ∀x ∈ (a, b) g
0
(x) 6= 0 to ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
h(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
(g(x) − g(a))
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle’a zatem ∃c ∈ (a, b) takie, że
g
0
(c) = 0.
Stąd
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i w tym jego s
,
asiedztwie g(x) 6= 0, niech lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0
lub lim
x→x
0
f (x) = ±∞ oraz lim
x→x
0
g(x) = ±∞.
Jeżeli istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
g(x)
i lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
DOWÓD:
Dla ”
0
0
”. Możemy przyj
,
ać, że f (x
0
) = g(x
0
) = 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i w tym jego s
,
asiedztwie g(x) 6= 0, niech lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0
lub lim
x→x
0
f (x) = ±∞ oraz lim
x→x
0
g(x) = ±∞.
Jeżeli istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
g(x)
i lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
DOWÓD:
Dla ”
0
0
”. Możemy przyj
,
ać, że f (x
0
) = g(x
0
) = 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i w tym jego s
,
asiedztwie g(x) 6= 0, niech lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0
lub lim
x→x
0
f (x) = ±∞ oraz lim
x→x
0
g(x) = ±∞.
Jeżeli istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
g(x)
i lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
DOWÓD:
Dla ”
0
0
”. Możemy przyj
,
ać, że f (x
0
) = g(x
0
) = 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i w tym jego s
,
asiedztwie g(x) 6= 0, niech lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0
lub lim
x→x
0
f (x) = ±∞ oraz lim
x→x
0
g(x) = ±∞.
Jeżeli istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
g(x)
i lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
DOWÓD:
Dla ”
0
0
”. Możemy przyj
,
ać, że f (x
0
) = g(x
0
) = 0.
POCHODNE
Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamy
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
,
gdzie c ∈ (x, x
0
) lub c ∈ (x
0
, x).
Jeżeli x −→ x
0
to c −→ x
0
zatem lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞, lim
x→x
0
g(x) = 0 wówczas
lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x)
1
g(x)
.
POCHODNE
Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamy
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
,
gdzie c ∈ (x, x
0
) lub c ∈ (x
0
, x).
Jeżeli x −→ x
0
to c −→ x
0
zatem lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞, lim
x→x
0
g(x) = 0 wówczas
lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x)
1
g(x)
.
POCHODNE
Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamy
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
,
gdzie c ∈ (x, x
0
) lub c ∈ (x
0
, x).
Jeżeli x −→ x
0
to c −→ x
0
zatem lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞, lim
x→x
0
g(x) = 0 wówczas
lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x)
1
g(x)
.
POCHODNE
Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamy
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
,
gdzie c ∈ (x, x
0
) lub c ∈ (x
0
, x).
Jeżeli x −→ x
0
to c −→ x
0
zatem lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞, lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas
lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x)
1
g(x)
.
POCHODNE
Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamy
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
,
gdzie c ∈ (x, x
0
) lub c ∈ (x
0
, x).
Jeżeli x −→ x
0
to c −→ x
0
zatem lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞, lim
x→x
0
g(x) = 0 wówczas
lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x)
1
g(x)
.
POCHODNE
Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamy
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
,
gdzie c ∈ (x, x
0
) lub c ∈ (x
0
, x).
Jeżeli x −→ x
0
to c −→ x
0
zatem lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞, lim
x→x
0
g(x) = 0 wówczas
lim
x→x
0
f (x)g(x) = lim
x→x
0
f (x)
1
g(x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = 0
wtedy
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = 1, lim
x→x
0
g(x) = ∞
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
Niech funkcje f, g : (a, b) −→ R s
,
a różniczkowalne w s
,
asiedztwie punktu
x
0
i niech lim
x→x
0
f (x) = ∞ lim
x→x
0
g(x) = 0
wówczas lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
e
g(x)ln f (x)
.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x
= lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
PRZYKŁAD 118
lim
x→0
x · ln x = lim
x→0
lnx
x
= lim
x→0
1
x
−1
x
2
= lim
x→0
(−x) = 0.
