EM1-wykład 5

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Wykład 5

5. Teoria produkcji – uj

cie neoklasyczne

5.1. Produkcja jako proces. Czynniki produkcji a wynik działalno

ci produkcyjnej. Cele

producenta.

Konsument, odczuwaj

cy konkretne potrzeby oraz zdaj

cy sobie spraw

z ich istnienia, poszukuje

na rynku dóbr, które mogłyby te potrzeby w mo

liwie jak najwi

kszym stopniu zaspokoi

. Konsument

dokonuje wyboru koszyka towarów ze zbioru wszystkich znajduj

cych si

na rynku koszyków

towarów.

Aby towary, z których konsument dokonuje wyboru, znalazły si

na rynku musz

najpierw zosta

wyprodukowane. Ten swoisty truizm wskazuje na konieczno

ść

rozszerzenia rozwa

o sfer

produkcji oraz wymaga uwzgl

dnienia na rynku w zbiorze towarów, towarów b

cych czynnikami

produkcji. Z tego wzgl

du na rynku towarów b

dziemy wyró

nia

, przyjmuj

c za kryterium podziału

rodzaj pełnionej funkcji, trzy podstawowe grupy towarów:

- towary konsumpcyjne,

- czynniki produkcji: praca i kapitał (finansowy i rzeczowy),

- towary w podwójnej roli

rodków produkcji i

rodków konsumpcji.

Z teoretycznego punktu widzenia wymiana ma identyczny charakter niezale

nie od typu towaru,

nie ma te

znaczenia czy towary obu typów stanowi

zawarto

ść

jednego koszyka, czy te

w jaki

sposób wyró

niane.

Natomiast wskazana jest jednoznaczno

ść

podej

cia - albo mówimy o rynku towarów w ogóle, albo

obok rynku towarów konsumpcyjnych wyró

nia si

rynki czynników wytwórczych.

Nale

y podkre

, i

w ekonomii matematycznej równoprawne s

oba podej

cia, wynika to z faktu,

podział na towary konsumpcyjne i towary produkcyjne ma charakter funkcjonalny. Ten podział staje

istotny, gdy nast

pi ju

wymiana i trzeba zdecydowa

o przeznaczeniu towarów na cele

konsumpcyjne czy produkcyjne.

W gospodarce i na rynku obok konsumentów wyró

niamy zatem producentów, przy czym ta grupa

podmiotów to zarówno pojedyncze osoby prowadz

ce działalno

ść

wytwórcz

, jak i przedsi

biorstwa

(kombinaty, fabryki, spółdzielnie).

Cech

charakterystyczn

produkcji jest najogólniej przekształcenie jednej wi

zki towarów w inn

Traktuj

c proces produkcyjny jako czarn

skrzynk

ze znanymi wej

ciami i wyj

ciami oraz ustalon

zasad

transformacji wej

ść

w wyj

cia i uto

samiaj

c wej

cia z ponoszonymi nakładami, a wyj

cia

z wynikami procesu produkcji, działalno

ść

dego producenta mo

na najogólniej okre

jako proces

transformacji nakładów w wyniki.

Rozwa

ania na temat procesów produkcji w sformalizowanym uj

ciu wła

ciwym ekonomii

matematycznej wymagaj

przyj

cia pewnych zało

uogólniaj

cych. Przede wszystkim, podobnie jak

w przypadku teorii popytu, zakłada si

e podmioty prowadz

ce działalno

ść

gospodarcz

zachowuj

Wykład opracowany na podstawie E. Panek, „Ekonomia matematyczna”, Pozna

2000, rozdział 2 oraz

B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław
2001, rozdział 13 i 14

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

racjonalnie, a celem ich działania jest maksymalizacja dochodu z prowadzonej działalno

a czasami w uproszczeniu maksymalizacja wielko

ci produkcji. Przyjmuje si

dodatkowo,

produkowane towary i wykorzystywane czynniki wytwórcze s

doskonale podzielne. Producenci

podejmuj

decyzje niezale

nie, kieruj

c si

tylko własnymi celami i informacjami z rynku, który jest dla

nich doskonale przejrzysty.

na zatem ogólnie stwierdzi

e modelowe uj

cie procesów produkcji wyprowadzany jest

z zało

neoklasycznej teorii ekonomii.

Procesy produkcji realizowane przez poszczególnych producentów mog

opisywane par

wektorów (x,y), gdzie x jest wektorem zu

ycia towarów, a y jest wektorem produkcji.

Własno

ci takich procesów wynikaj

z przyjmowanych zało

o technologiach wytwarzania oraz

o warunkach panuj

cych na rynku (od monopolu do konkurencji doskonałej).

5.2. Przestrze

produkcyjna

Zakładamy,

e w gospodarce wyst

puje n rodzajów towarów, s

to zarówno towary konsumpcyjne,

jak produkcyjne.

Działalno

ść

pojedynczego producenta mo

na opisa

za pomoc

nieujemnego, 2n-elementowego

wektora

)

,...,

(

, zło

onego z pary n-wymiarowych wektorów nakładów (zu

ycia)

)

,...,

(

i wyników (produkcji)

)

,...,

(

, tworz

cych dopuszczalny proces

produkcji w sensie technologii, któr

dysponuje producent.

