Postać algebraiczna liczby zespolonej: z = a + bi, a, b ∈ R,
część rzeczywista: Re z = a,
część urojona: Im z = b,
liczba sprzężona: z = a − bi,
moduł:
|z| =
q
a
2
+ b
2
,
argument: ϕ takie, że
cos ϕ =
a
r
,
sin ϕ =
b
r
,
gdzie r = |z|.
1
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Dla r = |z| mamy a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, więc
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie r, ϕ ∈ R, r > 0.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycz-
nej:
r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ) = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
r(cos ϕ + i sin ϕ)
s(cos ψ + i sin ψ)
=
r
s
(cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ))
2
Wzór de Moivre’a
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
= (cos nϕ + i sin nϕ)
Przykład:
(1 + i)
100
=
√
2(cos
π
4
+ i sin
π
4
)
100
=
= 2
50
(cos 25π + i sin 25π) = −2
50
.
3
Pierwiastek liczby zespolonej
Pierwiastkiem stopnia n liczby z ∈ C nazywamy liczbę w ∈ C taką,
że w
n
= z.
Przykłady.
1) Liczba i jest pierwiastkiem kwadratowym (tzn. stopnia 2)
liczby
−1, liczba −i też!
2) Liczby 2,
−2, 2i i −2i są pierwiastkami stopnia 4 liczby 16.
3) Liczba 1 + i jest pierwiastkiem stopnia 100 liczby −2
50
.
4
Liczba zespolona z 6= 0 ma dokładnie n pierwiastków stopnia n.
Jeśli
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie r, ϕ ∈ R, r > 0, to wszystkie pierwiastki stopnia n liczby z
są postaci
w
k
=
n
√
r
cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
,
gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1.
Na płaszczyźnie Gaussa pierwiastki stopnia n danej liczby zespo-
lonej są wierzchołkami n-kąta foremnego o środku 0.
5
Przykład. Pierwiastkami stopnia 4 liczby
−
√
3 + 3i = 2
√
3(cos
2π
3
+ i sin
2π
3
)
są liczby
4
q
2
√
3
cos
2π
3
+ 2kπ
4
+ i sin
2π
3
+ 2kπ
4
=
=
4
√
2
8
√
3
cos(
π
6
+
kπ
2
) + i sin(
π
6
+
kπ
2
)
dla k = 0, 1, 2, 3.
6
Zasadnicze twierdzenie algebry. Wielomian stopnia n > 0 o
współczynnikach zespolonych posiada (z uwzględnieniem krot-
ności) dokładnie n pierwiastków.
Zatem dla dowolnego wielomianu o współczynnikach zespolo-
nych
W (T ) = a
n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ . . . + a
1
z + a
0
istnieją liczby zespolone z
1
, z
2
, . . . , z
n
(niekoniecznie różne) takie,
że
W (T ) = a
n
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z
n
).
Wniosek. Wielomian stopnia n > 0 o współczynnikach rzeczy-
wistych można rozłożyć na czynniki stopnia 1 i 2.
7
Macierze i wyznaczniki
8
Macierz o wymiarach m × n.
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
Mat
m×n
(R) – zbiór macierzy m × n o współczynnikach rzeczywi-
stych. Analogicznie określamy Mat
m×n
(C), Mat
m×n
(Q) itp.
9
Wiersze macierzy A:
h
a
11
a
12
. . .
a
1n
i
,
h
a
21
a
22
. . .
a
2n
i
,
...
h
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
i
.
Kolumny macierzy A:
a
11
a
21
...
a
m1
,
a
12
a
22
...
a
m2
, . . . ,
a
1n
a
2n
...
a
mn
.
10
Działania na macierzach
Dodawanie.
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
+
b
11
b
12
. . .
b
1n
b
21
b
22
. . .
b
2n
...
...
...
b
m1
b
m2
. . .
b
mn
=
=
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
. . .
a
1n
+ b
1n
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
. . .
a
2n
+ b
2n
...
...
...
a
m1
+ b
m1
a
m2
+ b
m2
. . .
a
mn
+ b
mn
.
11
Krócej:
h
a
ij
i
m×n
+
h
b
ij
i
m×n
=
h
a
ij
+ b
ij
i
m×n
.
Przykład:
"
1 2
1
3 4
−4
#
+
"
3
2
1
4
−3 3
#
=
"
4 4
2
7 1
−1
#
.
Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach m × n, suma
jest też macierzą m × n.
12
Własności dodawania macierzy.
Dla dowolnych macierzy m × n zachodzą równości
A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C),
A + 0
m×n
= A
A + (−A) = 0
m×n
13
Macierz zerowa:
0
m×n
=
0 0 . . .
0
0 0 . . .
0
... ...
...
0 0 . . .
0
Macierzą przeciwną do macierzy A =
h
a
ij
i
m×n
jest macierz
−A =
−a
11
−a
12
. . .
−a
1n
−a
21
−a
22
. . .
−a
2n
...
...
...
−a
m1
−a
m2
. . .
−a
mn
.
14
Mnożenie macierzy przez liczbę.
c ·
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
=
ca
11
ca
12
. . .
ca
1n
ca
21
ca
22
. . .
ca
2n
...
...
...
ca
m1
ca
m2
. . .
ca
mn
Mnożąc dowolną macierz przez liczbę otrzymujemy macierz o
tych samych wymiarach.
15
Własności mnożenia macierzy przez liczbę.
Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m × n i dowolnych
liczb α, β zachodzą równości
α(A + B) = αA + αB,
(α + β)A = αA + βA,
(αβ)A = α(βA),
1
· A = A, (−1) · A = −A,
0
· A = 0
m×n
, α · 0
m×n
= 0
m×n
.
16
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
09 Liczby zespolone
F 13 Liczby zespolone
liczby zespolone 6 id 267992 Nieznany
1 Liczby Zespolone
liczby zespolone 2
Liczby zespolone
07 Liczby zespoloneid 6724
6 Liczby zespolone Funkcja dwóch i wielu zmiennych
liczby zespolone
LICZBY ZESPOLONE I ALGEBRA LINIOWA M GRZESIAK
liczby zespolone na płaszczyźnie2
LICZBY ZESPOLONE(1)
1 Liczby zespolone
postać wykładnicza liczby zespolonej
Liczby zespolone zad
więcej podobnych podstron