Liczby zespolone

1

Definicja: C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}.

Liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci

z = a + bi,

gdzie a, b ∈ R.

Na płaszczyźnie Gaussa liczbie z odpowiada punkt o współrzęd-

nych (a, b).

2

Działania na liczbach zespolonych wykonujemy jak na wyraże-

niach algebraicznych, pamiętając o tym, że

i

2

=

−1.

Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Mnożenie:

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi

2

= (ac − bd) + (ad + bc)i.

3

Własności działań na liczbach zespolonych

1.

∀

z

1

,z

2

,z

3

∈C

(z

1

+ z

2

) + z

3

= z

1

+ (z

2

+ z

3

)

2.

∀

z

1

,z

2

∈C

z

1

+ z

2

= z

2

+ z

1

3.

∃

0

∈C

∀

z∈C

z + 0 = z, zero: 0 = 0 + 0 · i

4.

∀

z∈C

∃

w∈C

z + w = 0, oznaczenie: w = −z,

z = a + bi ⇒ −z = (−a) + (−b)i

4

5.

∀

z

1

,z

2

,z

3

∈C

(z

1

· z

2

)

· z

3

= z

1

· (z

2

· z

3

)

6.

∀

z

1

,z

2

∈C

z

1

· z

2

= z

2

· z

1

7.

∃

1

∈C

∀

z∈C

z · 1 = z, jedynka: 1 = 1 + 0 · i

8.

∀

z∈C\{0}

∃

w∈C

z · w = 1, oznaczenie: w = z

−1

,

z = a + bi ⇒ z

−1

=

a

a

2

+ b

2

+

−b

a

2

+ b

2

· i

9.

∀

z

1

,z

2

,z

3

∈C

(z

1

+ z

2

)

· z

3

= z

1

· z

3

+ z

2

· z

3

5

Odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych

Odejmowanie: z

1

− z

2

= z

1

+ (

−z

2

),

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

Dzielenie:

z

1

z

2

= z

1

· z

−1

2

,

a + bi

c + di

=

(a + bi)(c − di)

(c + di)(c − di)

=

(a + bi)(c − di)

c

2

+ d

2

.

Mamy:

1

z

= z

−1

.

Przykład:

1 + 2i

2

− 3i

=

(1 + 2i)(2 + 3i)

(2

− 3i)(2 + 3i)

=

2 + 3i + 4i + 6i

2

2

2

+ 3

2

=

=

−4 + 7i

13

=

−

4

13

+

7

13

· i.

6

Potęgowanie liczb zespolonych

Dla liczby zespolonej z i liczby naturalnej n > 0 przyjmujemy:

z

n

= z · z · . . . · z

|

{z

}

n

.

Ponadto, jeśli z 6= 0, to przyjmujemy z

0

= 1 oraz

z

−n

= (z

−1

)

n

= z

−1

· z

−1

· . . . · z

−1

|

{z

}

n

.

Zauważmy, że (z

−1

)

n

= (z

n

)

−1

.

Dla liczb całkowitych m, n zachodzą wzory:

z

m+n

= z

m

z

n

, z

m−n

=

z

m

z

n

, z

mn

= (z

m

)

n

.

7

Postać algebraiczna liczby zespolonej: z = a + bi, a, b ∈ R,

część rzeczywista: Re z = a,

część urojona: Im z = b,

liczba sprzężona:

z = a − bi.

Przykład. Dla z = 2 −

√

3i mamy:

Re z = 2, Im z = −

√

3, z = 2 +

√

3i.

8

Własności sprzężenia liczby zespolonej

1.

z

1

+ z

2

= z

1

+ z

2

2. z

1

− z

2

= z

1

− z

2

3.

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

4.

z

1

z

2

!

=

z

1

z

2

5. (z) = z

6. z = z ⇔ z ∈ R

9

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja. Modułem liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R)
nazywamy liczbę rzeczywistą

|z| =

q

a

2

+ b

2

.

Przykład:

|3 + 4i| =

q

3

2

+ 4

2

=

√

25 = 5.

Na płaszczyźnie Gaussa moduł liczby z jest równy jej odległości

od liczby 0. Odległość liczb z

1

i z

2

jest równa

|z

1

− z

2

|.

10

Własności modułu:

1.

| − z| = |z|, |z| = |z|

2. z · z = (a + bi)(a − bi) = a

2

+ b

2

=

|z|

2

3.

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|

4.





z

1

z

2





=

|z

1

|

|z

2

|

5.

|z

1

+ z

2

| 6 |z

1

| + |z

2

|

11

Definicja. Argumentem liczby zespolonej z = a + bi 6= 0 (gdzie

a, b ∈ R) nazywamy liczbę rzeczywistą ϕ spełniającą warunki















cos ϕ =

a

r

,

sin ϕ =

b

r

,

gdzie r = |z| =

q

a

2

+ b

2

.

Argument liczby zespolonej jest określony z dokładnością do wie-

lokrotności 2π, tzn. jeśli ϕ jest argumentem liczby z, to ϕ + 2kπ

(dla k ∈ Z) też jest argumentem liczby z.

Jako argument liczby 0 możemy przyjąć dowolną liczbę rzeczy-

wistą ϕ.

12

Na płaszczyźnie Gaussa argument liczby z to miara kąta zorien-

towanego, jaki tworzy dodatnia półoś rzeczywista z półprostą o

początku 0, przechodzącą przez z.

Liczba z ma jednoznacznie określony argument z przedziału [0, 2π).

Argument ten nazywamy argumentem głównym.

Oznaczenie argumentu (głównego): ϕ = arg z.

Uwaga. Czasami wygodniej jest wybrać argument z przedziału

(

−π, π].

13

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Dla r = |z| mamy a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, więc

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

gdzie r, ϕ ∈ R, r > 0.

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycz-

nej:

r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ) = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))

r(cos ϕ + i sin ϕ)

s(cos ψ + i sin ψ)

=

r

s

(cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ))

14

Wzór de Moivre’a

(cos ϕ + i sin ϕ)

n

= (cos nϕ + i sin nϕ)

15