PIERWSZA METODA LAPUNOWA

Weźmy pod uwagę układ nieliniowy autonomiczny, opisany wektorowym równaniem różniczkowym o postaci :

(1)

przy czym: x - n wymiarowy wektor stanu; F - funkcja wektorowa nieliniowa, różniczkowalna względem x.

Niech punkt x=0 będzie punktem równowagi tego układu, czyli

Przybliżenie liniowe równania nieliniowego (1) ma postać

(2)

przy czym macierz kwadratowa A jest określona zależnością

(3)

Pierwsza metoda Lapunowa formułuje warunki stabilności lokalnej w punkcie równowagi x = 0 układu nieliniowego, opisanego równaniem (1), w oparciu o przybliżenie liniowe (2).

Układ nieliniowy jest stabilny lokalnie asymptotycznie w punkcie równowagi x=0, jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne asymptotycznie, tzn. gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego

det [sI - A] = sⁿ+a_n-1s^n-1+…+a₁s+a₀ = 0 (4)

leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.

Jeżeli przybliżenie liniowe (2) jest niestabilne, to układ nieliniowy jest niestabilny. Jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nieasymptotyczne, to o zachowaniu układu nieliniowego nic nie można powiedzieć na podstawie przybliżenia liniowego (2).

W przypadku, gdy przybliżenie liniowe (2) jest stabilne asymptotycznie lub niestabilne, część nieliniowa rozwinięcia w szereg Taylora R(x) funkcji F(x) nie ma wpływu na stabilność w punkcie równowagi układu nieliniowego. W przypadku natomiast, gdy przybliżenie liniowe (2) jest stabilne, ale nieasymptotycznie, to o stabilności układu nieliniowego decyduje część nieliniowa rozwinięcia w szereg Taylora R(x).

Przykład 1.

Określić, dla jakich wartości współczynnika a układ nieliniowy opisany równaniem różniczkowym

(5)

jest stabilny lokalnie w punkcie równowagi x = 0,
.

Przybliżenie liniowe równania nieliniowego (5) ma postać

(6)

Z kryterium Hurwitza wynika, że równanie charakterystyczne przybliżenia liniowego

s²+as+1 = 0 (7)

ma oba pierwiastki w lewej płaszczyźnie dla a > 0.

Układ nieliniowy, opisany równaniem (5), jest więc stabilny lokalnie w punkcie równowagi dla a > 0.

DRUGA METODA LAPUNOWA

Druga metoda Lapunowa, zwana również metodą bezpośrednią, formułuje tylko warunki dostateczne stabilności zwykłej i asymptotycznej w obszarze ograniczonym i nieograniczonym. Przy sformułowaniu tej metody korzysta się z pojęcia funkcji dodatnio i ujemnie określonej oraz funkcji dodatnio półokreślonej i ujemnie półokreślonej.

Funkcję V(x) wektora stanu x nazywamy dodatnio (ujemnie) określoną w obszarze D, zawierającym początek układu współrzędnych przestrzeni stanu, jeżeli funkcja ta w każdym punkcie tego obszaru D, różnym od początku układu współrzędnych x ≠ 0, przyjmuje wartość dodatnią (ujemną) i wartość równą zeru tylko w punkcie x = 0.

Funkcję V(x) wektora stanu x nazywamy dodatnio (ujemnie) półokreśloną lub nieujemnie (niedodatnio) określoną w obszarze D, zawierającym początek układu współrzędnych przestrzeni stanu, jeżeli funkcja ta w dowolnym punkcie tego obszaru D przyjmuje wartość nieujemną (niedodatnią).

Np. funkcja
(jest nieujemnie określoną) - w przestrzeni trójwymiarowej x₁, x₂, x₃, gdyż funkcja ta przyjmuje wartość równą zeru dla x₁ = 0, x₂ = 0 i dowolnego x₃.

