E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

PIERWSZA METODA LAPUNOWA

Weźmy pod uwagę układ nieliniowy autonomiczny, opisany

wektorowym równaniem różniczkowym o postaci :

F(x)

x





(1)

przy czym: x – n wymiarowy wektor stanu; F – funkcja wektorowa
nieliniowa, różniczkowalna względem x.
Niech punkt x=0 będzie punktem równowagi tego układu, czyli

0

F(0)



Przybliżenie liniowe równania nieliniowego (1) ma postać

Ax

x





(2)

przy czym macierz kwadratowa A jest określona zależnością

0

x

x

F

A









(3)

Pierwsza metoda Lapunowa formułuje warunki stabilności

lokalnej w punkcie równowagi x = 0 układu nieliniowego, opisanego
równaniem (1), w oparciu o przybliżenie liniowe (2).

Układ nieliniowy jest stabilny lokalnie asymptotycznie w

punkcie równowagi x=0, jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne
asymptotycznie, tzn. gdy wszystkie pierwiastki równania
charakterystycznego

det [sI – A] = s

n

+a

n-1

s

n-1

+…+a

1

s+a

0

= 0

(4)

leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.

Jeżeli przybliżenie liniowe (2) jest niestabilne, to układ

nieliniowy jest niestabilny. Jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne,
ale nieasymptotyczne, to o zachowaniu układu nieliniowego nic nie
można powiedzieć na podstawie przybliżenia liniowego (2).

W przypadku, gdy przybliżenie liniowe (2) jest stabilne

asymptotycznie lub niestabilne, część nieliniowa rozwinięcia w szereg
Taylora R(x) funkcji F(x) nie ma wpływu na stabilność w punkcie
równowagi układu nieliniowego. W przypadku natomiast, gdy
przybliżenie liniowe (2) jest stabilne, ale nieasymptotycznie, to o
stabilności układu nieliniowego decyduje część nieliniowa
rozwinięcia w szereg Taylora R(x).

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Przykład 1.

Określić, dla jakich wartości współczynnika a układ nieliniowy opisany

równaniem różniczkowym

0

dt

dx

b

x

dt

dx

a

dt

x

d

2

2

2





















(5)

jest stabilny lokalnie w punkcie równowagi x = 0,

0

dt

dx



.

Przybliżenie liniowe równania nieliniowego (5) ma postać

0

x

dt

dx

a

dt

x

d

2

2







(6)

Z kryterium Hurwitza wynika, że równanie charakterystyczne przybliżenia

liniowego

s

2

+as+1 = 0

(7)

ma oba pierwiastki w lewej płaszczyźnie dla a > 0.

Układ nieliniowy, opisany równaniem (5), jest więc stabilny lokalnie w

punkcie równowagi dla a > 0.

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

DRUGA METODA LAPUNOWA

Druga metoda Lapunowa, zwana również metodą bezpośrednią,

formułuje tylko warunki dostateczne stabilności zwykłej i
asymptotycznej w obszarze ograniczonym i nieograniczonym. Przy
sformułowaniu tej metody korzysta się z pojęcia funkcji dodatnio i
ujemnie określonej oraz funkcji dodatnio półokreślonej i ujemnie
półokreślonej.

Funkcję V(x) wektora stanu x nazywamy dodatnio (ujemnie)

określoną w obszarze D, zawierającym początek układu
współrzędnych przestrzeni stanu, jeżeli funkcja ta w każdym punkcie
tego obszaru D, różnym od początku układu współrzędnych x



0,

przyjmuje wartość dodatnią (ujemną) i wartość równą zeru tylko w
punkcie x = 0.

Funkcję V(x) wektora stanu x nazywamy dodatnio (ujemnie)

półokreśloną lub nieujemnie (niedodatnio) określoną w obszarze D,
zawierającym początek układu współrzędnych przestrzeni stanu, jeżeli
funkcja ta w dowolnym punkcie tego obszaru D przyjmuje wartość
nieujemną (niedodatnią).

