dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

Wykład 5

5. Teoria produkcji – uj

ę

cie neoklasyczne

1

5.1. Produkcja jako proces. Czynniki produkcji a wynik działalno

ś

ci produkcyjnej. Cele

producenta.

Konsument, odczuwaj

ą

cy konkretne potrzeby oraz zdaj

ą

cy sobie spraw

ę

z ich istnienia, poszukuje

na rynku dóbr, które mogłyby te potrzeby w mo

ż

liwie jak najwi

ę

kszym stopniu zaspokoi

ć

. Konsument

dokonuje wyboru koszyka towarów ze zbioru wszystkich znajduj

ą

cych si

ę

na rynku koszyków

towarów.

Aby towary, z których konsument dokonuje wyboru, znalazły si

ę

na rynku musz

ą

najpierw zosta

ć

wyprodukowane. Ten swoisty truizm wskazuje na konieczno

ść

rozszerzenia rozwa

ż

a

ń

o sfer

ę

produkcji oraz wymaga uwzgl

ę

dnienia na rynku w zbiorze towarów, towarów b

ę

d

ą

cych czynnikami

produkcji. Z tego wzgl

ę

du na rynku towarów b

ę

dziemy wyró

ż

nia

ć

, przyjmuj

ą

c za kryterium podziału

rodzaj pełnionej funkcji, trzy podstawowe grupy towarów:

- towary konsumpcyjne,

- czynniki produkcji: praca i kapitał (finansowy i rzeczowy),

- towary w podwójnej roli

ś

rodków produkcji i

ś

rodków konsumpcji.

Z teoretycznego punktu widzenia wymiana ma identyczny charakter niezale

ż

nie od typu towaru,

nie ma te

ż

znaczenia czy towary obu typów stanowi

ć

b

ę

d

ą

zawarto

ść

jednego koszyka, czy te

ż

b

ę

d

ą

w jaki

ś

sposób wyró

ż

niane.

Natomiast wskazana jest jednoznaczno

ść

podej

ś

cia - albo mówimy o rynku towarów w ogóle, albo

obok rynku towarów konsumpcyjnych wyró

ż

nia si

ę

rynki czynników wytwórczych.

Nale

ż

y podkre

ś

li

ć

, i

ż

w ekonomii matematycznej równoprawne s

ą

oba podej

ś

cia, wynika to z faktu,

i

ż

podział na towary konsumpcyjne i towary produkcyjne ma charakter funkcjonalny. Ten podział staje

si

ę

istotny, gdy nast

ą

pi ju

ż

wymiana i trzeba zdecydowa

ć

o przeznaczeniu towarów na cele

konsumpcyjne czy produkcyjne.

W gospodarce i na rynku obok konsumentów wyró

ż

niamy zatem producentów, przy czym ta grupa

podmiotów to zarówno pojedyncze osoby prowadz

ą

ce działalno

ść

wytwórcz

ą

, jak i przedsi

ę

biorstwa

(kombinaty, fabryki, spółdzielnie).

Cech

ą

charakterystyczn

ą

produkcji jest najogólniej przekształcenie jednej wi

ą

zki towarów w inn

ą

.

Traktuj

ą

c proces produkcyjny jako czarn

ą

skrzynk

ę

ze znanymi wej

ś

ciami i wyj

ś

ciami oraz ustalon

ą

zasad

ą

transformacji wej

ść

w wyj

ś

cia i uto

ż

samiaj

ą

c wej

ś

cia z ponoszonymi nakładami, a wyj

ś

cia

z wynikami procesu produkcji, działalno

ść

ka

ż

dego producenta mo

ż

na najogólniej okre

ś

li

ć

jako proces

transformacji nakładów w wyniki.

Rozwa

ż

ania na temat procesów produkcji w sformalizowanym uj

ę

ciu wła

ś

ciwym ekonomii

matematycznej wymagaj

ą

przyj

ę

cia pewnych zało

ż

e

ń

uogólniaj

ą

cych. Przede wszystkim, podobnie jak

w przypadku teorii popytu, zakłada si

ę

,

ż

e podmioty prowadz

ą

ce działalno

ść

gospodarcz

ą

zachowuj

ą

1

Wykład opracowany na podstawie E. Panek, „Ekonomia matematyczna”, Pozna

ń

2000, rozdział 2 oraz

B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław
2001, rozdział 13 i 14

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

si

ę

racjonalnie, a celem ich działania jest maksymalizacja dochodu z prowadzonej działalno

ś

ci

a czasami w uproszczeniu maksymalizacja wielko

ś

ci produkcji. Przyjmuje si

ę

dodatkowo,

ż

e

produkowane towary i wykorzystywane czynniki wytwórcze s

ą

doskonale podzielne. Producenci

podejmuj

ą

decyzje niezale

ż

nie, kieruj

ą

c si

ę

tylko własnymi celami i informacjami z rynku, który jest dla

nich doskonale przejrzysty.

Mo

ż

na zatem ogólnie stwierdzi

ć

,

ż

e modelowe uj

ę

cie procesów produkcji wyprowadzany jest

z zało

ż

e

ń

neoklasycznej teorii ekonomii.

Procesy produkcji realizowane przez poszczególnych producentów mog

ą

by

ć

opisywane par

ą

wektorów (x,y), gdzie x jest wektorem zu

ż

ycia towarów, a y jest wektorem produkcji.

Własno

ś

ci takich procesów wynikaj

ą

z przyjmowanych zało

ż

e

ń

o technologiach wytwarzania oraz

o warunkach panuj

ą

cych na rynku (od monopolu do konkurencji doskonałej).

5.2. Przestrze

ń

produkcyjna

Zakładamy,

ż

e w gospodarce wyst

ę

puje n rodzajów towarów, s

ą

to zarówno towary konsumpcyjne,

jak produkcyjne.

Działalno

ść

pojedynczego producenta mo

ż

na opisa

ć

za pomoc

ą

nieujemnego, 2n-elementowego

wektora

)

,...,

,

,

,...,

,

(

2

1

2

1

n

n

y

y

y

x

x

x

, zło

ż

onego z pary n-wymiarowych wektorów nakładów (zu

ż

ycia)

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

x

=

i wyników (produkcji)

)

,...,

,

(

2

1

n

y

y

y

y

=

, tworz

ą

cych dopuszczalny proces

produkcji w sensie technologii, któr

ą

dysponuje producent.

Technologia produkcji oznacza sposób przekształcenia okre

ś

lonego wektora nakładów w dany

wektor wyników. Determinuje ona w sposób jednoznaczny, jakie rodzaje nakładów i w jakich ilo

ś

ciach

musz

ą

by

ć

zastosowane, aby otrzyma

ć

okre

ś

lony wynik procesu produkcji. W gospodarce na ogół

znane s

ą

rozmaite technologie pozwalaj

ą

ce otrzyma

ć

z góry okre

ś

lony produkt. Te technologie ró

ż

ni

ą

si

ę

wielko

ś

ci

ą

i rodzajem nakładów przypadaj

ą

cych na jednostk

ę

wytworzonego produktu, co

w ekonomii okre

ś

la si

ę

jako zró

ż

nicowanie ich efektywno

ś

ci ekonomicznej.

Je

ż

eli przyjmujemy,

ż

e producenci działaj

ą

na rynku doskonale konkurencyjnym i zachowuj

ą

si

ę

racjonalnie, to musimy równocze

ś

nie przyj

ąć

,

ż

e znaj

ą

wszystkie mo

ż

liwe do zastosowania

technologie i wybieraj

ą

optymaln

ą

, czyli w danych warunkach rynkowych najefektywniejsz

ą

.

Zbiór wszystkich znanych i mo

ż

liwych do zastosowania technologii produkcji okre

ś

lamy mianem

dopuszczalnych technologii produkcji, a o procesach produkcji, w których owe technologie znajduj

ą

zastosowanie mówimy,

ż

e tworz

ą

zbiór technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji.

Zbiór

n

R

Z

2

+

⊂

wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji z norm

ą

i

i

x

x

max

=

nazywamy

przestrzeni

ą

produkcyjn

ą

w uj

ę

ciu procesów

(przestrzeni

ą

p-

produkcyjn

ą

).

W dopuszczalnym procesie produkcyjnym

Z

y

x

∈

)

,

(

w pewnej gospodarce i-ty towar mo

ż

e by

ć

:

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

-

jednocze

ś

nie zu

ż

ywany i wytwarzany, w procesie

)

,

(

y

x

dodatnie b

ę

d

ą

wtedy odpowiednie

składowe obu wektorów (np. energia elektryczna w elektrowni),

-

wył

ą

cznie zu

ż

ywany, w procesie

)

,

(

y

x

dodatniej składowej wektora x odpowiada zerowa

współrz

ę

dna wektora y (np. ruda

ż

elaza w hucie),

-

wył

ą

cznie wytwarzany, w procesie

)

,

(

y

x

zerowej składowej wektora x, odpowiada dodatnia

składowa wektora y (np. chleb w piekarni),

-

mo

ż

e w ogóle nie wyst

ą

pi

ć

jako element nakładów i wyników, w takim procesie zerowe b

ę

d

ą

wtedy odpowiednie współrz

ę

dne obu wektorów (np. ruda

ż

elaza w piekarni).

Aby bli

ż

ej scharakteryzowa

ć

przestrzenie p-produkcyjne nale

ż

y przyj

ąć

dodatkowe zało

ż

enia

zwane tak

ż

e prawami produkcji. S

ą

one bezpo

ś

rednio wywodzone z obserwacji rzeczywistych

procesów produkcyjnych, maj

ą

charakter prakseologicznych uogólnie

ń

.

1. Zało

ż

enie proporcjonalno

ś

ci przychodów:

(

)

Z

Z

⊆

≥

∀

α

α

0

.

2. Zało

ż

enie malej

ą

cych przychodów:

)

'

(

1

'

)

(

)

1

,

0

[

Z

Z

Z

Z

⊄

>

∃

∧

⊆

∈

∀

α

α

α

α

.