Jednoznaczną funkcję V(x) ciągłą wraz z pierwszymi pochodnymi względem zmiennych stanu x₁, x₂, …, x_n (składowych wektora stanu x) nazywać będziemy funkcją Lapunowa w obszarze D, jeżeli:

1. V(x) jest dodatnio określona w obszarze D, tzn. V(x) > 0 dla x ≠ 0 i V(0) = 0;

2. pochodna względem czasu t funkcji V(x) jest ujemnie określona w obszarze D, tzn. V(x) < 0 dla x ≠ 0 i V(x) = 0 tylko dla x = 0;

3. V(x)→ ∞ dla
   → ∞.

Korzystając z pojęcia gradientu funkcji V(x), określonego zależnością

(8)

oraz równania (1) można pochodną funkcji V(x) względem czasu t wyrazić za pomocą wzoru

grad V(x) =

[F(x)]^T grad V(x) (9)

przy czym T oznacza działanie transpozycji.

Z zależności (9) wynika, że w pochodnej po czasie funkcji Lapunowa zawarta jest dynamika układu.

Druga metoda Lapunowa Układ nieliniowy opisany równaniem (1) jest stabilny asymptotycznie w obszarze D, zawierającym początek układu współrzędnych, jeżeli można dobrać funkcję Lapunowa V(x), dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna względem czasu wzdłuż trajektorii fazowej jest funkcją ujemną określoną w tym obszarze. Jeżeli pochodna jest funkcją ujemnie półokreśloną (niedodatnio określoną) w obszarze D, to układ nieliniowy jest stabilny w tym obszarze D, ale niekoniecznie asymptotycznie.

Poniżej naszkicowano geometryczną ideę dowodu powyższego twierdzenia. Jako funkcję Lapunowa weźmy funkcję dodatnio określoną postaci

(10)

przy czym:

x₁, x₂, …, x_n są zmiennymi stanu (składowymi wektora stanu x), natomiast a₁, a₂, …, a_n są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera.

Niech funkcja (10) przyjmuje kolejno rosnące wartości, równe 0, C₁, C₂, … (0 < C₁ < C₂ <…). Otrzymamy wówczas

(11)
(12)

(13)

W przestrzeni stanów wyrażeniu (11) odpowiada początek układu współrzędnych x = 0, a wyrażeniom (12), (13), …,n-wymiarowe hiperelipsoidy, przy czym hiperelipsoida określana wyrażeniem (13) obejmuje hiperelipsoidę określoną wyrażeniem (12) (rys. 1).

Jeżeli pochodna
jest funkcją ujemnie określoną, to punkt opisujący na trajektorii przesuwa się w czasie w kierunku malenia funkcji V, czyli w kierunku początku układu współrzędnych. Oznacza to, że zmienne stanu x₁ ,x₂, …, x_n maleją w czasie do zera, a rozpatrywany układ jest układem stabilnym asymptotycznie.

Jeżeli pochodna
jest funkcją ujemnie półokreśloną to można dobrać taką hiperelipsoidę, że punkt opisujący dla dowolnej chwili t > 0 będzie się znajdował wewnątrz tej hiperelipsoidy. Oznacza to, że zmienne stanu x₁, x₂, …, x_n są ograniczone, a układ rozpatrywany jest układem stabilnym, ale nieasymptotycznie.

Wybór funkcji Lapunowa

Jako funkcję Lapunowa V(x) wybiera się najczęściej formę kwadratową dodatnio określoną lub sumę formy kwadratowej dodatnio określonej i całki charakterystyki członu nieliniowego.

(14)

przy czym B jest macierzą symetryczną (b_ij = b_ji) o postaci

(15)

a x wektorem o składowych x₁, x₂, …, x_n.

Forma kwadratowa (14) jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie podwyznaczniki główne oraz sam wyznacznik macierzy B są dodatnie czyli

_…;

₍16)

Weźmy pod uwagę układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany równaniem jednorodnym

(17)

przy czym x - n-wymiarowy wektor stanu, A - macierz kwadratowa n× n o stałych niezależnych od czasu elementach.

