Równania ró»niczkowe zupeªne

Równanie ró˙zniczkowe zwyczajne postaci

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

(1)

nazywamy

zupełnym wtedy i tylko wtedy gdy w pewnym obszarze

D

∂P (x, y)

∂y

≡

∂Q(x, y)

∂x

.

(2)

Wtedy rozwi ˛

azanie ogólne równania (1) mo˙zemy zapisa´c w postaci

Z

x

x

0

P (x, y) dx +

Z

y

y

0

Q(x

0

, y) dy = C

(3)

Jednak˙ze, zazwyczaj obliczamy

u(x, y) =

Z

P (x, y) dx + φ(y)



lub

u(x, y) =

Z

Q(x, y) dy + ψ(x)



,

(4)

∂u(x, y)

∂y

= Q(x, y)



lub

∂u(x, y)

∂x

= P (x, y)



,

(5)

rozwi ˛

azujemy ze wzgl ˛edu na

φ

(or

ψ

) nast ˛epuj ˛

ace równania otrzymane z (5)

φ

0

(y) = p(y)

[

or

ψ

0

(x) = q(x)]

(6)

i dokonujemy odpowiedniego podstawienia w (4).

Przykład 1.

(sin (xy) + xy cos (xy)) dx + x

2

cos (xy) dy = 0

(7)

∂P (x, y)

∂y

= 2x cos (xy) − x

2

y sin (xy),

∂Q(x, y)

∂x

= 2x cos (xy) − x

2

y sin (xy).

Tak wi ˛ec,

∂P (x, y)

∂y

≡

∂Q(x, y)

∂x

.

u(x, y) =

Z

(sin (xy) + xy cos (xy)) dx + φ(y) = x sin (xy) + φ(y).

∂u(x, y)

∂y

= x

2

cos (xy) + φ

0

(y) = x

2

cos (xy) =⇒ φ(y) = C

W rezultacie otrzymujemy

u(x, y) = x sin (xy) + C,

co mo˙zemy zapisa´c jako

x sin (xy) = C.

1

Czynnik caªkuj¡cy

Funkcj ˛e

µ(x, y)

nazywamy czynnikiem całkuj ˛

acym je´sli równanie (1) pomno˙zone przez

µ(x, y)

, tj.

µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0

(8)

staje si ˛e zupełnym.

Równo´s´c (2) zastosowana do (8) mo˙ze by´c zapisana jako

Q(x, y)

∂µ

∂x

− P (x, y)

∂µ

∂y

=

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



µ,

z której otrzymujemy nast ˛epuj ˛

ace (cz ˛

astkowe) równanie ró˙zniczkowe wzgl ˛edem

µ

:

Q(x, y)

∂ ln µ

∂x

− P (x, y)

∂ ln µ

∂y

=

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



.

(9)

I.

1

Q

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



jest funkcj ˛

a tylko samego

x

. Wtedy

d ln µ

dy

= 0

i (9) przyjmuje posta´c

d ln µ

dx

=

1

Q

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



,

(10)

i wtedy znajdujemy

µ

z równania

ln µ =

Z

1

Q

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



dx.

II.

1

P

 ∂Q(x, y)

∂x

−

∂P (x, y)

∂y



jest funkcj ˛

a tylko

y

. Wtedy

d ln µ

dx

= 0

i (9) przyjmuje posta´c

d ln µ

dy

=

1

P

 ∂Q(x, y)

∂x

−

∂P (x, y)

∂y



,

(11)

i wtedy znajdujemy

µ

z równania

ln µ =

Z

1

P

 ∂Q(x, y)

∂x

−

∂P (x, y)

∂y



dy.

III.

Czynnik całkuj ˛

acy

µ = µ(z)

gdzie

z

mo˙ze by´c postaci

z = x + y

,

z = x + y

2

,

z = x

2

+ y

2

,

z = xy

,

z = x/y

i innej.

Na przykład, je´sli

µ = µ(x + y

2

)

wtedy

z = x + y

2

i

∂ ln µ

∂x

=

d ln µ

dz

·

∂z

∂x

=

d ln µ

dz

,

∂ ln µ

∂y

=

d ln µ

dz

·

∂z

∂y

=

d ln µ

dz

· 2y.

Teraz równo´s´c (9) przyjmuje posta´c

(Q(x, y) − 2yP (x, y))

d ln µ

dz

=

∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x

,

lub równowa˙zn ˛

a

d ln µ

dz

=

1

Q(x, y) − 2yP (x, y)

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



.

Przykład 2.

(3x + 2y + y

2

) dx + (x + 4xy + 5y

2

) dy = 0,

µ = µ(x + y

2

).

1

Q(x, y) − 2yP (x, y)

 ∂P (x, y)

∂y

−

∂Q(x, y)

∂x



=

1

x + y

2

=

1

z

⇒

d ln µ

dz

=

1

z

⇒ µ = z = x + y

2

.

2