3. Zało

ż

enie rosn

ą

cych przychodów:

)

'

(

)

1

,

0

(

'

)

(

1

Z

Z

Z

Z

⊄

∈

∃

∧

⊆

>

∀

α

α

α

α

.

4. Zało

ż

enie addytywno

ś

ci procesów produkcyjnych:

Z

y

y

x

x

Z

y

x

Z

y

x

∈

+

+

⇒

∈

∧

∈

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

2

1

1

.

5. Zało

ż

enie "braku rogu obfito

ś

ci":

0

)

,

0

(

=

⇒

∈

y

Z

y

6. Zało

ż

enie nieodwracalno

ś

ci procesów produkcji:

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

Z

x

y

Z

y

x

y

x

∉

⇒

∈

∧

≠

)

,

(

)

,

(

.

7. Zało

ż

enie mo

ż

liwo

ś

ci marnotrawstwa I:

Z

y

x

y

y

Z

y

x

∈

⇒

≤

≤

∧

∈

)

'

,

(

'

0

)

,

(

.

8. Zało

ż

enie mo

ż

liwo

ś

ci marnotrawstwa II:

Z

y

x

x

x

Z

y

x

∈

⇒

≥

∧

∈

)

,

'

(

'

)

,

(

.

9. Zało

ż

enie domkni

ę

to

ś

ci przestrzeni p-produkcyjnej:

Z

y

x

y

x

y

x

Z

y

x

i

i

i

i

i

∈

⇒

→

∧

∈

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

.

Uwagi:

1. Nie wszystkie wymienione warunki mog

ą

zachodzi

ć

równocze

ś

nie w danym procesie

produkcyjnym.

Na przykład warunki (1), (2), (3) wykluczaj

ą

si

ę

wzajemnie, zatem procesy p-produkcyjne spełnia

ć

mog

ą

zało

ż

enia: (1) i (4)-(9); (2) i (4)-(9);(3) i (4)-(9).

Co si

ę

natomiast tyczy pojedynczych zało

ż

e

ń

, to mog

ą

one by

ć

zinterpretowane w nast

ę

puj

ą

cy

sposób:

2. Zało

ż

enie

proporcjonalno

ś

ci

przychodów

oznacza,

ż

e

proporcjonalne

zwi

ę

kszenie

(zmniejszenie) nakładów prowadzi do proporcjonalnego zwi

ę

kszenia (zmniejszenia) wyników.

Zało

ż

enie to nie jest spełnione w dwóch szczególnych przypadkach

1

<

α

oraz

1

>

α

, co

prowadzi do warunków malej

ą

cych i rosn

ą

cych przychodów.

3. W przypadku zało

ż

enie malej

ą

cych przychodów, istnieje proces

Z

y

x

∈

)

'

,

'

(

, nie

podporz

ą

dkowuj

ą

cy si

ę

prawu proporcjonalnych przychodów, w takim sensie,

ż

e dla pewnej

liczby

'

,

1

'

α

α

>

krotny wzrost nakładów nie prowadzi do

'

α

krotnego zwi

ę

kszenia wyników.

4. Zało

ż

enie

rosn

ą

cych

przychodów

oznacza

istnienie

procesu

Z

y

x

∈

)

'

,

'

(

,

nie

podporz

ą

dkowuj

ą

cego si

ę

prawu proporcjonalnych przychodów w takim sensie,

ż

e dla pewnego

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

( )

'

,

1

;

0

'

α

α

∈

krotne zmniejszenie nakładów nie prowadzi do takiego samego ograniczenia

produkcji.

5. Addytywno

ść

procesów produkcyjnych oznacza,

ż

e mo

ż

liwe jest dodawanie technologicznie

dopuszczalnych procesów produkcji.

6. Zało

ż

enie „braku rogu obfito

ś

ci” oznacza,

ż

e aby osi

ą

gn

ąć

jakikolwiek efekt produkcyjny

konieczne jest zu

ż

ycie czynników wytwórczych. Zało

ż

enie to jest skutkiem materialnego

charakteru

ś

wiata, w którym funkcjonujemy i praw przyrody (prawo zachowania energii).

7. Nieodwracalno

ść

procesów produkcji oznacza,

ż

e je

ż

eli z wektora nakładów x wytworzony

zostaje wektor produkcji y, to niemo

ż

liwe jest odwrócenie tego procesu i otrzymanie na powrót

z wektora y wektora x. Niemo

ż

liwe jest zatem z gotowego produktu odzyskanie nakładów

w pierwotnej postaci i ilo

ś

ci. Przede wszystkim nie da si

ę

odzyska

ć

poniesionych nakładów siły

roboczej czy energii.

8. Zało

ż

enia mo

ż

liwo

ś

ci marnotrawstwa s

ą

egzemplifikacj

ą

racjonalnego działania producentów

i oznaczaj

ą

,

ż

e je

ż

eli zastosujemy optymaln

ą

technologi

ę

, to z okre

ś

lonego wektora nakładów

otrzymamy maksymalnie du

ż

y wektor produkcji. Do pomy

ś

lenia s

ą

te

ż

sytuacje działania

nieefektywnego, czyli zastosowania technologii „gorszej”, w przypadku której z tego samego

wektora nakładów otrzymamy mniejszy efekt produkcyjny. Drugim wariantem działania

produkcyjnego o ni

ż

szej efektywno

ś

ci jest sytuacja, kiedy okre

ś

lony efekt produkcyjny

uzyskujemy stosuj

ą

c wi

ę

kszy ni

ż

w przypadku optymalnym wektor nakładów. Oba przypadki

marnotrawstwa w przypadku jednostkowym sprowadzaj

ą

si

ę

do stwierdzenia,

ż

e optymalna

znana technologia zapewnia wytworzenie jednostki towaru przy minimalnych nakładach

niezb

ę

dnych czynników wytwórczych, a zastosowanie technologii „gorszych” powoduje,

ż

e

wytworzenie jednostki towaru, wymaga ponoszenie wi

ę

kszych nakładów jednostkowych.

Podsumowuj

ą

c, stosuj

ą

c technologie gorsze ni

ż

optymalna marnotrawimy czynniki wytwórcze.

9. Domkni

ę

to

ść

przestrzeni p-produkcyjnej oznacza,

ż

e je

ż

eli dowolnie mała zmiana wektora

nakładów x lub wektora produkcji y lub obu wektorów jednocze

ś

nie w pewnym procesie

)

,

(

y

x

prowadzi do procesu technologicznie dopuszczalnego, to proces

)

,

(

y

x

jest te

ż

technologicznie

dopuszczalny. Formalnie oznacza to m.in.

ż

e brzeg zbioru Z opisuj

ą

cego przestrze

ń

p-

produkcyjn

ą

te

ż

nale

ż

y do Z oraz

ż

e przestrze

ń

ta jest zwarta i zupełna.

O niektórych własno

ś

ciach przestrzeni p-produkcyjnych mówi poni

ż

sze twierdzenie:

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 5.1.

Je

ż

eli przestrze

ń

p-produkcyjna jest addytywna i spełnia zało

ż

enie o proporcjonalnych

przychodach, to jest ona sto

ż

kiem wypukłym z wierzchołkiem w pocz

ą

tku układu

współrz

ę

dnych.

Je

ż

eli domkni

ę

ta przestrze

ń

p-produkcyjna spełnia zało

ż

enie o proporcjonalnych lub

malej

ą

cych dochodach i mo

ż

liwe jest nieracjonalne wykorzystanie nakładów, to:

)

)

,

((

Z

y

x

R

y

R

x

n

n

∈

∈

∃

∈

∀

+

+

Dotychczas proces produkcyjny opisywany był jednoznacznie par

ą

wektorów, wektora nakładów x

i wektora wyników y, co sytuowało go w przestrzeni 2n-wymiarowej. Do jednoznacznej charakterystyki

procesu produkcyjnego mo

ż

na u

ż

y

ć

kategorii ekonomicznej jak

ą

stanowi produkcja czysta.

Je

ż

eli

Z

y

x

∈

)

,

(

, to o ró

ż

nicy

i

i

i

x

y

q

−

=

mówimy,

ż

e

przedstawia produkcj

ę

czyst

ą

i-tego

towaru

w procesie

)

,

(

y

x

w jednostkach fizycznych.

Zastosowanie kategorii produkcji czystej pozwala na rozwa

ż

anie procesu produkcyjnego

w przestrzeni n-wymiarowej, co w konsekwencji powoduje uproszczenie opisu i wnioskowania

o wła

ś

ciwo

ś

ciach procesów produkcyjnych. Tak na przykład nie daj

ą

cy si

ę

zilustrowa

ć

graficznie 4-

wymiarowy przypadek przestrzeni produkcyjnej redukuje si

ę

do w pełni opisywalnej przestrzeni 2-

wymiarowej.

Zbiór wektorów produkcji czystej:

















⊂

∈

−

=

=

n

R

Z

y

x

x

y

q

q

C

)

,

(

;

:

z norm

ą

i

i

x

x

max

=

nazywamy

przestrzeni

ą

c-produkcyjn

ą

.

Wnioski:

1. O ile przestrze

ń

p-produkcyjna jest zawarta w nieujemnym orthancie przestrzeni

n

R

2

, o tyle

przestrze

ń

c-produkcyjna jest zawarta w

n

R

,

2. Elementy przestrzeni c-produkcyjnej (wektory produkcji czystej) nie musz

ą

by

ć

wektorami

nieujemnymi,

3. Ujemna wielko

ść

wektora

i

q

pokazuje o ile zu

ż

ycie i-tego towaru w procesie produkcyjnym

przekracza jego produkcj

ę

, a dodatnia – o ile produkcja przekracza jego zu

ż

ycie.

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

5.3. Funkcja produkcji i jej własno

ś

ci

Do zdefiniowania funkcji produkcji niezb

ę

dne jest poj

ę

cie technologicznie efektywnego procesu

produkcji.

Proces

Z

y

x

∈

)

,

(

nazywamy

technologicznie efektywnym

, je

ż

eli spełnia warunek:

)

'

'

(

)

'

,

(

y

y

y

y

Z

y

x

≠

∧

≥

∈

¬∃

Zatem proces produkcyjny

)

,

(

y

x

jest technologicznie efektywny, je

ż

eli nie znamy w danej

gospodarce technologii, która z danego wektora nakładów

x

pozwoliłaby uzyska

ć

wi

ę

kszy od wektora

y

wektor wyników

'

y

.