Jako funkcję Lapunowa V(x) dla tego układu weźmy formę kwadratową (14)

V(x) = x^TBx (18)

Pochodna względem czasu funkcji Lapunowa (18) jest równa

(19)

Po podstawieniu zależności (17) do (19) otrzymujemy

20

przy czym

-W = A^TB + BA 21

Macierz W dobieramy tak, aby pochodna względem czasu funkcji Lapunowa (20) była funkcją ujemnie określoną. Dla danych macierzy A i W rozwiązując równanie macierzowe (21) wyznaczamy macierz B. Jeżeli elementy tej macierzy spełniają warunki (16), to funkcja Lapunowa (18) jest dodatnio określona. Z powyższych rozważań wynika następujący wniosek.

Układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany równaniem (17), jest stabilny asymptotycznie w punkcie x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej symetrycznej dodatnio macierzy W istnieje symetryczna dodatnio określona macierz B, będąca jedynym rozwiązaniem równania (21), a funkcja (18) jest funkcją Lapunowa.

Często jako macierz dodatnio określoną W przyjmuje się macierz jednostkową, W = I. W tym przypadku równanie (21) przyjmuje postać

A^TB + BA = -I (22)

Przykład 1. Jest dany układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany równaniem

23

W tym przypadku

;
24

a równanie (22) ma postać

25

Wykonując wskazane mnożenie macierzy i porównując odpowiednie elementy macierzy otrzymamy układ trzech równań o postaci

-6 b₁₁= -1

-7 b₁₂ - 7 b₁₁ = 0 26

-14 b₁₂ - 8 b₂₂ = -1

Rozwiązując ten układ równań otrzymamy b₁₁ =
, b₁₂ = -
, b₂₂ =

Macierz B ma zatem postać

B =
27

Warunki (16) dla macierzy (27) mają postać

;

Funkcja Lapunowa (18)

V(x) = [x₁ x₂]

27'

jest więc dodatnio określona, a układ opisany równaniem (23) jest stabilny asymptotycznie.

Przykład 2. Jako funkcję Lapunowa dla układu nieliniowego, opisanego równaniem (5), przyjmuje formę kwadratową dodatnio określoną w całej płaszczyźnie x₁, x₂ o postaci

V(x) =
28

Wprowadzając zmienne stanu x₁ = x, x₂ = x, możemy równanie (5) napisać w postaci

29

Wobec tego

30

Pochodna
jest ujemnie określona w całej płaszczyźnie dla

a >0 i b > 0. Układ nieliniowy jest zatem stabilny asymptotycznie globalnie dla a > 0 i b > 0.

Z zależności (30) wynika, że dla a > 0 i b < 0 pochodna
jest ujemnie określona dla

31

W tym przypadku układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie w obszarze ograniczonym, określonym nierównością

= nπ-(n-2k) π = 2kπ

Weźmy pod uwagę układ autonomiczny nieliniowy, opisany równaniem (1), którego punktem równowagi jest punkt x = 0. Jako funkcję Lapunowa dla tego układu A. Krakowski proponuje formę kwadratową o postaci

V(x) = [F(x)]^TBF(x) 32

przy czym:

F(x) - wektor n-wymiarowy będący prawą stroną równania (1) o składowych f₁(x)_, f₂(x), …,f_n(x);

B - macierz symetryczna dodatnio określona o stałych, niezależnych od czasu elementach.

Biorąc pod uwagę, że

33

gdzie

34

możemy napisać następujące wyrażenie na pochodną względem czasu funkcji (31):

[
(x)]^TBF(x) + [F(x)]^T
(x) = 35

=[F(x)]^T[A^TB + BA]F(x) = - [F(x)]^TWF(x)

przy czym

A^TB + BA = -W 36

Aby pochodna
była funkcją ujemnie określoną, macierz W musi być dodatnio określona.