Np. funkcja

2

2

2

1

x

x

V





(jest nieujemnie określoną) – w

przestrzeni trójwymiarowej x

1

, x

2

, x

3

, gdyż funkcja ta przyjmuje

wartość równą zeru dla x

1

= 0, x

2

= 0 i dowolnego x

3

.

Jednoznaczną funkcję V(x) ciągłą wraz z pierwszymi

pochodnymi względem zmiennych stanu x

1

, x

2

, …, x

n

(składowych

wektora stanu x) nazywać będziemy funkcją Lapunowa w
obszarze D, jeżeli:

1)

V(x) jest dodatnio określona w obszarze D, tzn. V(x) > 0 dla
x



0 i V(0) = 0;

2)

pochodna względem czasu t funkcji V(x) jest ujemnie
określona w obszarze D, tzn. V(x) < 0 dla x



0 i V(x) = 0

tylko dla x = 0;

3)

V(x)





dla





n

n

2

2

2

1

2

x

...

x

x

x













.

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Korzystając z pojęcia gradientu funkcji V(x), określonego
zależnością

































n

1

dx

V(x)

x

V(x)

V(x)

grad

(8)

oraz równania (1) można pochodną funkcji V(x) względem czasu t
wyrazić za pomocą wzoru

T

n

n

1

1

dt

dx

dt

dx

x

V(x)

...

dt

dx

x

V(x)

(x)

V































grad V(x) =

[F(x)]

T

grad V(x)

(9)

przy czym T oznacza działanie transpozycji.

Z zależności (9) wynika, że w pochodnej po czasie funkcji

Lapunowa zawarta jest dynamika układu.

Druga metoda Lapunowa

Układ nieliniowy opisany równaniem (1) jest stabilny
asymptotycznie w obszarze D, zawierającym początek układu
współrzędnych, jeżeli można dobrać funkcję Lapunowa V(x),
dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna względem czasu

(x)

V



wzdłuż trajektorii fazowej jest funkcją ujemną określoną w

tym obszarze. Jeżeli pochodna

(x)

V



jest funkcją ujemnie

półokreśloną (niedodatnio określoną) w obszarze D, to układ
nieliniowy jest stabilny w tym obszarze D, ale niekoniecznie
asymptotycznie.

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Poniżej naszkicowano geometryczną ideę dowodu powyższego twierdzenia. Jako

funkcję Lapunowa weźmy funkcję dodatnio określoną postaci







n

1

k

2
k

2
k

x

a

V(x)

(10)

przy czym:

x

1

, x

2

, …, x

n

są zmiennymi stanu (składowymi wektora stanu x), natomiast a

1

, a

2

,

…, a

n

są liczbami rzeczywistymi różnymi

od zera.

Niech funkcja (10) przyjmuje kolejno rosnące wartości, równe 0, C

1

, C

2

, … (0 < C

1

< C

2

<…). Otrzymamy wówczas







n

1

k

2
k

2
k

0

x

a

(

11)

1

n

1

k

2
k

2
k

C

x

a







(

12)

2

n

1

k

2
k

2
k

C

x

a







(

13)

W przestrzeni stanów wyrażeniu (11) odpowiada początek układu współrzędnych

x = 0, a wyrażeniom (12), (13), …,n-wymiarowe hiperelipsoidy, przy czym hiperelipsoida
określana wyrażeniem (13) obejmuje hiperelipsoidę określoną wyrażeniem (12) (rys. 1).

Jeżeli pochodna

(x)

V



jest funkcją ujemnie określoną, to punkt opisujący na

trajektorii przesuwa się w czasie w kierunku malenia funkcji V, czyli w kierunku
początku układu współrzędnych. Oznacza to, że zmienne stanu x

1

,x

2

, …,

x

n

maleją w

czasie do zera, a rozpatrywany układ jest układem stabilnym asymptotycznie.

Jeżeli pochodna

(x)

V



jest funkcją ujemnie półokreśloną to można dobrać taką

hiperelipsoidę, że punkt opisujący dla dowolnej chwili t > 0 będzie się znajdował
wewnątrz tej hiperelipsoidy. Oznacza to, że zmienne stanu x

1

, x

2

, …, x

n

są ograniczone, a

układ rozpatrywany jest układem stabilnym, ale nieasymptotycznie.

