Biostatystyka,
# 2
/Biologia II-III/
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie
Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki
ul. Akademicka 15, p.211A bud. Agro II,
e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
materiały: http://kzmi.up.lublin.pl/˜zotachel/Biol2i3
Lublin, 2014
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Elementy rachunku prawdopodobieństwa
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Wprowadzenie
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk
przypadkowych. W praktyce każdy proces czy doświadczenie jest
losowe, bo zależy od wielu przyczyn, z których tylko część udaje się
kontrolować. Dwa doświadczenia uznamy za identyczne, jeśli mają
te same zbiory kontrolowanych przyczyn. Wyniki doświadczeń
nazywamy zdarzeniami. Zjawiska polegające na przeprowadzaniu
lub przebieganiu dużej liczby tych samych doświadczeń nazywamy
zjawiskami masowymi. Takie zjawisko nie zależy od indywidualnych
własności obiektu. Zjawiska masowe mają swoje prawidłowości.
Jeżeli przeprowadzamy N razy to samo doświadczenie i n razy
zaszło zdarzenie A, to stosunek n/N nazywamy częstością
zdarzenia A w tym doświadczeniu. W zjawiskach masowych
częstości zdarzeń mają własność skupiania się (wraz ze wzrostem
N) wokół tej samej liczby zależnej od zdarzenia. Dla ustalonego
zdarzenia A oznaczymy ją przez P(A) i nazwiemy
prawdopodobieństwem tego zdarzenia. Jest to treść tzw.
statystycznej definicji prawdopodobieństwa
dr n. mat. Zdzisław Otachel
W tabeli podane są częstości otrzymania orła w przeprowadzonej
jeden raz serii 10000 rzutów monetą.
Liczba rzutów N
Liczba n pojawień się orła
Częstość n/N
200
116
0,5800
300
153
0,5100
500
251
0,5020
1000
504
0,5040
2000
1002
0,5010
5000
2529
0,5058
10000
4982
0,4982
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Widać, że n/N → 1/2, gdy N rośnie.
Na początku XVIII w. Bernoulli udowodnił, że przy dużej liczbie
doświadczeń, z praktyczną pewnością, częstość względna zdarzenia
n/N różni się mało od prawdopodobieństwa tego zdarzenia.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Pojęcia podstawowe
Doświadczenie losowe – proces przyrodniczy lub zaplanowany
eksperyment, którego wyniku nie można przewidzieć, natomiast
znany jest zbiór wszystkich wyników.
Przykład 1
Doświadczeniem losowym jest wylosowanie obiektu z ustalonej
populacji i dokonanie pomiaru interesujących nas cech.
W praktyce, wynikami eksperymentów losowych będą liczby, pary
liczb, trójki liczb rzeczywistych itd.
Zdarzenie elementarne – pojedyńczy wynik eksperymentu losowego.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń
elementarnych.
Zdarzenie losowe (w skrócie: zdarzenie) – zbiór złożony ze zdarzeń
elementarnych, najczęściej opisany przez spełnienie pewnych
warunków.
Uwaga: nie każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych musi
być zdarzeniem losowym.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Oznaczenia i nomenklatura
D – doświadczenie losowe (eksperyment);
Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych;
ω - zdarzenie elementarne;
Ω = {ω
1
, ω
2
. . . , ω
n
} – przestrzeń zdarzeń elementarnych
składająca się z n możliwych wyników : ω
1
, ω
2
. . . , ω
n
;
A, B, C , . . . - zdarzenia losowe;
zapis ω ∈ A (mat.: ω jest elementem zbioru A) czytamy:
zdarzenie elementarne ω sprzyja zdarzeniu A, tzn. jeżeli w
wyniku eksperymentu losowego dostaniemy wynik ω, to
powiemy zaszło zdarzenie A.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Klasa zdarzeń losowych
Klasę zdarzeń losowych oznaczymy przez S.
Ω ∈ S, zdarzenie pewne, zachodzi zawsze;
∅ ∈ S, zdarzenie niemożliwe, nigdy nie zachodzi;
jeżeli A
i
∈ S, to C = A
1
∪ A
2
∪ · · · ∈ S, zdarzenie C
nazywamy sumą (alternatywą) zdarzeń A
i
, C zachodzi, gdy
zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A
i
;
jeżeli A
i
∈ S, to D = A ∩ A
2
∩ · · · ∈ S, zdarzenie D
nazywamy iloczynem (koniunkcją) zdarzeń A
i
, D zachodzi,
gdy zachodzi każde ze zdarzenie A
i
;
jeżeli A ∈ S, to A
0
:= Ω \ A ∈ S, zdarzenie A
0
nazywamy
zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, A
0
zachodzi, gdy nie
zachodzi zdarzenie A;
w szczególności: jeżeli A, B ∈ S, to E = A \ B ∈ S, zdarzenie
E nazywamy różnicą zdarzeń A i B, E zachodzi, gdy zachodzi
zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B.
