LISTA VII

1. Korzystaj¡c z denicji, znajd¹ pochodne funkcji (w ich dziedzinach natu-

ralnych)

a) f(x) = sin x

b) g(x) = e

x

c) h(x) = sh x

d) h(x) = |x|

e) h(z) = z

n

n ∈ Z

+

2. Wyprowadzi¢ wzór na funkcj¦ liniow¡, której wykres jest styczn¡ do wykresu

danej funkcji f, w punkcie x

0

.

3. Wyprowadzi¢ wzór na k¡t mi¦dzy wykresami funkcji, o których (wykre-

sach) wiadomo, »e przecinaj¡ si¦ w punkcie x

0

.

4. Obliczy¢ pochodne funkcji

a) f(x) = e

x

sin x

b) g(x) = sin

2

x − cos

2

x

c) g(x) = e

x

2

d) h(x) =

ln x

x

e) g(z) = x

x

5. Ró»niczkowaniem logarytmicznym nazywamy obliczanie pochodnej po naªo»e-

niu logarytmu na obie strony równania funkcyjnego:

y(x) = f (x) → ln y(x) = ln f (x) →

y

0

(x)

y(x)

=

ln f (x)

0

Ró»niczkuj¡c logarytmicznie, obliczy¢ pochodne funkcji

a) h(x) = e

x

2

b) h(x) = x

x

c) h(x) = x

2

e

x

(x + 1)

3

6. Korzystaj¡c z wiedzy na temat pochodnych funkcji elementarnych, zgad-

n¡¢ rozwi¡zania (rozwi¡zaniem jest funkcja f(x)) podanych równa« ró»niczkowych:

a) f(x) =

1
2

f

0

(x)

f (0) = 2

b) f

0

(x) = xf (x)

f (0) = 1

7. Korzystaj¡c ze wzoru na pochodn¡ iloczynu i pochodn¡ funkcji zªo»onej,

wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ ilorazu.

1