Rys. 1. Ilustracja geometryczna idei dowodu

drugiej metody Lapunowa w
przestrzeni trójwymiarowej.

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Wybór funkcji Lapunowa

Jako funkcję Lapunowa V(x) wybiera się najczęściej formę

kwadratową dodatnio określoną lub sumę formy kwadratowej
dodatnio określonej i całki charakterystyki członu nieliniowego.

Bx

x

x

x

b

V(x)

T

n

1

j

i,

j

i

ij









(14)

przy czym B jest macierzą symetryczną (b

ij

= b

ji

) o postaci

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

b

...

b

b

...

...

...

...

b

...

b

b

b

...

b

b

B



(15)

a x wektorem o składowych x

1

, x

2

, …, x

n

.

Forma kwadratowa (14) jest dodatnio określona wtedy i tylko

wtedy, gdy wszystkie podwyznaczniki główne oraz sam wyznacznik
macierzy B są dodatnie czyli

;

b

0

11

1







;

b

b

b

b

0

22

21

12

11

2







…;

0

b

....

b

b

....

....

....

....

b

....

b

b

b

....

b

b

Δ

nn

n2

n1

2n

22

21

1n

12

11

n





(

16)

Weźmy pod uwagę układ autonomiczny liniowy stacjonarny,

opisany równaniem jednorodnym

Ax

x





(17)

przy czym x – n-wymiarowy wektor stanu, A – macierz kwadratowa
n



n o stałych niezależnych od czasu elementach.

Jako funkcję Lapunowa V(x) dla tego układu weźmy formę

kwadratową (14)

V(x) = x

T

Bx

(

18)

Pochodna względem czasu funkcji Lapunowa (18) jest równa











x

B

x

Bx

x

(x)

V

T

T

(

19)

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Po podstawieniu zależności (17) do (19) otrzymujemy

Wx

x

x

BA)

B

(A

x

(x)

V

T

T

T











20

przy czym

-W = A

T

B + BA

21

Macierz W dobieramy tak, aby pochodna względem czasu funkcji

Lapunowa (20) była funkcją ujemnie określoną. Dla danych macierzy A i W
rozwiązując równanie macierzowe (21) wyznaczamy macierz B. Jeżeli elementy
tej macierzy spełniają warunki (16), to funkcja Lapunowa (18) jest dodatnio
określona. Z powyższych rozważań wynika następujący wniosek.

Układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany równaniem

(17), jest stabilny asymptotycznie w punkcie x = 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnej symetrycznej dodatnio macierzy W istnieje
symetryczna dodatnio określona macierz B, będąca jedynym
rozwiązaniem równania (21), a funkcja (18) jest funkcją Lapunowa.

Często jako macierz dodatnio określoną W przyjmuje się macierz jednostkową,
W = I. W tym przypadku równanie (21) przyjmuje postać

A

T

B + BA = -I

(22)

Przykład 1. Jest dany układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany
równaniem



















































2

1

x

x

4

0

7

3

x

x

23

W tym przypadku





















4

0

7

3

A

;















21

12

12

11

b

b

b

b

B

24

a równanie (22) ma postać



















































































1

0

0

1

4

0

7

3

b

b

b

b

b

b

b

b

4

7

0

3

22

12

12

11

22

12

12

11

25

Wykonując wskazane mnożenie macierzy i porównując odpowiednie elementy
macierzy otrzymamy układ trzech równań o postaci

-6 b

11

= -1

-7 b

12

– 7 b

11

= 0

26

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

-14 b

12

– 8 b

22

= -1

Rozwiązując ten układ równań otrzymamy b

11

=

6

1

, b

12

= -

6

1

, b

22

=

12

5

Macierz B ma zatem postać

B =

















5

2

2

2

12

1

27

Warunki (16) dla macierzy (27) mają postać

0

6

1

11

1









b

;

0

24

1

12

5

6

1

6

1

6

1

22

12

12

11

2















b

b

b

b

Funkcja Lapunowa (18)

V(x) = [x

1

x

2

]

)

5x

x

4x

(2x

12

1

x

x

5

2

2

2

12

1

2
2

2

1

2

2

1





































27’

jest więc dodatnio określona, a układ opisany równaniem (23) jest stabilny
asymptotycznie.