Zwi

ą

zan

ą

z przestrzeni

ą

p-produkcyjn

ą

n

R

Z

2

+

⊂

wieloargumentow

ą

, wektorow

ą

funkcj

ę

produkcji

definiujemy w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

Je

ż

eli istnieje taka funkcja wektorowa

n

n

R

R

f

+

+

→

:

,

ż

e

)

(

x

f

y

=

wtedy i tylko wtedy, gdy

proces

Z

y

x

∈

)

,

(

jest technologicznie efektywny, wówczas f nazywamy

wektorow

ą

funkcj

ą

produkcji

zwi

ą

zan

ą

z przestrzeni

ą

p-produkcyjn

ą

Z.

Wektorow

ą

funkcj

ę

produkcji mo

ż

na tak

ż

e zapisa

ć

w postaci niejawnej funkcji F, spełniaj

ą

cej

warunek:

)

(

0

)

,

(

x

f

y

y

x

F

=

⇔

=

,

co oznacza,

ż

e je

ż

eli dana jest funkcja f, to wystarczy przyj

ąć

,

ż

e:

)

(

)

,

(

x

f

y

y

x

F

−

=

.

Przykład:

Je

ż

eli producent wytwarza tylko jeden towar, zu

ż

ywaj

ą

c przy tym k-wymiarowy wektor

nakładów, to funkcja produkcji redukuje si

ę

wtedy do skalarnej k-argumentowej funkcji

produkcji

1

:

+

+

→

R

R

f

k

.

Zazwyczaj zakłada si

ę

,

ż

e skalarna funkcja produkcji

1

:

+

+

→

R

R

f

k

jest ci

ą

gła i dwukrotnie

ró

ż

niczkowalna na obszarze okre

ś

lono

ś

ci oraz spełnia nast

ę

puj

ą

ce warunki:

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

(I)

0

)

0

(

=

f

, gdzie

0

- zerowy wektor przestrzeni

k

R

+

,

(II)













>

∂

∂

∀

∈

∀

+

0

)

(

,

i

k

x

x

f

i

R

x

,

(III) Macierz funkcyjna

i

x

x

f

x

H

2

2

)

(

)

(

∂

∂

=

jest niedodatnio okre

ś

lona na

k

R

+

,

(IV)

))

(

)

(

(

0

,

x

f

x

f

R

x

k

λ

λ

λ

=

≥

∀

∈

∀

+

.

Uwagi:

1. Warunek (I) oznacza,

ż

e zerowe nakłady, daj

ą

w wyniku zerow

ą

produkcj

ę

, bowiem bez

nakładów nie ma wyników. Warunek ten jest wynikiem przyj

ę

cia prawa produkcji zwanego

„brakiem rogu obfito

ś

ci”.

2. Warunek (II) oznacza,

ż

e funkcja produkcji jest rosn

ą

ca. W praktyce oznacza to,

ż

e na całym

obszarze okre

ś

lono

ś

ci funkcji produkcji kra

ń

cowe wydajno

ś

ci nakładów s

ą

dodatnie, czyli

zwi

ę

kszanie nakładu któregokolwiek czynnika wytwórczego powoduje wzrost produkcji.

3. Warunek (III) jest równowa

ż

ny z wkl

ę

sło

ś

ci

ą

funkcji produkcji. Zgodnie z tym warunkiem na

k

R

+

wyst

ę

puje malej

ą

ca kra

ń

cowa wydajno

ść

nakładów.

4. Warunek (IV) oznacza zało

ż

enie o proporcjonalnych przychodach. Je

ż

eli zast

ą

pimy go

ogólniejszym warunkiem:

)

(

)

(

x

f

x

f

θ

λ

λ

=

,

to b

ę

dzie on równowa

ż

ny z przyj

ę

ciem zało

ż

enia o malej

ą

cych przychodach, gdy 0<

θ

<1, lub zało

ż

enia

o rosn

ą

cych przychodach gdy

θ

>1, ale wtedy nie mo

ż

e by

ć

spełnione zało

ż

enie (III).

W przypadku, gdy

θ

>1, wówczas mamy do czynienia z tzw. efektem dodatnich korzy

ś

ci skali,

w przeciwnym wypadku, tj. gdy

θ

<1 z efektem niekorzy

ś

ci skali.

Z powy

ż

szych warunków wynika tak

ż

e warunek póładdytywno

ś

ci funkcji produkcji:

))

(

)

(

)

(

(

,

2

1

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

f

R

x

x

k

+

≥

+

∈

∀

+

.

Póładdytywno

ść

funkcji produkcji oznacza,

ż

e zsumowanie wektorów nakładów czynników

wytwórczych, powinno da

ć

proces produkcyjny, którego efekt b

ę

dzie nie mniejszy ni

ż

suma efektów

odr

ę

bnych procesów produkcyjnych.

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

Je

ż

eli zdefiniujemy przestrze

ń

p-produkcyjn

ą

{

}

)

(

0

,

:

)

,

(

x

f

y

R

x

y

x

Z

k

≤

≤

∈

=

+

, gdzie f

skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji spełnia warunki (I)-(IV), to tak zdefiniowana przestrze

ń

p-

produkcyjna spełnia standardowe warunki przestrzeni p-produkcyjnej (1) i (4)-(9).

Podobnie jak w przypadku funkcji popytu, z funkcji produkcji mo

ż

na wyprowadzi

ć

miary

charakteryzuj

ą

ce zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy produkcj

ą

a nakładami. W ich konstrukcji stosuje si

ę

głównie

pochodne funkcji produkcji.

Pochodn

ą

cz

ą

stkow

ą

i

x

x

f

∂

∂

)

(

nazywa si

ę

kra

ń

cow

ą

wydajno

ś

ci

ą

i-tego nakładu

(czynnika)

w wektorze nakładów x.

Kra

ń

cowa wydajno

ść

i-tego nakładu informuje, o ile wzro

ś

nie ilo

ść

produkcji, je

ż

eli w wektorze

nakładów x zwi

ę

kszymy wielko

ść

i-tego nakładu o dowolnie mał

ą

porcj

ę

, przy zało

ż

eniu,

ż

e pozostałe

nakłady pozostan

ą

na dotychczasowym poziomie

Wyra

ż

enie:

α

α

α

α

α

α

ε

α

α

∂

∂

⋅

=

∂

∂

=

→

→

)

(

)

(

lim

ln

)

(

ln

lim

)

(

1

1

x

f

x

f

x

f

x

f

nazywamy

elastyczno

ś

ci

ą

produkcji

ze wzgl

ę

du na skal

ę

nakładów x

.

Elastyczno

ść

produkcji, ze wzgl

ę

du na skal

ę

nakładów, pokazuje o ile wzro

ś

nie produkcja, je

ż

eli

skala nakładów wzro

ś

nie o 1%.

Wyra

ż

enie:

i

i

i

f

i

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

∂

∂

⋅

=

∂

∂

=

)

(

)

(

ln

)

(

ln

)

(

ε

nazywamy

elastyczno

ś

ci

ą

produkcji, wzgl

ę

dem nakładu i-tego czynnika w wektorze x

.

Elastyczno

ść

produkcji wzgl

ę

dem i-tego nakładu wskazuje o ile procent wzro

ś

nie produkcja, gdy

nakład i-tego czynnika produkcji wzro

ś

nie o 1%.

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

Wyra

ż

enie:

j

i

f

ij

x

f

x

f

x

∂

∂

∂

∂

=

:

)

(

σ

nazywamy

kra

ń

cow

ą

stop

ą

substytucji

i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów.

Inaczej mówi

ą

c, kra

ń

cowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów

jest to granica takiego stosunku przyrostu nakładu j-tego czynnika w wektorze nakładów do spadku

nakładu i-tego czynnika, przy którym nie zmienia si

ę

wielko

ść

produkcji.

Kra

ń

cowa stopa substytucji pokazuje jak

ą

ilo

ś

ci

ą

j-tego nakładu nale

ż

y zast

ą

pi

ć

jednostkowy

spadek ilo

ś

ci i-tego nakładu w wektorze x, aby wielko

ść

produkcji nie zmieniła si

ę

.

Wyra

ż

enie:

j

i

j

i

f

ij

x

x

x

f

x

f

x















∂

∂

∂

∂

=

:

)

(

ε

nazywamy

elastyczno

ś

ci

ą

substytucji

i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów.

Elastyczno

ść

substytucji czynników produkcji pokazuje analogiczn

ą

, jak kra

ń

cowa stopa

substytucji zale

ż

no

ść

, lecz wyra

ż

on

ą

w procentach.

5.4. Wybrane funkcje produkcji (f. Solowa, f. Cobb’a-Douglas’a, f. CES, f. liniowa, f. Leontiefa-

Koopmansa) i ich interpretacja

W naszych rozwa

ż

aniach b

ę

dziemy si

ę

ogranicza

ć

do dwuwymiarowej przestrzeni czynników

(nakładów) produkcji

1

:

+

+

→

R

R

f

k

, w której jako pierwsz

ą

współrz

ę

dn

ą

wektora nakładów b

ę

dziemy

przyjmowa

ć

nakłady kapitału (k), np. ilo

ść

wykorzystywanych w procesie produkcji maszyn, natomiast

jako drug

ą

współrz

ę

dn

ą

wektora x, b

ę

dziemy przyjmowa

ć

nakłady pracy (z), mierzone np.

w roboczogodzinach. Przy tych zało

ż

eniach funkcj

ę

produkcji zapisujemy w ogólnej postaci:

)

,

(

z

k

f

y

=

.

Je

ż

eli producent wytwarza produkcj

ę

wg ilo

ś

ci

)

,

(

z

k

f

y

=

, stosuj

ą

c kombinacj

ę

czynników

produkcji

0

)

,

(

≥

z

k

)

0

(

≠

z

, to iloraz

z

k

u

=

nazywamy

technicznym uzbrojeniem pracy

,

a iloraz

z

y

w

=

nazywamy

wydajno

ś

ci

ą

pracy

.