Klasę S nazywamy σ-ciałem zdarzeń.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Definicja 1 (Pierre Simon de Laplace, 1812)
Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym,
złożonym z N zdarzeń elementarnych, to
P(A) =
n
N
,
n jest ilością zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Przykład 2
1. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przy jednokrotnym rzucie
monetą: 1/2;
2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej 3 oczek przy
jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry: 4/6;
3. Prawdopodobieństwo wylosowania figury z talii 52 kart do gry:
16/52.
4. Prawdopodobieństwo głównej wygranej w ”totka”:
1/(
49
6
) = 1/13983836.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa
Definicja 2
Niech A ⊂ Ω ⊂ R
p
. Prawdopodobieństwo tego, że dowolny punkt
należący do Ω będzie należał również do A wynosi:
m
p
(A)
m
p
(Ω)
,
gdzie m
p
jest miarą na przestrzeni R
p
, w szczególności m
1
jest
długością, m
2
- polem, a m
3
- objętością.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Przykład 3
Na ulicy znajdują się 2 bankomaty. Każdy z nich wymaga obsługi
(jest niefunkcjonalny) przez 30min na dobę. Moment rozpoczęcia
obsługi jest losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urządzenia
będą niefunkcjonalne w tej samej chwili (- konflikt)?
x - moment rozpoczęcia obsługi 1-go bankomatu,
y - moment rozpoczęcia obsługi 2-go bankomatu,
Ω = {0 ¬ x , y ¬ 24}, m
2
(Ω) = 24
2
,
A - konflikt, A = {(x , y ) : 0 ¬ x , y ¬ 24, |x − y | ¬ 0, 5},
m
2
(A) = 24
2
− 23, 5
2
.
Stąd
m
2
(A)
m
2
(Ω)
= 1 −
47
48
2
≈ 4, 12%.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Definicja 3 (Andrej Nikołajewicz Kołmogorow, 1933)
Niech będzie dana przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω i σ-ciało
zdarzeń losowych S. Prawdopodobieństwem (miarą/rozkładem
prawdopodobieństwa) nazywamy rzeczywistą funkcję P określona
na klasie zdarzeń S spełniającą aksjomaty:
Aksjomat I
0 ¬ P(A), A ∈ S
Aksjomat II
P(Ω) = 1,
Aksjomat III
P(A
1
∪ A
2
∪ . . . ) = P(A
1
) + P(A
2
) + . . . dla
dowolnych zdarzeń A
i
wykluczających się parami, tj.
A
i
∈ S, A
i
∩ A
j
= ∅, i 6= j .
Trójkę (Ω, S, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Definicja aksjomatyczna określa jak zbudować matematyczny
model prawdopodobieństwa dla zdarzeń w rozpatrywanym
doświadczeniu, analiza statystyczna - który z dopuszczalnych
modeli wybrać.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Własności prawdopodobieństwa
Niech (Ω, S, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i A, B, C ∈ S.
0 ¬ P(A) ¬ 1;
P(∅) = 0,
P(A
0
) = 1 − P(A);
Jeżeli A pociąga B (A ⊂ B), to P(A) ¬ P(B) oraz
P(B \ A) = P(B) − P(A);
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(B ∩
C ) − P(A ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ B ∩ C ).
Zauważmy, że jeżeli utożsamimy przestrzeń zdarzeń elementarnych
Ω z figurą na płaszczyźnie o polu 1, to prawdopodobieństwo ma
analogiczne własności jak pole figur będących częścią tej
przestrzeni.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Informacja a prawdopodobieństwo
Informacja o zajściu zdarzenia B ma wpływ na wartość obliczanego
prawdopodobieństwa zdarzenia A.
Przykład 4
D polega na jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.
Zdarzenie A to parzysta liczba oczek, P(A) = 1/2 wg. klasycznej
definicji .
Przypuśćmy, że eksperymentator wykonał doświadczenie D w
zamkniętym pokoju, po czym przekazał nam informację B –
wypadło więcej niż 3 oczka.
Jest to nowy eksperymet losowy. Oznaczymy go D
|B
zajście
zdarzenia A w tym eksperymencie oznaczymy A/B. Zdarzeniu A/B
sprzyja 2 spośród 3 możliwych wyników, stąd P(A/B) = 2/3.
Z drugiej strony: P(B) = 1/2, P(A ∩ B) = 2/6, stąd
P(A/B) = 2/3 =
2/6
1/2
=
P(A∩B)
P(B)
.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Prawdopodobieństwo warunkowe
Definicja 4
Niech (Ω, S, P) będzie przestrzenią probabilistyczną związaną z
eksperymentem D, B ∈ S, P(B) > 0. Prawdopodobieństwo
zdarzeń w eksperymencie D
|B
, zwane prawdopodobieństwem
warunkowym, określa wzór:
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
, A ∈ S.
Zdarzenie B będzie nazywane warunkiem.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Zdarzenia niezależne
Jeżeli zajście jakiegoś zdarzenia nie zmienia prawdopodobieństwa
zajścia innego, to o takich zdarzeniach mówi się, że są to zdarzenia
niezależne. Zdarzenia A i B z poprzedniego przykładu takie nie są.
