Podstawy Teleinformatyki
Lista 7
Widma amplitudowe, fazowe i energetyczne
1
Widmo amplitudowe i fazowe
Niech F (ω) = F [f (t)] będzie transformatą Fouriera funkcji f . Transformata Fouriera jest funkcją w
ciągłej dziedzinie częstości kołowej ω. W ogólności jest to funkcja zespolona (F (ω) = a(ω) + ib(ω),
gdzie a(ω), b(ω) są funkcjami rzeczywistymi), którą można przedstawić w postaci wykładniczej:
F (ω) = |F (ω)|e
iΘ(ω)
,
|F (ω)| =
q
a
2
(ω) + b
2
(ω),
Θ(ω) = arc tg
b(ω)
a(ω)
(1)
Dla szeregu Fouriera mieliśmy do czynienia z charakterystyką amplitudowo-fazową. W przypadku
transformaty Fouriera mówimy o widmie amplitudowo-fazowym. W przeciwieństwie do charaktery-
styk, które były funkcjami dyskretnymi nω
0
, widma są funkcjami rzeczywistymi częstości kołowej
ω.
Definicja 1 Funkcję |F (w)| nazywamy widmem amplitudowym.
Definicja 2 Funkcję Θ(ω) nazywamy widmem fazowym.
Podobnie jak w przypadku charakterystyk, można udowodnić twierdzenia:
Twierdzenie 1 Widmo amplitudowe |F (ω)| funkcji rzeczywistej f (t) jest zawsze funkcją parzystą.
Twierdzenie 2 Widmo fazowe Θ(ω) funkcji rzeczywistej f (t) jest zawsze funkcją nieparzystą.
Twierdzenia 1 i 2 nie są prawdziwe dla funkcji zespolonych f (t).
1.1
Przykład
Dana jest transformata F (ω) =
1
1+iω
. Należy wyznaczyć i narysować widmo amplitudowo-fazowe.
Zaczniemy od wyznaczenia postaci wykładniczej transformaty:
F (ω) =
1
1 + iω
=
1
1 + ω
2
− i
ω
1 + ω
2
|F (ω)| =
s
1
1 + ω
2
2
+
−
ω
1 + ω
2
2
=
s
1
1 + ω
2
1
Θ(ω) = arc tg
−
ω
1+ω
2
1
1+ω
2
!
= arc tg (−ω)
Czyli ostatecznie:
F (ω) =
s
1
1 + ω
2
e
i arc tg(−ω)
Rysunek 1: Widmo amplitudowe i fazowe dla funkcji z przykładu
Z reguły, jeżeli funkcja F (ω) jest rzeczywista, szkicuje się bezpośrednio funkcję F (ω). Jeżeli jest
zespolona szkicuje się widmo amplitudowe i fazowe.
Zadanie 1.1 Dla podanych funkcji wyznacz i naszkicuj widma amplitudowo-fazowe:
a. f (t) = G
1
(t), F (ω) = 2Sa(ω) (szkicujemy bezpośrednio funkcję F (ω))
b. f (t) = Sa(t), F (ω) = πG
1
(ω) (szkicujemy bezpośrednio funkcję F (ω))
c. f (t) = G
1
(t)e
2it
(korzystając z pkt. a)
d. f (t) = G
1
(2t)
e. f (t) = ε(t), F (ω) = πδ(ω) +
1
iω
f. f (t) = cos(t), F (ω) = π(δ(ω + 1) + δ(ω − 1))
g. f (t) = sin(t), F (ω) = iπ(δ(ω + 1) − δ(ω − 1))
h. f (t) = cos(t −
π
2
)
2
2
Widmo energii
Energia niesiona przez sygnał w pewnym przedziale czasu [t
1
, t
2
] może zostać wyrażona jako:
E =
Z
t
2
t
1
f
2
(t) dt
(2)
W związku z tym całkowitą energię pewnego sygnału (o ile jest skończona) f (t) można obliczyć jako:
E =
Z
∞
−∞
f
2
(t) dt
(3)
Można wykazać, że:
E =
Z
∞
−∞
f
2
(t) dt =
1
2π
Z
∞
−∞
|F (ω)|
2
dω
(4)
gdzie |F (ω)| jest widmem amplitudowym. Pozwala to obliczyć energię zawartą w pewnym paśmie
częstotliwości [ω
1
, ω
2
] jako:
E =
1
2π
Z
−ω
1
−ω
2
|F (ω)|
2
dω +
1
2π
Z
ω
2
ω
1
|F (ω)|
2
dω =
1
π
Z
ω
2
ω
1
|F (ω)|
2
dω
(5)
Umożliwia to analizę, jaka część energii sygnału jest zawarta w określonym paśmie częstotliwości.
Zadanie 2.1 Oblicz jaka energia jest zawarta w zakresie częstotliwości [0, π] dla sygnału postaci:
f (t) = e
−t
ε(t)
Jaki jest to procent całkowitej energii sygnału?
Zadanie 2.2 Oblicz jaka całkowita energia jest zawarta w sygnale:
f (t) =
sin(t)
t
Jaka część tej energii znajduje się w zakresie częstotliwości [0, 1]?
Zadanie 2.3 Oblicz jaka całkowita energia jest zawarta w sygnale:
f (t) = e
−|t|
Jaka część tej energii znajduje się w zakresie częstotliwości [0, π]?
3