Techniczne uzbrojenie pracy jest wa

ż

n

ą

charakterystyk

ą

stosowanej technologii produkcji

i odzwierciedla

ś

redni koszt stanowiska pracy.

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

5.4.1. Funkcja produkcji Cobb’a-Douglas’a

Funkcja Cobb’a-Douglas’a jest to dwuargumentowa (dwuczynnikowa) funkcja produkcji, o której

zakłada si

ę

,

ż

e spełnia cztery nast

ę

puj

ą

ce warunki:

(I)

0

)

0

(

=

f

, gdzie

0

oznacza wektor zerowy przestrzeni

2

+

R

.

(II)













>

∂

∂

∀

∈

∀

+

0

)

(

,

2

i

x

x

f

i

R

x

(III)

Macierz funkcyjna

i

x

x

f

x

H

∂

∂

=

)

(

)

(

jest niedodatnio okre

ś

lona na

2

+

R

.

(IV)

))

(

)

(

(

0

,

2

x

f

x

f

R

x

λ

λ

λ

=

≥

∀

∈

∀

+

.

Warunki (I)-(IV) s

ą

to te same warunki, o których zakładamy,

ż

e spełnia je ka

ż

da skalarna funkcja

produkcji

1

:

+

+

→

R

R

f

k

)

(

2

C

f

∈

na obszarze okre

ś

lono

ś

ci tylko,

ż

e dla szczególnego przypadku

dwuwymiarowego (k=2). Oprócz tych warunków funkcja Cobb’a-Douglas’a spełnia dodatkowy

warunek, tzw. zało

ż

enie rosn

ą

cej stopy substytucji:

(V) Kra

ń

cowa stopa substytucji pracy przez kapitał ro

ś

nie liniowo wraz ze wzrostem

technicznego uzbrojenia pracy co zapisujemy:













=

=

∂

∂

∂

∂

=

z

k

u

k

f

z

f

f

k

z

α

α

σ

:

,

Uwagi:

1. Warunek (I) oznacza,

ż

e w wyniku zerowych nakładów otrzymujemy zerow

ą

produkcj

ę

.

2. Warunek (II) oznacza,

ż

e funkcja produkcji jest rosn

ą

ca, czyli

ż

e wraz ze wzrostem czynników

produkcji ro

ś

nie produkcja y.

3. Trzeci z kolei warunek funkcji Cobb’a-Douglas’a jest równowa

ż

ny z wkl

ę

sło

ś

ci

ą

funkcji

produkcji.

4. Warunek (IV) oznacza zało

ż

enie o proporcjonalnych przychodach i mówi,

ż

e funkcja produkcji

Cobb’a-Douglas’a jest jednorodna stopnia pierwszego lub inaczej,

ż

e jest liniowo jednorodna.

5. Zgodnie z warunkiem (V) kra

ń

cowa stopa substytucji zale

ż

y od technicznego uzbrojenia

pracy u. Na jego podstawie wnioskujemy,

ż

e:

const

const

f

k

z

→

⇒

→

,

u

σ

. Warunek (V)

oznacza dokładnie tyle,

ż

e kra

ń

cowa stopa substytucji ro

ś

nie liniowo wraz ze wzrostem

technicznego uzbrojenia pracy u (zało

ż

enie rosn

ą

cej stopy substytucji).

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna I

Na podstawie warunków (I)-(V) wyprowadzimy dwuczynnikow

ą

funkcj

ę

Cobb’a-Douglas’a. W tym

celu przyjmujemy nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

α

ε

+

=

1

1

,

z

k

u

=

- techniczne uzbrojenie pracy,

a-stała dodatnia.

Z warunku (IV) mamy,

ż

e:

)

1

,

(

)

1

,

(

)

,

(

u

zf

z

k

zf

z

k

f

=

=

.

St

ą

d:

u

u

f

u

u

f

z

k

u

u

f

u

f

z

k

u

u

f

z

u

f

z

u

u

u

f

z

u

f

z

f

∂

∂

−

=













⋅

∂

∂

−

=













−

⋅

∂

∂

+

=

∂

∂

⋅

∂

∂

+

=

∂

∂

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

2

oraz

u

u

f

z

u

u

f

z

k

u

u

u

f

z

k

f

∂

∂

=

⋅

∂

∂

=

∂

∂

⋅

∂

∂

=

∂

∂

)

1

,

(

1

)

1

,

(

)

1

,

(

Otrzymujemy zatem,

ż

e:













∂

∂

÷













∂

∂

−

=

u

u

f

u

u

f

u

u

f

f

k

z

)

1

,

(

)

1

,

(

)

1

,

(

,

σ

.

Z powy

ż

szej równo

ś

ci i warunku (V) otrzymujemy równanie ró

ż

niczkowe:

u

u

f

u

u

f

)

1

(

)

1

,

(

)

1

,

(

α

+

=

∂

∂

,

którego rozwi

ą

zaniem jest funkcja:

ε

au

u

f

=

)

1

,

(

.

Poniewa

ż

jednak

z

k

u

=

oraz

)

,

(

1

)

1

,

(

z

k

f

z

u

f

=

, wi

ę

c ostatecznie otrzymujemy dwuczynnikow

ą

funkcj

ę

produkcji Cobb’a-Douglas’a:

ε

ε

ε

ε

−

=

=

=

=

=

1

)

/

(

)

1

,

(

)

1

,

(

)

,

(

z

ak

z

k

za

zu

u

zf

z

k

zf

z

k

f

dr Agnieszka Bobrowska

13

Ekonomia matematyczna I

Bezpo

ś

rednio z definicji funkcji produkcji Cobb’a-Douglas’a wynikaj

ą

funkcje wydajno

ś

ci pracy

i efektywno

ś

ci kapitału, okre

ś

lone poni

ż

ej:

Funkcja w postaci:

z

y

z

k

f

z

u

f

u

w

=

=

=

)

,

(

1

)

1

,

(

)

(

charakteryzuje zale

ż

no

ść

wydajno

ś

ci pracy

z

y

od technicznego uzbrojenia pracy.

Funkcja e postaci:

k

y

z

k

f

k

u

f

u

e

=

=

=

−

)

,

(

1

)

,

1

(

)

(

1

charakteryzuje zale

ż

no

ść

efektywno

ś

ci kapitału

k

y

od technicznego uzbrojenia pracy.

Uwagi:

1. Parametr

k

f

f

k

∂

∂

÷

=

ε

charakteryzuje elastyczno

ść

produkcji wzgl

ę

dem kapitału.

2. Parametr

z

f

f

z

∂

∂

=

−

:

1

ε

charakteryzuje z kolei elastyczno

ść

produkcji wzgl

ę

dem nakładów

pracy.

3. Parametr

α

jest z kolei mar

ą

elastyczno

ś

ci substytucji pracy wzgl

ę

dem kapitału:

k

z

k

f

z

f

⋅

∂

∂

÷

∂

∂

=

)

(

α

.

Je

ż

eli ustalimy wielko

ść

produkcji na poziomie

0

*

>

y

, to zbiór

{

}

*

)

(

:

y

x

f

R

x

G

k

=

∈

=

+

wszystkich kombinacji nakładów x daj

ą

cych w wyniku transformacji produkcj

ę

*

y

b

ę

dziemy

nazywa

ć

izokwant

ą

produkcji na poziomie

*

y

.

Przykład izokwant produkcji dla funkcji produkcji Cobb’a-Douglas’a przedstawia rysunek 5.1.

dr Agnieszka Bobrowska

14

Ekonomia matematyczna I

Rys. 5.1. Przykład izokwant na poziomie

*
2

*

1

, y

y

dla funkcji Cobb’a-Douglas’a.

5.4.2. Funkcja produkcji CES

Kolejnym przykładem funkcji produkcji jest funkcja CES (constant elasticity of substitution)

charakteryzuj

ą

ca si

ę

stał

ą

elastyczno

ś

ci

ą

kra

ń

cowej stopy substytucji wzgl

ę

dem technicznego

uzbrojenia pracy u.

O funkcji CES zakładamy,

ż

e spełnia te same warunki (I)-(III) co funkcja Cobb’a-Douglas’a.

Warunek (IV) zast

ę

pujemy w tym przypadku ogólniejszym warunkiem dodatniej jednorodno

ś

ci stopnia

θ

:

(IV)’

))

(

)

(

(

0

,

2

x

f

x

f

R

x

θ

λ

λ

λ

=

≥

∀

∈

∀

+

Z kolei warunek (V) zast

ę

pujemy warunkiem:

(V)’

0

,

,

>

=













=

σ

α

α

σ

σ

σ

u

z

k

f

k

z

.

Przyjmijmy nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

γ

σ

−

=

1

,

a, b- dowolne stałe dodatnie.

Rozumuj

ą

c tak jak w przypadku funkcji Cobb’a-Douglas’a otrzymujemy dodatnio jednorodn

ą

funkcj

ę

produkcji stopnia

θ

o postaci:

θγ

γ

γ

−

−

−

+

=

]

[

bz

ak

y

k

z

*

1

)

,

(

y

z

k

f

=

*

1

*
2

)

,

(

y

y

z

k

f

>

=

dr Agnieszka Bobrowska

15

Ekonomia matematyczna I

Wyra

ż

enie:

u

u

f

k

z

f

k

z

u

∂

∂

⋅

=

,

,

σ

σ

ε

σ

nazywamy

elastyczno

ś

ci

ą

kra

ń

cowej stopy substytucji wzgl

ę

dem technicznego uzbrojenia

pracy

.

Poniewa

ż

σ

α

σ

u

f

k

z

=

,

, to otrzymujemy:

0

>

=

=

const

u

σ

ε

σ

, co dowodzi,

ż

e funkcja produkcji

CES charakteryzuje si

ę

stał

ą

elastyczno

ś

ci

ą

kra

ń

cowej stopy substytucji wzgl

ę

dem technicznego

uzbrojenia pracy.