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
e
x·ln x
= e
lim
x→0
x·ln x
= e
0
= 1.
lim
x→
π
4
tg x
1
cos 2x
= lim
x→
π
4
e
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
lntg x
cos 2x
= e
lim
x→ π
4
cos x
sin x·cos 2 x·2(−sin 2x)
=
= e
lim
x→ π
4
1
sin x·cos x·2(−sin 2x)
= e
−1
=
1
e
.
lim
x→
π
2
(tg x)
cos x
= lim
x→
π
2
e
cos x·ln tg x
= e
lim
x→ π
2
cos x·lntg x
= e
lim
x→ π
2
lntg x
1
cos x
=
= e
lim
x→ π
2
ctg x·
1
cos 2 x
−sin x
cos 2 x
= e
lim
x→ π
2
cos x
−sin 2 x
= e
0
= 1.
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztą Lagrange’a )
Niech funkcja f : [a, b] −→ R jest klasy C
n−1
w przedziale [a, b] i
∀x ∈ (a, b) ∃f
n
(x)
wtedy ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) = f (a)+f
0
(a)(b−a)+
f
00
(a)
2!
(b−a)
2
+· · ·+
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b−a)
n−1
+R
n
,
gdzie R
n
=
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztą Lagrange’a )
Niech funkcja f : [a, b] −→ R jest klasy C
n−1
w przedziale [a, b] i
∀x ∈ (a, b) ∃f
n
(x)
wtedy ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) = f (a)+f
0
(a)(b−a)+
f
00
(a)
2!
(b−a)
2
+· · ·+
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b−a)
n−1
+R
n
,
gdzie R
n
=
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztą Lagrange’a )
Niech funkcja f : [a, b] −→ R jest klasy C
n−1
w przedziale [a, b] i
∀x ∈ (a, b) ∃f
n
(x)
wtedy ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) = f (a)+f
0
(a)(b−a)+
f
00
(a)
2!
(b−a)
2
+· · ·+
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b−a)
n−1
+R
n
,
gdzie R
n
=
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztą Lagrange’a )
Niech funkcja f : [a, b] −→ R jest klasy C
n−1
w przedziale [a, b] i
∀x ∈ (a, b) ∃f
n
(x)
wtedy ∃c ∈ (a, b) taki, że
f (b) = f (a)+f
0
(a)(b−a)+
f
00
(a)
2!
(b−a)
2
+· · ·+
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b−a)
n−1
+R
n
,
gdzie R
n
=
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
.
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x)
+
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
h(x) = f (b) − f (x) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
k!
(b − x)
k
.
h
0
(x) = −f
0
(x) +
n−1
P
k=1
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−1
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
=
= −f
0
(x) + f
0
(x) +
n−1
P
k=2
f
(k)
(x)
(k − 1)!
(b − x)
k−1
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
(k)!
(b − x)
k
−
n−2
P
k=1
f
(k+1)
(x)
k!
(b − x)
k
−
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
=
= −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
Niech H(x) = h(x) −
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n
.
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.
Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H
0
(c) = 0.
Ale H
0
(x) = h
0
(x) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − x)
n−1
.
Mamy więc 0 = H
0
(c) = h
0
(c) + n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
=
= −
f
(n)
(c)
n!
(b − c)
n
+ n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
Stąd
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − c)
n−1
= n
h(a)
(b − a)
n
(b − c)
n−1
.
POCHODNE
h(a) =
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
,
oraz
h(a) = f (b) − f (a) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
.
Co daje nam
f (b) =
n−1
P
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
.
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
h(a) =
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
,
oraz
h(a) = f (b) − f (a) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
.
Co daje nam
f (b) =
n−1
P
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
.
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
h(a) =
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
,
oraz
h(a) = f (b) − f (a) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
.
Co daje nam
f (b) =
n−1
P
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
.
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
h(a) =
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
,
oraz
h(a) = f (b) − f (a) −
n−1
P
k=1
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
.