Przykład 2. Jako funkcję Lapunowa dla układu nieliniowego, opisanego
równaniem (5), przyjmuje formę kwadratową dodatnio określoną w całej
płaszczyźnie x

1

, x

2

o postaci

V(x) =





2

2

2

1

x

x

2

1



28

Wprowadzając zmienne stanu x

1

= x, x

2

= x, możemy równanie (5) napisać w

postaci

2

1

x

x





29

3

2

2

1

2

bx

ax

x

x











Wobec tego

)

bx

ax

(

)

bx

ax

x

(

x

x

x

x

x

)

x

(

V

x

x

)

x

(

V

)

x

(

V

4

2

2

2

3

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

































30

Pochodna

(x)

V



jest ujemnie określona w całej płaszczyźnie dla

a >0 i b > 0. Układ nieliniowy jest zatem stabilny asymptotycznie globalnie dla
a > 0 i b > 0.

Z zależności (30) wynika, że dla a > 0 i b < 0 pochodna (x)

V



jest ujemnie

określona dla

b

a

x

0

2

2







31

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

W tym przypadku układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie w

obszarze ograniczonym, określonym nierównością

 









j

K

1

Δarg













= n



-(n-2k)



= 2k



Weźmy pod uwagę układ autonomiczny nieliniowy, opisany równaniem

(1), którego punktem równowagi jest punkt x = 0. Jako funkcję Lapunowa dla
tego układu A. Krakowski proponuje formę kwadratową o postaci

V(x) = [F(x)]

T

BF(x)

32

przy czym:

F(x) – wektor n-wymiarowy będący prawą stroną równania (1) o
składowych f

1

(x)

,

f

2

(x), …,f

n

(x);

B – macierz symetryczna dodatnio określona o stałych, niezależnych od
czasu elementach.

Biorąc pod uwagę, że

AF(x)

x

x

F(x)

(x)

F













33

gdzie





















































n

n

1

n

1

1

1

1

x

(x)

f

......

x

(x)

f

.

..........

......

.

..........

n

(x)

f

......

x

(x)

f

x

F(x)

A

34

możemy napisać następujące wyrażenie na pochodną względem czasu funkcji
(31):





(x)

V

[



F

(x)]

T

BF(x) + [F(x)]

T



F

B

(x) =

35

=[F(x)]

T

[A

T

B + BA]F(x) = - [F(x)]

T

WF(x)

przy czym

A

T

B + BA = -W

36

Aby pochodna

(x)

V



była funkcją ujemnie określoną, macierz W musi być

dodatnio określona.

Często jako macierz B przyjmuje się macierz jednostkową I. W tym

przypadku szczególnym po podstawieniu B = I zależności (32) i (36) przyjmują
postać

V(x) = [F(x)]

T

F(x)

37

oraz

A

T

+ A = -W

38

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Weźmy pod uwagę układ nieliniowy z ujemnym sprzężeniem

zwrotnym (rys. 3), który składa się z członu nieliniowego o
charakterystyce u = f(e) oraz z członu liniowego o transmitancji
operatorowej G(s).

Rys. 3.

Schemat blokowy układu nieliniowego z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym.

Niech charakterystyka u = f(e) członu nieliniowego spełnia warunek

2

1

k

e

f(e)

k





,

f(0) = 0

47

przy czym: k

1

i k

2

są dowolnymi nieujemnymi liczbami

rzeczywistymi.

Warunek (47) oznacza, że charakterystyka u = f(e) leży między

prostymi u = k

1

e oraz u = k

2

e, przechodzącymi przez początek układu

współrzędnych (rys. 4). W przypadku szczególnym może być k

1

= 0, a

k

2

=



.