W przypadku funkcji CES, w odró

ż

nieniu od funkcji Cobb’a-Douglas’a, elastyczno

ść

substytucji

oraz elastyczno

ść

produkcji wzgl

ę

dem czynników wytwórczych zmienia si

ę

wraz ze zmian

ą

technicznego uzbrojenia pracy. Z funkcji CES wyprowadzamy funkcj

ę

wydajno

ś

ci pracy w:

Funkcja w postaci:

γ

γ

/

1

]

[

)

(

−

−

+

=

b

au

u

w

to funkcja

wydajno

ś

ci pracy w zale

ż

no

ś

ci od technicznego uzbrojenia pracy

.

W przypadku, gdy

)

0

(

,

1

→

→

γ

σ

i gdy

1

≠

θ

, funkcja produkcji CES redukuje si

ę

do funkcji

Cobb’a-Douglas’a o postaci:

δ

γ

z

ak

z

k

f

=

)

,

(

Natomiast, gdy

1

=

θ

o postaci:

ε

ε

−

=

1

)

,

(

z

ak

z

k

f

.

5.4.3. Liniowa funkcja produkcji

Liniow

ą

funkcj

ę

produkcji postaci:

bz

ak

y

+

=

otrzymujemy z funkcji CES, przy zało

ż

eniu,

ż

e

1

=

θ

oraz

)

1

(

0

−

→

→

γ

σ

, przy czym a, b to

dowolne parametry dodatnie.

dr Agnieszka Bobrowska

16

Ekonomia matematyczna I

Funkcja ta charakteryzuje si

ę

zerow

ą

elastyczno

ś

ci

ą

kra

ń

cowej stopy substytucji wzgl

ę

dem

technicznego uzbrojenia pracy oraz ograniczon

ą

substytucj

ą

czynników.

5.4.4. Funkcja produkcji Leontiefa-Koopmansa

Przyjmijmy,

ż

e:

0

1

>

=

w

ξ

- współczynnik pracochłonno

ś

ci, przy czym w to wydajno

ść

pracy wzgl

ę

dem

technicznego uzbrojenia pracy.

0

1

>

=

e

µ

- współczynnik kapitałochłonno

ś

ci, przy czym e wydajno

ść

kapitału wzgl

ę

dem

technicznego uzbrojenia pracy.

.

Funkcja Leontiefa-Koopmansa ma wówczas posta

ć

:













=

ξ

µ

z

k

y

,

min

.

Otrzymujemy j

ą

z funkcji produkcji CES dodatnio jednorodnej stopnia 1, przy

+∞

→

σ

)

(

−∞

→

γ

.

Funkcja ta charakteryzuje si

ę

całkowitym brakiem substytucji czynników

)

0

0

(

,

,

=

⇒

=

f

z

k

f

z

k

ε

σ

.

Zwi

ą

zan

ą

z funkcj

ą

produkcji Leontiefa-Koopmansa funkcj

ę

wydajno

ś

ci pracy mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci:













=

=

ξ

µ

1

,

min

)

1

,

(

)

(

u

u

f

u

w

.

Funkcja produkcji Leontiefa-Koopmansa jest ci

ą

gła na

2

+

R

, lecz nie jest ró

ż

niczkowalna na

promieniu













≥

=

0

:

)

,

1

(

λ

µ

ξ

λ

P

, to znaczy wsz

ę

dzie tam, gdzie ma miejsce pełne wykorzystanie

czynników wytwórczych.

dr Agnieszka Bobrowska

17

Ekonomia matematyczna I

Przykład 5.1.:

Ze wzgl

ę

du na specyficzn

ą

posta

ć

funkcji Leontiefa-Koopmansa warto poda

ć

przykład procesu

produkcyjnego, który charakteryzuje brak substytucji czynników wytwórczych.

Załó

ż

my,

ż

e zadaniem do wykonania jest wykopanie rowu, a technologia, któr

ą

stosuje producent

polega na kopaniu rowów przez człowieka przy u

ż

yciu łopaty. Producent zatrudnia 10 pracowników

i wyposa

ż

a ich w 10 łopat. Zast

ą

pienie dwóch pracowników łopatami nie jest sensowne, poniewa

ż

dodatkowe łopaty nie mog

ą

by

ć

w

ż

aden sposób wykorzystane przez pracowników i odwrotnie.

5.4.5. Funkcja produkcji Solowa

Zakładaj

ą

c,

ż

e nakłady k- kapitału i z- pracy zmieniaj

ą

si

ę

w sposób ci

ą

gły oraz,

ż

e ka

ż

dej

kombinacji (k,z) odpowiada jednoznacznie produkcja q, mo

ż

na zapisa

ć

funkcj

ę

produkcji w postaci:

)

,

(

z

k

f

q

=

dla

0

,

0

≥

≥

z

k

.

Q mo

ż

na interpretowa

ć

, jako produkcj

ę

odpowiadaj

ą

c

ą

pełnemu wykorzystaniu mocy wytwórczych

dla zasobu kapitału k i pracy z, albo jako faktyczn

ą

produkcj

ę

przy danych nakładach w ramach

rozporz

ą

dzalnych zasobów czynników wytwórczych.

Na funkcj

ę

)

,

(

z

k

f

q

=

nakłada si

ę

nast

ę

puj

ą

ce ograniczenia:

-

jest funkcj

ą

ci

ą

gł

ą

i dwukrotnie ró

ż

niczkowaln

ą

,

-

jest funkcj

ą

rosn

ą

c

ą

, wkl

ę

sł

ą

,

-

przy zerowych nakładach czynników produkcji przyjmuje warto

ś

ci równe 0.

O pochodnych cz

ą

stkowych pierwszego rz

ę

du oznaczanych przez:

k

f

f

k

∂

∂

=

,

z

f

f

z

∂

∂

=

,

zakładamy,

ż

e s

ą

dodatnie.

Natomiast o pochodnych cz

ą

stkowych rz

ę

du drugiego, oznaczanych przez:

2

2

k

f

f

kk

∂

∂

=

,

2

2

z

f

f

zz

∂

∂

=

,

zakładamy ,

ż

e s

ą

ujemne.

dr Agnieszka Bobrowska

18

Ekonomia matematyczna I

Pochodne cz

ą

stkowe

z

k

f

f ,

interpretujemy jako produktywno

ś

ci kra

ń

cowe kapitału i pracy. S

ą

one

dodatnie, ale malej

ą

wraz ze wzrostem nakładów czynników wytwórczych. Jest to potwierdzeniem

prawa malej

ą

cej produktywno

ś

ci marginalnej czynników wytwórczych.

5.5. Neoklasyczna teoria przedsi

ę

biorstwa (doskonała konkurencja, monopol, oligopol)

5.5.1. Przedsi

ę

biorstwo w warunkach konkurencji doskonałej

Przedsi

ę

biorstwo działaj

ą

ce na doskonale konkurencyjnym rynku, traktowane jest jako podmiot

o niewielkiej mocy ekonomicznej, który nie ma wpływu na warunki rynkowe i musi dostosowa

ć

si

ę

do

poziomu cen równowagi. Jego decyzje s

ą

niezale

ż

ne od konkurentów, je

ż

eli zaakceptuje ceny

równowagi, mo

ż

e na rynku sprzeda

ć

cała wytworzona przez siebie produkcj

ę

i kupi

ć

nieograniczon

ą

ilo

ść

czynników produkcji. Dla pojedynczego przedsi

ę

biorstwa, działaj

ą

cego w warunkach konkurencji

doskonałej, zarówno przestrze

ń

towarów, jak i przestrze

ń

produkcyjne s

ą

nieograniczone. Zakładamy

ponadto,

ż

e przedsi

ę

biorca jest podmiotem zachowuj

ą

cym si

ę

w sposób racjonalny, którego celem

jest maksymalizacja dochodu.

W tych warunkach interesuje nas model opisuj

ą

cy proces decyzyjny pojedynczego producenta,

polegaj

ą

cego na wyborze wielko

ś

ci produkcji i skali nakładów, przy okre

ś

lonej (zało

ż

onej) technologii

produkcji, który zapewnia osi

ą

gni

ę

cie zamierzonego celu, czyli maksymalizacj

ę

dochodu.

Zakładamy,

ż

e przedsi

ę

biorstwo wytwarza jeden produkt zu

ż

ywaj

ą

c w tym celu k innych towarów

(czynników produkcji).

Działalno

ść

produkcyjn

ą

przedsi

ę

biorstwa opisuje k - argumentowa skalarna funkcja produkcji

1

:

+

+

→

R

R

f

k

.

Zakładamy,

ż

e w warunkach konkurencji doskonałej działanie pojedynczego przedsi

ę

biorcy nie

wpływa na kształtowanie si

ę

globalnego popytu i poda

ż

y na rynkach, na których wyst

ę

puje jako

sprzedawca i nabywca.

Przyjmuje si

ę

ponadto,

ż

e pozostałe przedsi

ę

biorstwa s

ą

tak elastyczne,

ż

e s

ą

w stanie

natychmiast dostosowa

ć

poda

ż

swoich towarów do zmieniaj

ą

cego si

ę

popytu danego

przedsi

ę

biorstwa na czynniki wytwórcze.

O rynku zakładamy,

ż

e jest on na tyle chłonny, by zapewni

ć

zbyt ka

ż

dej ilo

ś

ci wytworzonej przez

przedsi

ę

biorstwo produkcji (przy cenie rynkowej).

Zachowania przedsi

ę

biorstwa na rynku mog

ą

by

ć

rozwa

ż

ane w ró

ż

nej skali czasowej.

W przypadku długiego okresu, mówimy o strategii długookresowej przedsi

ę

biorstwa, natomiast

w przypadku krótkiego okresu o strategii krótkookresowej.

W długim okresie przedsi

ę

biorstwo ma mo

ż

liwo

ść

wyboru dowolnego wektora nakładów, a zadanie

maksymalizacji dochodu w warunkach długookresowej strategii rozwoju przyjmuje posta

ć

:

0

},

,

)

(

max{

≥

−

x

dla

x

v

x

pf

dr Agnieszka Bobrowska

19

Ekonomia matematyczna I

gdzie:

p - cena wytwarzanego towaru,

x - wektor towarów zu

ż

ywanych jako czynniki produkcji,

v - wektor cen czynników produkcji.