Bardziej ściśle:
Definicja 5
Zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Jeżeli A i B są niezależne, to przy założeniu P(A) 6= 0 i P(B) 6= 0
otrzymujemy:
P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B).
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Prawdopodobieństwo całkowite - przykład
Przykład 5
O pewnej populacji złożonej z dwóch różnych rodzajów obiektów
(A) i (B) w proporcji k/m wiadomo, że własność W wykazuje p%
obiektów A i q% obiektów B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wybierając losowo obiekt z tej populacji trafimy na taki z
własnością W ?
P(W ) =
p
100
·
k
k + m
+
q
100
·
m
k + m
= P(W /A)·P(A)+P(W /B)·P(B).
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite
Bardziej ogólnie:
Niech H
1
, H
2
, . . . , H
n
będzie układem zdarzeń wykluczających się
parami, których suma jest zdarzeniem pewnym tj.:
H
i
∩ H
j
= ∅, i 6= j ,
H
1
∪ H
2
∪ · · · ∪ H
n
= Ω.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia A:
P(A) = P(A/H
1
) · P(H
1
) + · · · + P(A/H
n
) · P(H
n
).
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Wzór Bayesa
Załóżmy, że zdarzenie A może zaistnieć wtedy i tylko wtedy, gdy
zaistnieje jedno z jedynie możliwych i wzajemnie wykluczających
się zdarzeń H
1
, H
2
, . . . , H
n
tj.:
H
i
∩ H
j
= ∅, i 6= j ,
H
1
∪ H
2
∪ · · · ∪ H
n
= Ω.
Nazwijmy zdarzenie A skutkiem, a zdarzenia H
1
, H
2
, . . . , H
n
przyczynami. W wyniku zaistnienia jednej z przyczyn
zaobserwowaliśmy zajście skutku A. Znając a priori
prawdopodobieństwa zaistnienia przyczyn - P(H
i
) i
prawdopodobieństwa zaistnienia skutku A w wyniku działania
przyczyny H
i
- P(A/H
i
) chcemy znać odpowiedź na pytanie: jakie
jest prawdopodobieństwo, że to przyczyna H
i
doprowadziła do
skutku A. Odpowiedź daje wzór Bayesa:
P(H
i
/A) =
P(A/H
i
) · P(H
i
)
P(A/H
1
) · P(H
1
) + · · · + P(A/H
n
) · P(H
n
)
.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Schemat Bernoulliego
Mówimy, że ciąg (seria) niezależnych doświadczeń jest schematem
Bernoulliego, jeżeli:
każde doświadczenie (zwane próbą) może zakończyć się
jednym z wyników: zdarzeniem A – zwanym sukcesem, lub
zdarzeniem przeciwnym A
0
– porażką,
prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu
jest stałe i równe p.
Wtedy prawdopodobieństwo, że schemacie n prób Bernoulliego
sukces pojawi się dokładnie k razy, określa wzór:
P
n,k
= (
n
k
)p
k
(1 − p)
n−k
, k = 0, 1, 2, . . . , n,
gdzie: (
n
k
) =
n!
k!(n−k)!
jest symbolem Newtona, a n! = 1 · 2 · · · · · n
(n!: czytamy n silnia) przy czym 0! = 1.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Przykład schematu Bernoulliego
Przykład 6
Klasycznym przykładem schematu Bernoulliego jest seria rzutów
monetą. Np. prawdopodobieństwo, że w serii n = 8 rzutów monetą
orzeł pojawi się k = 4 jest równe:
8
4
1
2
4
1
2
4
=
8 · 7 · 6 · 5
1 · 2 · 3 · 4
·
1
16
·
1
16
=
70
256
≈ 0, 273.
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Kopia Wykład 6 folie (word 97-2003), Studia - Gospodarka Przestrzenna UEP, I stopień, III semestr, F
Kopia Wyklad 2 09 03 2012 dla studenta
Kopia Wyklad 2 , Biomedyczne p Nieznany
Kopia Wykład ?rmacja (2 XI 2010 r )
Sieci logistyczne 09.04.2011 kopia wykład 1, studia, sieci logistyczne
Kopia 6 Wykład Infrastruktura pr log
samokształcenie - Podstawy pielęgniarstwa stacj. 30h rekrutacja 2009 10 - Kopia, wykłady
samokształcenie - Podstawy pielęgniarstwa stacj. 30h rekrutacja 20010 11 - Kopia, wykłady
Kopia wyklad 6 7
Kopia wyklady
Kopia Wykład 8
Kopia Wykład 6 folie (word 97-2003), Studia - Gospodarka Przestrzenna UEP, I stopień, III semestr, F
Kopia Wyklad 3 Zalozenia spoleczno regulacyjnej teorii kultury
Kopia Wyklad I Zadania dane
Kopia Wyklad VI Hedging with Contracts
więcej podobnych podstron