Załóżmy, że część liniowa rozpatrywanego układu nieliniowego

jest członem stabilnym, tzn. że wszystkie bieguny transmitancji
operatorowej G(s), leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej
s.

Rys. 4.

Przykładowy przebieg charakterystyki u = f(e), spełniający
warunek (47).

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład

Dla tej klasy układów nieliniowych w wielu przypadkach jako funkcję
Lapunowa wygodnie jest przyjąć sumę formy kwadratowej dodatnio
określonej L(x) i całki charakterystyki członu nieliniowego f(e), czyli
przyjąć funkcję Lapunowa o postaci

V(x) = L(x) +



ε

0

d

)

(

f





48

Przykład 3.
Jest dany układ nieliniowy z dodatnim sprzężeniem zwrotnym (rys. 2), który
składa się z członu nieliniowego o charakterystyce

3

e

e

2

1

u





39

oraz z członu liniowego o transmitancji

sT

1

k

G(s)





40

przy czym współczynnik k i stała czasowa T są dodatnie.

Należy wyznaczyć wartości początkowe wielkości regulowanej y(t) = y,

dla których układ ten jest stabilny asymptotycznie.

Rys. 2.

Schemat blokowy układu nieliniowego z dodatnim
sprzężeniem zwrotnym.

Człon liniowy jest opisany równaniem

ku

y

y

T







41

Podstawiając zależność (39) do równania (41) po uwzględnieniu, że w

tym przypadku e = y(y

0

(t) = 0), otrzymamy

2

2

2

y

T

k

y

T

k

y









42

Jako funkcję Lapunowa przyjmujemy funkcję o postaci

V(y) =

2

3

y

T

k

y

T

2

2

k

















43

Wobec tego

y(t)

y

0

(t)=0

u

G(s)

e(t)

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. – wykład













































2

2

3

3

2

2

2

2

2

y

T

k

T

k

y

T

k

y

T

k

y

y

)

y

(

V

)

y

(

V

44

Pochodna względem czasu funkcji Lapunowa będzie zatem ujemnie

określona, gdy

0

y

T

k

3

T

2

2

k

2







45

czyli rozpatrywany układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie dla wartości
początkowych wielkości regulowanej y, spełniających warunek (46).

k

k

y

6

2

2





46

Przykład 4.
Korzystając z drugiej metody Lapunowa należy wykazać, że układ nieliniowy
złożony z członu nieliniowego o charakterystyce u = f(e) spełniającej warunek
(47) oraz członu liniowego o transmitancji (40) jest stabilny asymptotycznie w
obszarze nieograniczonym.

Przebieg uchybu regulacji e = e(t) w tym układzie jest opisane równaniem

)

e

(

f

T

k

T

e

e









49

Jako funkcję Lapunowa przyjmujemy funkcję o postaci (48).







e

d

)

(

f

e

)

e

(

V

0

2

2

1





50

Dla charakterystyk u = f(e) spełniający warunek (47) funkcja (50), jest

funkcją dodatnio określoną dla dowolnej wartości uchybu regulacji e oraz
przyjmuje wartość nieskończenie wielką dla e dążącego do nieskończoności.

Pochodna względem czasu funkcji (50) jest równa









x

)

e

(

f

e

e

)

e

(

f

e

e

de

dV

)

e

(

V















































 

)

e

(

ef

T

k

)

e

(

f

T

k

T

e

)

e

(

f

T

k

T

e

1

2

2

51

Z założenia k > 0 i T > 0. Pochodna



)

e

(

V

jest więc funkcją ujemnie określoną

dla każdej charakterystyki u = f(e) spełniającej warunek ef(e)



0, czyli warunek

(47). Rozpatrywany układ nieliniowy jest zatem stabilny asymptotycznie w
przedziale nieograniczonym tzn. dla dowolnych warunków początkowych.

Powyższe rozważania dotyczące drugiej metody Lapunowa można

uogólnić na przypadek układów impulsowych.