Zatem producent maksymalizuje ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy przychodami z produkcji

)

(x

pf

a kosztami

wytwarzania

x

v,

. Przedsi

ę

biorca nie ma wpływu na ceny czynników wytwórczych v i cen

ę

wytworzonego przez siebie towaru. Przedmiotem decyzji przedsi

ę

biorstwa jest wielko

ść

produkcji

)

(x

f

oraz nakładów czynników wytwórczych

x

.

Rozwi

ą

zanie zadania maksymalizacji dochodu przedsi

ę

biorstwa wyja

ś

nia nast

ę

puj

ą

ce twierdzenie:

Twierdzenie 5.2.

Je

ż

eli funkcja produkcji f ma własno

ś

ci (I), (II) (patrz podrozdział 5.2.) i jest

silnie wkl

ę

sła na obszarze okre

ś

lono

ś

ci, a ceny p i v spełniaj

ą

warunki

,

lim

,

0

x

x

x

x

f

p

v

x

f

p

p

=

+∞

→

∂

∂

<

<

∂

∂

>

to:

1.

Po pierwsze zadanie maksymalizacji dochodu producenta ma rozwi

ą

zanie

x

>0.

2.

Po drugie warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwi

ą

zania zadania jest

spełnienie układu równa

ń

:

v

x

f

p

x

x

=

∂

∂

=

(Dla zainteresowanych dowód twierdzenia: E. Panek, „Ekonomia matematyczna”, Pozna

ń

2000,

s. 93).

Oznaczmy przez

ξ

funkcj

ę

produkcyjnego popytu na czynniki wytwórcze:

)

,

(

v

p

x

ξ

=

. Jest to

funkcja wyja

ś

niaj

ą

ca jak popyt produkcyjny na towary zale

ż

y od cen towaru wytwarzanego i cen

zu

ż

ywanych czynników wytwórczych.

Zakłada si

ę

,

ż

e funkcja

ξ

jest ci

ą

gła wraz z pierwszymi pochodnymi w otoczeniu punktu (p,v)>0

i jest dodatnio jednorodna stopnia 0, czyli:

))

,

(

)

,

(

(

0

,

0

,

0

v

p

v

p

v

p

ξ

λ

λ

ξ

λ

=

>

∀

>

∀

>

∀

Gdy podstawimy funkcj

ę

ξ

produkcyjnego popytu na towary do funkcji produkcji f, otrzymamy

funkcj

ę

poda

ż

y towaru

η

, ustalaj

ą

c

ą

zale

ż

no

ść

optymalnego rozmiaru produkcji od ceny towaru

wytwarzanego (p) i cen czynników wytwórczych (v):

dr Agnieszka Bobrowska

20

Ekonomia matematyczna I

)

,

(

))

,

(

(

)

(

v

p

v

p

f

x

f

y

η

ξ

=

=

=

Je

ż

eli

)

(

1

2

+

+

→

∈

R

R

C

f

k

(f jest dwukrotnie ró

ż

niczkowalna i ci

ą

gła wraz z pochodnymi

cz

ą

stkowymi pierwszego i drugiego rz

ę

du), to funkcja

η

jest ci

ą

gła wraz z pierwszymi pochodnymi

wsz

ę

dzie tam gdzie własno

ść

t

ę

ma funkcja popytu produkcyjnego na towary, funkcja

η

jest tak

ż

e

dodatnio jednorodna stopnia 0, czyli:

))

,

(

)

,

(

(

0

,

0

,

0

v

p

v

p

v

p

η

λ

λ

η

λ

=

>

∀

>

∀

>

∀

Gdy zało

ż

ymy,

ż

e na rynku ustaliły si

ę

ceny p>0, v>0, a przedsi

ę

biorstwo zdecydowało si

ę

na

poziom produkcji y>0 i interesuje je minimalizacja kosztów produkcji, wówczas mówimy o zadaniu

minimalizacji kosztów produkcji. Zadaniem to sprowadza si

ę

do znalezienie minimum iloczynu

skalarnego wektorów v i x, przy czym

0

),

(

≥

=

x

x

f

y

, co zapisujemy:

x

v,

min

przy ograniczeniach:

0

),

(

≥

=

x

x

f

y

.

Funkcj

ę

c postaci:

x

v

y

c

x

y

x

f

,

min

)

(

0

,

)

(

≥

=

=

nazywamy

funkcj

ą

kosztów przedsi

ę

biorstwa

, ustalaj

ą

c

ą

zale

ż

no

ść

minimalnych kosztów od

wielko

ś

ci produkcji.

Twierdzenie 5.3.

Je

ż

eli funkcja produkcji f spełnia warunki (I)-(IV) i jest silnie quasi wkl

ę

sła,

to funkcja kosztów c jest okre

ś

lona na przedziale [0,+

∞

), ci

ą

gła i dodatnio jednorodna stopnia 1

na obszarze okre

ś

lono

ś

ci.

Wniosek:

Poniewa

ż

funkcja kosztów przedsi

ę

biorstwa c charakteryzuje optymalne koszty przedsi

ę

biorstwa

przy ró

ż

nych poziomach produkcji, wnioskujemy st

ą

d,

ż

e optymaln

ą

dla przedsi

ę

biorstwa wielko

ść

produkcji mo

ż

na ustali

ć

znajduj

ą

c maksimum ró

ż

nicy

)

( y

c

py

−

:

dr Agnieszka Bobrowska

21

Ekonomia matematyczna I

{

}

)

(

max

y

c

py

−

przy ograniczeniach:

0

≥

y

.

O ile funkcja kosztów jest ci

ą

gła, ró

ż

niczkowalna i ma typowy kształt odwróconej litery s, to

optymalny poziom produkcji jest osi

ą

gany, gdy cena towaru wytwarzanego równa jest kosztom

kra

ń

cowym. Po przekroczeniu punktu optymalnego koszty kra

ń

cowe wzrastaj

ą

.

W przypadku funkcji produkcji z malej

ą

cymi (rosn

ą

cymi) kra

ń

cowymi wydajno

ś

ciami nakładów,

krzywa kosztów jest funkcj

ą

wypukł

ą

(wkl

ę

sł

ą

).

W szczególno

ś

ci, gdy funkcja produkcji spełnia zało

ż

enie o proporcjonalnych przychodach, funkcja

kosztów przedsi

ę

biorstwa jest liniowa, a koszty kra

ń

cowe s

ą

wtedy stałe.

Przykład rozwi

ą

zania zadania

{

}

)

(

max

y

c

py

−

dla

0

≥

y

ilustruje rysunek 5.2.

Rys.5.2.

Przedsi

ę

biorstwo w krótkim okresie, inaczej ni

ż

w przypadku długich okresów, napotyka na bariery

zwi

ą

zane z ograniczono

ś

ci

ą

czynników wytwórczych, np. na rynku dost

ę

pna jest ograniczona oferta

okre

ś

lonego typu maszyn, czy surowców, czy siły roboczej. Zakładaj

ą

c,

ż

e warunki ograniczaj

ą

ce

mo

ż

na zapisa

ć

w postaci funkcji niejawnej

0

)

(

=

x

g

, w zadaniu maksymalizacji dochodów pojawiaj

ą

si

ę

dodatkowe ograniczenia. Zadanie maksymalizacji dochodu polega w tej sytuacji na znalezieniu

y

0

py

)

( y

c

y

dr Agnieszka Bobrowska

22

Ekonomia matematyczna I

maksimum ró

ż

nicy

x

v

x

pf

,

)

(

−

, przy dodatkowych zało

ż

eniach, tym razem w postaci:

0

,

0

)

(

≥

=

x

x

g

i zapisujemy je nast

ę

puj

ą

co:

0

,

0

)

(

},

,

)

(

max{

≥

=

−

x

x

g

dla

x

v

x

pf

.

Model racjonalnie zachowuj

ą

cego si

ę

przedsi

ę

biorstwa, działaj

ą

cego w warunkach konkurencji

doskonałej w teorii przedsi

ę

biorstwa, opisuje zachowania producentów (przedsi

ę

biorców) oraz jest

prób

ą

wyja

ś

nienia, w jaki sposób rynek wpływa na decyzje producentów (przedsi

ę

biorców), których

ograniczaj

ą

okre

ś

lone przychody ze sprzeda

ż

y wytworzonych towarów oraz ceny wytworzonych

towarów.

Wnioski:

1. Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwi

ę

kszenia optymalnej wielko

ś

ci produkcji

(przy ustalonych cenach towarów zu

ż

ywanych w procesie produkcji krzywa poda

ż

y towaru

wytwarzanego jest rosn

ą

c

ą

funkcj

ą

jego ceny). Symbolicznie:

0

>

∂

∂

p

η

.

1. Wzrost ceny wytwarzanego towaru powoduje wzrost (spadek) popytu na i-ty

ś

rodek produkcji,

wtedy i tylko wtedy, gdy zwi

ę

kszenie ceny tego

ś

rodka prowadzi do obni

ż

enia (wzrostu)

optymalnego poziomu produkcji. Symbolicznie:

p

v

∂

∂

−

=

∂

∂

ξ

η

.

2. Wpływ zmiany ceny i-tego

ś

rodka produkcji na popyt na j-ty

ś

rodek produkcji jest taki sam jak

wpływ, jaki zmiana ceny j-tego

ś

rodka wywiera na popyt na i-ty

ś

rodek produkcji. Symbolicznie:















∂

∂

=

∂

∂

∀

i

j

j

i

v

v

j

i

ξ

ξ

,

.

3. Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwi

ę

kszenia popytu na przynajmniej niektóre

ś

rodki produkcji. Wniosek ten zapisujemy w postaci:

dr Agnieszka Bobrowska

23

Ekonomia matematyczna I













>

∂

∂

∃

0

p

i

i

ξ

.

4. Istniej

ą

te

ż

ś

rodki produkcji, których wzrost ceny prowadzi do spadku optymalnego poziomu

produkcji, co zapisujemy:















>

∂

∂

∃

0

j

v

j

η

.

5.5.2. Przedsi

ę

biorstwo w warunkach monopolu.

