Podstawy Teleinformatyki

Lista 7

Widma amplitudowe, fazowe i energetyczne

1

Widmo amplitudowe i fazowe

Niech F (ω) = F [f (t)] będzie transformatą Fouriera funkcji f . Transformata Fouriera jest funkcją w
ciągłej dziedzinie częstości kołowej ω. W ogólności jest to funkcja zespolona (F (ω) = a(ω) + ib(ω),
gdzie a(ω), b(ω) są funkcjami rzeczywistymi), którą można przedstawić w postaci wykładniczej:

F (ω) = |F (ω)|e

iΘ(ω)

,

|F (ω)| =

q

a

2

(ω) + b

2

(ω),

Θ(ω) = arc tg

b(ω)

a(ω)

(1)

Dla szeregu Fouriera mieliśmy do czynienia z charakterystyką amplitudowo-fazową. W przypadku
transformaty Fouriera mówimy o widmie amplitudowo-fazowym. W przeciwieństwie do charaktery-
styk, które były funkcjami dyskretnymi nω

0

, widma są funkcjami rzeczywistymi częstości kołowej

ω.

Definicja 1 Funkcję |F (w)| nazywamy widmem amplitudowym.

Definicja 2 Funkcję Θ(ω) nazywamy widmem fazowym.

Podobnie jak w przypadku charakterystyk, można udowodnić twierdzenia:

Twierdzenie 1 Widmo amplitudowe |F (ω)| funkcji rzeczywistej f (t) jest zawsze funkcją parzystą.

Twierdzenie 2 Widmo fazowe Θ(ω) funkcji rzeczywistej f (t) jest zawsze funkcją nieparzystą.

Twierdzenia 1 i 2 nie są prawdziwe dla funkcji zespolonych f (t).

1.1

Przykład

Dana jest transformata F (ω) =

1

1+iω

. Należy wyznaczyć i narysować widmo amplitudowo-fazowe.

Zaczniemy od wyznaczenia postaci wykładniczej transformaty:

F (ω) =

1

1 + iω

=

1

1 + ω

2

− i

ω

1 + ω

2

|F (ω)| =

s



1

1 + ω

2



2

+



−

ω

1 + ω

2



2

=

s

1

1 + ω

2

1

Θ(ω) = arc tg

 

−

ω

1+ω

2

1

1+ω

2

!

= arc tg (−ω)

Czyli ostatecznie:

F (ω) =

s

1

1 + ω

2

e

i arc tg(−ω)

Rysunek 1: Widmo amplitudowe i fazowe dla funkcji z przykładu

Z reguły, jeżeli funkcja F (ω) jest rzeczywista, szkicuje się bezpośrednio funkcję F (ω). Jeżeli jest
zespolona szkicuje się widmo amplitudowe i fazowe.

Zadanie 1.1 Dla podanych funkcji wyznacz i naszkicuj widma amplitudowo-fazowe:

a. f (t) = G

1

(t), F (ω) = 2Sa(ω) (szkicujemy bezpośrednio funkcję F (ω))

b. f (t) = Sa(t), F (ω) = πG

1

(ω) (szkicujemy bezpośrednio funkcję F (ω))

c. f (t) = G

1

(t)e

2it

(korzystając z pkt. a)

d. f (t) = G

1

(2t)

e. f (t) = ε(t), F (ω) = πδ(ω) +

1

iω

f. f (t) = cos(t), F (ω) = π(δ(ω + 1) + δ(ω − 1))

g. f (t) = sin(t), F (ω) = iπ(δ(ω + 1) − δ(ω − 1))

h. f (t) = cos(t −

π

2

)

2

2

Widmo energii

Energia niesiona przez sygnał w pewnym przedziale czasu [t

1

, t

2

] może zostać wyrażona jako:

E =

Z

t

2

t

1

f

2

(t) dt

(2)

W związku z tym całkowitą energię pewnego sygnału (o ile jest skończona) f (t) można obliczyć jako:

E =

Z

∞

−∞

f

2

(t) dt

(3)

Można wykazać, że:

E =

Z

∞

−∞

f

2

(t) dt =

1

2π

Z

∞

−∞

|F (ω)|

2

dω

(4)

gdzie |F (ω)| jest widmem amplitudowym. Pozwala to obliczyć energię zawartą w pewnym paśmie
częstotliwości [ω

1

, ω

2

] jako:

E =

1

2π

Z

−ω

1

−ω

2

|F (ω)|

2

dω +

1

2π

Z

ω

2

ω

1

|F (ω)|

2

dω =

1

π

Z

ω

2

ω

1

|F (ω)|

2

dω

(5)

Umożliwia to analizę, jaka część energii sygnału jest zawarta w określonym paśmie częstotliwości.

Zadanie 2.1 Oblicz jaka energia jest zawarta w zakresie częstotliwości [0, π] dla sygnału postaci:

f (t) = e

−t

ε(t)

Jaki jest to procent całkowitej energii sygnału?

Zadanie 2.2 Oblicz jaka całkowita energia jest zawarta w sygnale:

f (t) =

sin(t)

t

Jaka część tej energii znajduje się w zakresie częstotliwości [0, 1]?

Zadanie 2.3 Oblicz jaka całkowita energia jest zawarta w sygnale:

f (t) = e

−|t|

Jaka część tej energii znajduje się w zakresie częstotliwości [0, π]?

3