Co daje nam
f (b) =
n−1
P
k=0
f
(k)
(a)
k!
(b − a)
k
+
f
(n)
(c)
(n)!
(b − a)
n
.
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin’a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (x) = f (0) + f
0
(0)x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ · · · +
f
(n−1)
(0)
(n − 1)!
x
n−1
+ R
n
, gdzie
R
n
=
f
(n)
(c)
(n)!
x
n
, c ∈ (0, x).
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztą Peano )
Niech funkcja f : (a, b) −→ R jest klasy C
n−1
w otoczeniu x
0
∈ (a, b) i
∃f
(n)
(x
0
)
wtedy
f (x
0
+h) = f (x
0
)+f
0
(x
0
)h+
f
00
(x
0
)
2!
h
2
+· · ·+
f
(n)
(x
0
)
n!
h
n
+ω(x
0
, h)h
n
,
gdzie ω(x
0
, h) −→ 0, gdy h −→ 0 i x
0
+ h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin’a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (x) = f (0) + f
0
(0)x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ · · · +
f
(n−1)
(0)
(n − 1)!
x
n−1
+ R
n
, gdzie
R
n
=
f
(n)
(c)
(n)!
x
n
, c ∈ (0, x).
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztą Peano )
Niech funkcja f : (a, b) −→ R jest klasy C
n−1
w otoczeniu x
0
∈ (a, b) i
∃f
(n)
(x
0
)
wtedy
f (x
0
+h) = f (x
0
)+f
0
(x
0
)h+
f
00
(x
0
)
2!
h
2
+· · ·+
f
(n)
(x
0
)
n!
h
n
+ω(x
0
, h)h
n
,
gdzie ω(x
0
, h) −→ 0, gdy h −→ 0 i x
0
+ h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin’a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (x) = f (0) + f
0
(0)x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ · · · +
f
(n−1)
(0)
(n − 1)!
x
n−1
+ R
n
, gdzie
R
n
=
f
(n)
(c)
(n)!
x
n
, c ∈ (0, x).
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztą Peano )
Niech funkcja f : (a, b) −→ R jest klasy C
n−1
w otoczeniu x
0
∈ (a, b) i
∃f
(n)
(x
0
)
wtedy
f (x
0
+h) = f (x
0
)+f
0
(x
0
)h+
f
00
(x
0
)
2!
h
2
+· · ·+
f
(n)
(x
0
)
n!
h
n
+ω(x
0
, h)h
n
,
gdzie ω(x
0
, h) −→ 0, gdy h −→ 0 i x
0
+ h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin’a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (x) = f (0) + f
0
(0)x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ · · · +
f
(n−1)
(0)
(n − 1)!
x
n−1
+ R
n
, gdzie
R
n
=
f
(n)
(c)
(n)!
x
n
, c ∈ (0, x).
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztą Peano )
Niech funkcja f : (a, b) −→ R jest klasy C
n−1
w otoczeniu x
0
∈ (a, b) i
∃f
(n)
(x
0
)
wtedy
f (x
0
+h) = f (x
0
)+f
0
(x
0
)h+
f
00
(x
0
)
2!
h
2
+· · ·+
f
(n)
(x
0
)
n!
h
n
+ω(x
0
, h)h
n
,
gdzie ω(x
0
, h) −→ 0, gdy h −→ 0 i x
0
+ h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
f (x
0
+ h) −
n
P
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
h
k
h
n
.
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
00 0
0
00
Stosując n-krotnie Regułę de L’Hospitala otrzymamy
lim
h→0
ω(x
0
, h) = 0.
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
f (x
0
+ h) −
n
P
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
h
k
h
n
.
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
00 0
0
00
Stosując n-krotnie Regułę de L’Hospitala otrzymamy
lim
h→0
ω(x
0
, h) = 0.
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
f (x
0
+ h) −
n
P
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
h
k
h
n
.