Monopol oznacza sytuacj

ę

, w której na rynku wyst

ę

puje jedyny producent (sprzedawca)

okre

ś

lonego towaru, który nie ma bliskich substytutów. Sytuacja monopolistyczna mo

ż

e dotyczy

ć

tak

ż

e popytowej strony rynku. Wtedy istnieje jedyny nabywca danego towaru oferowanego przez wielu

sprzedawców. Podmiot, maj

ą

cy na rynku pozycj

ę

monopolisty, mo

ż

e dyktowa

ć

warunki, wpływa

ć

na

cen

ę

wytwarzanego przez siebie towaru, decyduj

ą

c o ilo

ś

ciach, które wytwarza lub wpływa

ć

na cen

ę

zakupywanych towarów manipuluj

ą

c wielko

ś

ci

ą

popytu. Celem monopolisty jest osi

ą

ganie jak

najwi

ę

kszego dochodu. W swoich decyzjach musi jednak uwzgl

ę

dnia

ć

pewne ograniczenia rynkowe,

i tak w przypadku monopolu poda

ż

y jest to funkcja popytu nabywców oraz znana mu technologia

produkcji. Z kolei w przypadku monopolu popytu (monopsonu) ograniczeniem dla nabywcy

posiadaj

ą

cego wył

ą

czno

ść

s

ą

funkcje poda

ż

y producentów oferuj

ą

cych dany towar na rynku, mo

ż

na

to kolokwialnie nazwa

ć

wytrzymało

ś

ci

ą

sprzedawców na warunki cenowe monopsonisty. Je

ż

eli na

rynku wyst

ę

puje jednocze

ś

nie monopol popytu i poda

ż

y to mówimy,

ż

e na rynku panuje pełny

monopol. Przedsi

ę

biorca działaj

ą

cy w warunkach monopolu pełnego uzale

ż

nia cen

ę

swojego

produktu od wielko

ś

ci sprzeda

ż

y i gotowy jest w ka

ż

dej chwili obni

ż

y

ć

t

ę

cen

ę

, je

ż

eli pozwoli to

zwi

ę

kszy

ć

sprzeda

ż

oraz skłonny jest płaci

ć

wy

ż

sz

ą

cen

ę

za dodatkowe niezb

ę

dne nakłady, pod

warunkiem,

ż

e osi

ą

gnie w ten sposób wy

ż

szy dochód.

Zakładamy zatem,

ż

e:

(I)

0

<

dy

dp

,

(II)













>

∀

0

i

i

dx

dv

i

.

Przy tych zało

ż

eniach zadanie maksymalizacji dochodu w warunkach konkurencji niedoskonałej

(monopolu pełnego) mo

ż

na zapisa

ć

:

dr Agnieszka Bobrowska

24

Ekonomia matematyczna I

0

),

(

},

),

(

)

(

max{

≥

=

−

x

x

f

y

dla

x

x

v

y

y

p

.

Oznaczmy przez

y

y

p

y

r

)

(

)

(

=

funkcj

ę

dochodu monopolisty, a przez

x

x

v

y

c

),

(

)

(

=

funkcj

ę

kosztu. Przy tych oznaczeniach zadanie maksymalizacji zysku monopolisty przybiera posta

ć

:

{

}

0

,

)

(

)

(

max

≥

−

y

dla

y

c

y

r

.

Optimum producenta znajduje si

ę

wtedy na poziomie produkcji, przy którym kra

ń

cowy przychód jest

równy kra

ń

cowemu kosztowi:

y

c

y

r

∂

∂

=

∂

∂

.

Wynika to z tego,

ż

e zrównanie kra

ń

cowego przychodu z kra

ń

cowym kosztem jest jedyn

ą

sytuacj

ą

,

w której przedsi

ę

biorstwo nie ma powodu do zmiany poziomu produkcji.

Dla porównania w sytuacji, w której kra

ń

cowy przychód byłby mniejszy od kra

ń

cowego kosztu,

przedsi

ę

biorstwu opłacałoby si

ę

zmniejszy

ć

produkcj

ę

, bowiem oszcz

ę

dno

ś

ci po stronie kosztu

przewy

ż

szałyby strat

ę

po stronie przychodu.

Natomiast w przypadku wy

ż

szego kra

ń

cowego przychodu w stosunku do kra

ń

cowego kosztu,

przedsi

ę

biorstwu opłacałoby si

ę

z kolei powi

ę

kszenie produkcji.

5.5.3. Przedsi

ę

biorstwo w warunkach oligopolu

Obok omówionych w poprzednich podrozdziałach teoretycznych modeli rynków, tj. modelu

doskonałej konkurencji oraz monopolu pełnego, nie wyst

ę

puj

ą

cych w rzeczywisto

ś

ci gospodarczej

w swojej czystej postaci, na uwag

ę

zasługuje model rynku oligopolistycznego.

Oligopol jest sytuacj

ą

, w której na rynku wyst

ę

puje niewielu uczestników po stronie poda

ż

y, a po

stronie popytu jest wiele podmiotów. Tak

ą

sytuacj

ę

na rynku nazywamy oligopolem poda

ż

y. Mo

ż

e

wyst

ą

pi

ć

tak

ż

e oligopol popytu, zwany tak

ż

e oligopsonem. Wtedy na rynku wyst

ę

puje niewielu

nabywców a wielu sprzedawców.

Rynek oligopolistyczny nie jest doskonale przejrzysty. Jego uczestnicy mog

ą

nie dysponowa

ć

pełn

ą

informacj

ą

. Powoduje to ograniczenia optymalizacji decyzji.

Mo

ż

e wyst

ą

pi

ć

przypadek oligopolu homogenicznego, gdy dostarczany jest na rynek jednorodny

produkt, a sprzedawcy nie maj

ą

preferencji co do nabywców. Mo

ż

e tak

ż

e mie

ć

miejsce przypadek

oligopolu heterogenicznego, gdy na rynku oferowane s

ą

produkty zró

ż

nicowane, b

ę

d

ą

ce bliskimi

substytutami.

Przyczyn

ą

pojawienia si

ę

oligopolu s

ą

rosn

ą

ce korzy

ś

ci skali produkcji, przy ograniczonej

pojemno

ś

ci rynku. W takiej sytuacji na rynku mo

ż

e działa

ć

niewielu przedsi

ę

biorców. Konkurencja

mi

ę

dzy oligopolistami sprowadza si

ę

do uzale

ż

niania decyzji o cenach i ilo

ś

ciach produkcji od

przewidywanych zachowa

ń

konkurentów.

dr Agnieszka Bobrowska

25

Ekonomia matematyczna I

Bior

ą

c pod uwag

ę

, liczb

ę

oligopolistów, ich udziały w rynku, szybko

ść

uczenia si

ę

, mo

ż

liwo

ś

ci

przewidywania, wyodr

ę

bni

ć

mo

ż

na wiele odmian oligopolu, a tak

ż

e wiele form konkurencji

oligopolistycznej. Powstało w zwi

ą

zku z tym wiele teorii oligopolu.

W naszym wykładzie ograniczymy si

ę

do zaprezentowania szczególnego (uproszczonego)

przypadku oligopolu po stronie poda

ż

y, jakim jest duopol poda

ż

y. Duopol poda

ż

y ma miejsce

wówczas, gdy na rynku wyst

ę

puj

ą

dwie konkuruj

ą

ce ze sob

ą

firmy.

W celu wyja

ś

nienia zachowania dwóch oligopolistów, w przypadku, gdy ka

ż

dy z nich podejmuje

decyzje zakładaj

ą

c,

ż

e druga konkurencyjna firma nie zmieni swej pozycji, przedstawimy najstarszy

model produkcji w oligopolu homogenicznym, tak zwany model Cournota.

Model ten zakłada,

ż

e na rynku działaj

ą

dwie firmy, co do których nabywcy nie posiadaj

ą

okre

ś

lonych preferencji. Firmy te produkuj

ą

to samo dobro, a swoje decyzje odno

ś

nie ilo

ś

ci produkcji

podejmuj

ą

niezale

ż

nie od drugiego. Nabywcy znaj

ą

ceny oferowanego przez obie firmy dobra. Celem

ka

ż

dego z producentów jest maksymalizacja zysku. Obaj przypuszczaj

ą

,

ż

e wielko

ść

produkcji drugiej

firmy jest z góry zadana i si

ę

nie zmienia. Je

ś

li jednak wyst

ą

pi

ą

u konkurenta jakie

ś

zmiany w ilo

ś

ci

produkcji, wówczas druga firma dostosowuje si

ę

do nich ex post.

Zanim przejdziemy do omówienia zachowa

ń

producentów w przedstawionej powy

ż

ej formie

duopolu, wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

1

Q

- wielko

ść

produkcji pierwszej firmy,

2

Q

- wielko

ść

produkcji drugiej firmy,

1

Z

- zysk pierwszej firmy,

2

Z

- zysk drugiej firmy,

1

R

- przychód całkowity pierwszej firmy,

2

R

- przychód całkowity drugiej firmy,

1

C

- koszt całkowity pierwszej firmy,

2

C

- koszt całkowity drugiej firmy,

c

ε

- elastyczno

ść

cenowa popytu,

Przychody obu firm zale

żą

od ilo

ś

ci wyprodukowanych przez nich dóbr, tj. od

1

Q

i

2

Q

, natomiast

koszty s

ą

wył

ą

cznie funkcj

ą

ich własnej produkcji, co zapisujemy nast

ę

puj

ą

co:

)

,

(

2

1

1

1

Q

Q

R

R

=

i

)

(

1

1

1

Q

C

C

=

, dla pierwszej firmy

oraz

)

,

(

2

1

2

2

Q

Q

R

R

=

i

)

(

2

2

2

Q

C

C

=

, dla firmy drugiej.

St

ą

d otrzymujemy,

ż

e zysk pierwszej firmy

1

Z

wynosi:

dr Agnieszka Bobrowska

26

Ekonomia matematyczna I

(

)

)

,

(

),

(

)

,

(

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

Q

Q

Z

Z

Q

C

Q

Q

R

Z

=

−

=

Z kolei zysk drugiej firmy

2

Z

wynosi:

(

)

)

,

(

),

(

)

,

(

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

Q

Q

Z

Z

Q

C

Q

Q

R

Z

=

−

=

.