Często jako macierz B przyjmuje się macierz jednostkową I. W tym przypadku szczególnym po podstawieniu B = I zależności (32) i (36) przyjmują postać

V(x) = [F(x)]^T F(x) 37

oraz

A^T + A = -W 38

Weźmy pod uwagę układ nieliniowy z ujemnym sprzężeniem zwrotnym (rys. 3), który składa się z członu nieliniowego o charakterystyce u = f(e) oraz z członu liniowego o transmitancji operatorowej G(s).

Rys. 3. Schemat blokowy układu nieliniowego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Niech charakterystyka u = f(e) członu nieliniowego spełnia warunek

, f(0) = 0 47

przy czym: k₁ i k₂ są dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi.

Warunek (47) oznacza, że charakterystyka u = f(e) leży między prostymi u = k₁e oraz u = k₂e, przechodzącymi przez początek układu współrzędnych (rys. 4). W przypadku szczególnym może być k₁ = 0, a k₂ = ∞.

Załóżmy, że część liniowa rozpatrywanego układu nieliniowego jest członem stabilnym, tzn. że wszystkie bieguny transmitancji operatorowej G(s), leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Rys. 4. Przykładowy przebieg charakterystyki u = f(e), spełniający warunek (47).

Dla tej klasy układów nieliniowych w wielu przypadkach jako funkcję Lapunowa wygodnie jest przyjąć sumę formy kwadratowej dodatnio określonej L(x) i całki charakterystyki członu nieliniowego f(e), czyli przyjąć funkcję Lapunowa o postaci

V(x) = L(x) +
48

Przykład 3.

Jest dany układ nieliniowy z dodatnim sprzężeniem zwrotnym (rys. 2), który składa się z członu nieliniowego o charakterystyce

39

oraz z członu liniowego o transmitancji

40

przy czym współczynnik k i stała czasowa T są dodatnie.

Należy wyznaczyć wartości początkowe wielkości regulowanej y(t) = y, dla których układ ten jest stabilny asymptotycznie.

Rys. 2. Schemat blokowy układu nieliniowego z dodatnim sprzężeniem zwrotnym.

Człon liniowy jest opisany równaniem

41

Podstawiając zależność (39) do równania (41) po uwzględnieniu, że w tym przypadku e = y(y₀(t) = 0), otrzymamy

42

Jako funkcję Lapunowa przyjmujemy funkcję o postaci

V(y) =
43

Wobec tego

44

Pochodna względem czasu funkcji Lapunowa będzie zatem ujemnie określona, gdy

45

czyli rozpatrywany układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie dla wartości początkowych wielkości regulowanej y, spełniających warunek (46).

46

Przykład 4.

Korzystając z drugiej metody Lapunowa należy wykazać, że układ nieliniowy złożony z członu nieliniowego o charakterystyce u = f(e) spełniającej warunek (47) oraz członu liniowego o transmitancji (40) jest stabilny asymptotycznie w obszarze nieograniczonym.

Przebieg uchybu regulacji e = e(t) w tym układzie jest opisane równaniem

49

Jako funkcję Lapunowa przyjmujemy funkcję o postaci (48).

50

Dla charakterystyk u = f(e) spełniający warunek (47) funkcja (50), jest funkcją dodatnio określoną dla dowolnej wartości uchybu regulacji e oraz przyjmuje wartość nieskończenie wielką dla e dążącego do nieskończoności.

Pochodna względem czasu funkcji (50) jest równa

51

Z założenia k > 0 i T > 0. Pochodna
jest więc funkcją ujemnie określoną dla każdej charakterystyki u = f(e) spełniającej warunek ef(e) ≥ 0, czyli warunek (47). Rozpatrywany układ nieliniowy jest zatem stabilny asymptotycznie w przedziale nieograniczonym tzn. dla dowolnych warunków początkowych.

Powyższe rozważania dotyczące drugiej metody Lapunowa można uogólnić na przypadek układów impulsowych.

E. Żak

Teoria sterowania, P. A. - wykład

y(t)

y₀(t)=0

u

G(s)

e(t)

Rys. 1. Ilustracja geometryczna idei dowodu drugiej metody Lapunowa w przestrzeni trójwymiarowej.

---