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
00 0
0
00
Stosując n-krotnie Regułę de L’Hospitala otrzymamy
lim
h→0
ω(x
0
, h) = 0.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R minimum ( maksimum )
jeżeli ∃S sąsiedztwo punktu x
0
takie, że ∀x ∈ S f (x) > f (x
0
)
(f (x) < f (x
0
)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x
0
jest to aby f
0
(x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R minimum ( maksimum )
jeżeli ∃S sąsiedztwo punktu x
0
takie, że ∀x ∈ S f (x) > f (x
0
)
(f (x) < f (x
0
)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x
0
jest to aby f
0
(x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R minimum ( maksimum )
jeżeli ∃S sąsiedztwo punktu x
0
takie, że ∀x ∈ S f (x) > f (x
0
)
(f (x) < f (x
0
)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x
0
jest to aby f
0
(x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczaj
,
acym istnienia ekstremum w punkcie x
0
funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x
0
jest to aby f
0
(x
0
) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x
0
.
DOWÓD:
Jeżeli f
0
(x
0
) = 0
oraz
f
0
(x) > 0 dla x < x
0
zaś dla x > x
0
mamy
f
0
(x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f (x) < f (x
0
)
dla x leżących w sąsiedztwie x
0
.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C
1
w otoczeniu punktu x
0
i istnieje f
00
(x
0
) 6= 0 to f
ma w punkcie x
0
ekstremum minimum gdy f
00
(x
0
) > 0, maksimum gdy
f
00
(x
0
) < 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczaj
,
acym istnienia ekstremum w punkcie x
0
funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x
0
jest to aby f
0
(x
0
) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x
0
.
DOWÓD:
Jeżeli f
0
(x
0
) = 0
oraz
f
0
(x) > 0 dla x < x
0
zaś dla x > x
0
mamy
f
0
(x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f (x) < f (x
0
)
dla x leżących w sąsiedztwie x
0
.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C
1
w otoczeniu punktu x
0
i istnieje f
00
(x
0
) 6= 0 to f
ma w punkcie x
0
ekstremum minimum gdy f
00
(x
0
) > 0, maksimum gdy
f
00
(x
0
) < 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczaj
,
acym istnienia ekstremum w punkcie x
0
funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x
0
jest to aby f
0
(x
0
) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x
0
.
DOWÓD:
Jeżeli f
0
(x
0
) = 0
oraz
f
0
(x) > 0 dla x < x
0
zaś dla x > x
0
mamy
f
0
(x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f (x) < f (x
0
)
dla x leżących w sąsiedztwie x
0
.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C
1
w otoczeniu punktu x
0
i istnieje f
00
(x
0
) 6= 0 to f
ma w punkcie x
0
ekstremum minimum gdy f
00
(x
0
) > 0, maksimum gdy
f
00
(x
0
) < 0.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1 252010 12 09 WIL Wyklad 09id Nieznany
IKONOGRAFIA ŚWIĘTYCH, WYKŁAD X, 12 10
decyzje inwestycyjne wykład 01.12.10, STUDIA UE Katowice, semestr I mgr, fir 1 testy, Decyzje inwest
wyklad II intensywnej 12 10 2011
rośliny ozdobne - wykład - 12.10.2006, semestr V
Podstawy psychologii - wyklad 08 [12.10.2001], ☆♥☆Coś co mnie kręci psychologia
Informacja i komunikacja w zarządzaniu, wykład 12 10
turystyka na obszarach chronionych wyklad 2 12.12.10, turystyka na obszarach chronionych
etyka - wykład II - 12.10.2006, semestr V
12.10.2001, Notatki i materiały dodatkowe, Biologia, Wykłady
decyzje inwestycyjne wykład 01.12.10, STUDIA UE Katowice, semestr I mgr, fir 1 testy, Decyzje inwest
BANKOWOŚĆ wykład 1 z dnia 12.10.2008, Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach, Finanse i Rachunkowość,
10 12, Studia, Bioinżynieria - Wykład
Etyka (12.10.2010), FIZJOTERAPIA UM, ~ Wykłady
więcej podobnych podstron