Zanim wyznaczymy równowag

ę

duopolu w modelu Cournota, wyja

ś

nijmy potrzebne nam do tego

poj

ę

cie izokwanty zysku oraz poj

ę

cie krzywej reakcji:

Izokwanta zysku (

Z

)

to zbiór wszystkich punktów stanowi

ą

cych kombinacj

ę

ilo

ś

ci produkcji

2

1

, Q

Q

obu producentów, dla których jedna z firm osi

ą

ga zyski na stałym poziomie

Z

.

Krzywa reakcji

to zbiór punktów reprezentuj

ą

cych ró

ż

ne ilo

ś

ci produkcji jednego

z producentów, działaj

ą

cego w warunkach duopolu, w zale

ż

no

ś

ci od ilo

ś

ci produkcji drugiego

producenta, które przy danych kosztach maksymalizuj

ą

zysk.

Jak ju

ż

wiemy, zysk jednego duopolisty przy danych kosztach zale

ż

y od niekontrolowanej przez

niego wielko

ś

ci produkcji jego konkurenta. W celu ułatwienia rozwa

ż

a

ń

, mo

ż

emy przyj

ąć

,

ż

e koszty

obu duopolistów wynosz

ą

zero (

0

,

0

2

1

=

=

C

C

). Wtedy ich zyski s

ą

równe ich całkowitym

przychodom:

)

,

(

2

1

1

1

Q

Q

R

Z

=

, dla firmy pierwszej

oraz

)

,

(

2

1

2

2

Q

Q

R

Z

=

, dla firmy drugiej.

Przy tych zało

ż

eniach, w sytuacji, gdy pierwsza firma b

ę

dzie produkowa

ć

1

Q

dóbr, natomiast

produkcja drugiej firmy wyniesie zero (

0

2

=

Q

), wówczas firma pierwsza osi

ą

gnie maksymalny zysk:

max

1

=

Z

,

a wi

ę

c:

max

1

=

R

, gdy

1

=

c

ε

.

Wraz ze zwi

ę

kszaniem swojej produkcji od zera do

1

Q

, zysk pierwszej firmy b

ę

dzie wzrastał,

poniewa

ż

1

>

c

ε

. Elastyczno

ść

cenowa popytu wi

ę

ksza od 1 oznacza,

ż

e obni

ż

anie si

ę

ceny jest

wolniejsze ni

ż

wzrost produkcji. W przypadku, gdy firma b

ę

dzie powi

ę

ksza

ć

produkcj

ę

ponad

1

Q

,

dr Agnieszka Bobrowska

27

Ekonomia matematyczna I

wówczas jej zysk b

ę

dzie si

ę

zmniejsza

ć

, poniewa

ż

tempo zmniejszania si

ę

cen b

ę

dzie wi

ę

ksze ni

ż

tempo wzrostu produkcji (

1

<

c

ε

).

Zatem, aby zysk pierwszej firmy utrzymał si

ę

na stałym poziomie, gdy ona b

ę

dzie zwi

ę

ksza

ć

produkcj

ę

od zero do

1

Q

, firma druga b

ę

dzie musiała zwi

ę

ksza

ć

odpowiednio ilo

ść

produkowanych

przez siebie dóbr, co spowoduje przyspieszenie tempa spadku cen. W momencie, gdy firma pierwsza

b

ę

dzie zwi

ę

ksza

ć

produkcj

ę

ponad ilo

ść

1

Q

, wówczas firma druga b

ę

dzie musiała zmniejszy

ć

swoj

ą

produkcj

ę

, co przyhamuje spadek cen. Analogiczne rozumowanie przeprowadza si

ę

w odniesieniu do

drugiej firmy.

Wniosek:

Na podstawie przeprowadzonych rozwa

ż

a

ń

, wnioskujemy, ze izokwanty zysku obu firm przyjmuj

ą

kształt paraboli.

Uwaga:

Na kształt izokwant zysku obu firm wpływa przebieg linii popytu na ich produkt.

Przebieg izokwant zysku wraz z krzywymi reakcji przedstawia rysunek 5.3.

Rys.5.3. Izokwanty zysku i krzywe reakcji dla duopolistów w modelu Cournota.

Na rysunku 5.3. wida

ć

wyra

ź

nie,

ż

e im dalej od osi rz

ę

dnych poło

ż

ona jest izokwanta pierwszej

firmy, tym wi

ę

ksza jest produkcja drugiej firmy, zatem cena produktu maleje.

Wniosek:

1. Im bli

ż

ej osi

1

Q

poło

ż

ona jest izokwanta zysku pierwszej firmy, tym wi

ę

kszy zysk ona osi

ą

ga.

2. Im bli

ż

ej osi

2

Q

poło

ż

ona jest izokwanta zysku drugiej firmy, tym wi

ę

kszy zysk ona osi

ą

ga.

Firma 1

Firma 2

0

1

Q

1

Q

2

2

Q

Q

0

1

Q

)

(

2

1

Q

f

Q

=

)

(

1

2

Q

f

Q

=

2

Q

dr Agnieszka Bobrowska

28

Ekonomia matematyczna I

W punktach styczno

ś

ci izokwant zysku pierwszej firmy z prostymi równoległymi do osi

1

Q

znajduj

ą

si

ę

punkty wyznaczaj

ą

ce ilo

ść

produkcji pierwszej firmy przy danej produkcji drugiej firmy,

przy której osi

ą

ga ona najwi

ę

kszy zysk. Analogiczne jest w przypadku firmy drugiej i odpowiadaj

ą

cych

jej izokwant. W wyniku poł

ą

czenia tych punktów otrzymujemy krzywe reakcji obu duopolistów, opisane

przez funkcje:

)

(

2

1

Q

f

Q

=

dla firmy pierwszej

oraz

)

(

1

2

Q

f

Q

=

dla firmy drugiej.

Zestawienie krzywych reakcji obu firm, pozwala odtworzy

ć

mechanizm interakcji mi

ę

dzy nimi, który

prowadzi do ustalenia równowagi duopolu. Proces wzajemnych dostosowa

ń

obu firm przedstawia

rysunek 5.4.

Załó

ż

my,

ż

e produkcja drugiej firmy wynosi

2

Q

. Wówczas przypuszcza si

ę

,

ż

e produkcja pierwszej

firmy wyniesie zero, jednak tak si

ę

nie dzieje. Pierwsza firma, zgodnie z jej krzyw

ą

reakcji

)

(

2

1

Q

f

Q

=

, ustala produkcj

ę

na poziomie

1

Q

. W tym momencie firma druga, niespodziewaj

ą

ca si

ę

takiego zachowania firmy pierwszej, reaguje na nie zmniejszeniem produkcji do poziomu

'

2

Q

.

Pierwsza firma decyduje si

ę

w tej sytuacji zwi

ę

kszy

ć

produkcj

ę

do poziomu

'

1

Q

, czym po raz kolejny

zaskakuje firm

ę

drug

ą

.

Rys. 5.3. Równowaga duopolu w modelu Cournota.

0

1

Q

''

1

'

1

Q

Q

…

1

Q

2

Q

2

Q

'

2

Q

''

2

Q

E

)

(

2

1

Q

f

Q

=

)

(

1

2

Q

f

Q

=

dr Agnieszka Bobrowska

29

Ekonomia matematyczna I

Jak łatwo zauwa

ż

y

ć

ka

ż

dorazowa zmiana zachowania jednej z firm wywołuje reakcj

ę

drugiej,

Dzieje si

ę

tak dlatego,

ż

e producenci, aby móc osi

ą

gn

ąć

maksymalne zyski, podejmuj

ą

ka

ż

dorazowo

odpowiednie działania dostosowawcze. Proces wzajemnych dostosowa

ń

obu producentów zako

ń

czy

si

ę

w momencie przeci

ę

cia krzywych ich reakcji, czyli w momencie, gdy jeden duopolista produkuje

dokładnie tak

ą

ilo

ść

, której oczekiwał konkurent.

Punkt przeci

ę

cia krzywych reakcji

( )

E

wyznacza równowag

ę

duopolu. Nale

ż

y podkre

ś

li

ć

,

ż

e

osi

ą

gniecie stanu równowagi jest mo

ż

liwe, o ile krzywe reakcji obu firm maj

ą

odpowiednie nachylenie,

a dokładniej kiedy warto

ść

nachylenia krzywej reakcji pierwszej firmy jest wi

ę

ksza od warto

ś

ci

nachylenia krzywej reakcji firmy drugiej.

Podsumowanie:

1. Teoria produkcji wykorzystuj

ą

c prakseologiczne prawa produkcji pozwala sformułowa

ć

matematyczne modele zwane funkcjami produkcji.

2. Neoklasyczna teoria produkcji jest podstaw

ą

sformułowania modelu funkcjonowania

przedsi

ę

biorstwa w warunkach rynku doskonałego i warunkach rynku niedoskonałego

(doskonała konkurencja, monopol i oligopol,

3. Zało

ż

enia neoklasycznej teorii produkcji dotycz

ą

racjonalnych zachowa

ń

przedsi

ę

biorców,

funkcjonowania mechanizmu rynkowego tp

dr Agnieszka Bobrowska

30

Ekonomia matematyczna I

Pytania kontrolne:

1. Zdefiniuj przestrze

ń

towarów.

2. Które z praw produkcji s

ą

bezwzgl

ę

dnie obowi

ą

zuj

ą

ce?

3. Jakie s

ą

standardowe własno

ś

ci funkcji produkcji?

4. Podaj posta

ć

i interpretacj

ę

parametrów funkcji produkcji Cobb’a-Douglas’a.

5. Dla jakiego typu procesów produkcyjnych stosowa

ć

mo

ż

na funkcj

ę

CES?

6. Podaj zadania decyzyjne producentów w warunkach doskonałej konkurencji i monopolu

pełnego, zinterpretuj ró

ż

nice.

7. Podaj zało

ż

enia modelu duopolu Cournota.