Technologia produkcji oznacza sposób przekształcenia okre

lonego wektora nakładów w dany

wektor wyników. Determinuje ona w sposób jednoznaczny, jakie rodzaje nakładów i w jakich ilo

ciach

musz

zastosowane, aby otrzyma

okre

lony wynik procesu produkcji. W gospodarce na ogół

znane s

rozmaite technologie pozwalaj

ce otrzyma

z góry okre

lony produkt. Te technologie ró

wielko

i rodzajem nakładów przypadaj

cych na jednostk

wytworzonego produktu, co

w ekonomii okre

la si

jako zró

nicowanie ich efektywno

ci ekonomicznej.

eli przyjmujemy,

e producenci działaj

na rynku doskonale konkurencyjnym i zachowuj

racjonalnie, to musimy równocze

nie przyj

ąć

e znaj

wszystkie mo

liwe do zastosowania

technologie i wybieraj

optymaln

, czyli w danych warunkach rynkowych najefektywniejsz

Zbiór wszystkich znanych i mo

liwych do zastosowania technologii produkcji okre

lamy mianem

dopuszczalnych technologii produkcji, a o procesach produkcji, w których owe technologie znajduj

zastosowanie mówimy,

e tworz

zbiór technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji.

Zbiór

⊂

wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji z norm

max

nazywamy

przestrzeni

produkcyjn

w uj

ciu procesów

(przestrzeni

produkcyjn

W dopuszczalnym procesie produkcyjnym

∈

)

(

w pewnej gospodarce i-ty towar mo

e by

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

jednocze

nie zu

ywany i wytwarzany, w procesie

)

(

dodatnie b

wtedy odpowiednie

składowe obu wektorów (np. energia elektryczna w elektrowni),

wył

cznie zu

ywany, w procesie

)

(

dodatniej składowej wektora x odpowiada zerowa

współrz

dna wektora y (np. ruda

elaza w hucie),

wył

cznie wytwarzany, w procesie

)

(

zerowej składowej wektora x, odpowiada dodatnia

składowa wektora y (np. chleb w piekarni),

e w ogóle nie wyst

jako element nakładów i wyników, w takim procesie zerowe b

wtedy odpowiednie współrz

dne obu wektorów (np. ruda

elaza w piekarni).

Aby bli

ej scharakteryzowa

przestrzenie p-produkcyjne nale

y przyj

ąć

dodatkowe zało

enia

zwane tak

e prawami produkcji. S

one bezpo

rednio wywodzone z obserwacji rzeczywistych

procesów produkcyjnych, maj

charakter prakseologicznych uogólnie

1. Zało

enie proporcjonalno

ci przychodów:

(

)

⊆

≥

∀

2. Zało

enie malej

cych przychodów:

)

(

)

(

)

[

⊄

∃

∧

⊆

∈

∀

3. Zało

enie rosn

cych przychodów:

)

(

)

(

)

(

⊄

∈

∃

∧

⊆

∀

4. Zało

enie addytywno

ci procesów produkcyjnych:

∈

⇒

∈

∧

∈

)

(

)

(

)

(

5. Zało

enie "braku rogu obfito

ci":

)

(

⇒

∈

6. Zało

enie nieodwracalno

ci procesów produkcji:

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

∉

⇒

∈

∧

≠

)

(

)

(

7. Zało

enie mo

liwo

ci marnotrawstwa I:

∈

⇒

≤

∧

∈

)

(

)

(

8. Zało

enie mo

liwo

ci marnotrawstwa II:

∈

⇒

≥

∧

∈

)

(

)

(

9. Zało

enie domkni

ci przestrzeni p-produkcyjnej:

∈

⇒

→

∧

∈

)

(

)

(

)

(

)

(

Uwagi:

1. Nie wszystkie wymienione warunki mog

zachodzi

równocze

nie w danym procesie

produkcyjnym.

Na przykład warunki (1), (2), (3) wykluczaj

wzajemnie, zatem procesy p-produkcyjne spełnia

mog

zało

enia: (1) i (4)-(9); (2) i (4)-(9);(3) i (4)-(9).

Co si

natomiast tyczy pojedynczych zało

, to mog

one by

zinterpretowane w nast

puj

sposób:

2. Zało

enie

proporcjonalno

przychodów

oznacza,

proporcjonalne

zwi

kszenie

(zmniejszenie) nakładów prowadzi do proporcjonalnego zwi

kszenia (zmniejszenia) wyników.

Zało

enie to nie jest spełnione w dwóch szczególnych przypadkach

oraz

, co

prowadzi do warunków malej

cych i rosn

cych przychodów.

3. W przypadku zało

enie malej

cych przychodów, istnieje proces

∈

)

(

, nie

podporz

dkowuj

cy si

prawu proporcjonalnych przychodów, w takim sensie,

e dla pewnej

liczby

krotny wzrost nakładów nie prowadzi do

krotnego zwi

kszenia wyników.

4. Zało

enie

rosn

cych

przychodów

oznacza

istnienie

procesu

∈

)

(

nie

podporz

dkowuj

cego si

prawu proporcjonalnych przychodów w takim sensie,

e dla pewnego

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

( )

;

∈

krotne zmniejszenie nakładów nie prowadzi do takiego samego ograniczenia

produkcji.

5. Addytywno

ść

procesów produkcyjnych oznacza,

e mo

liwe jest dodawanie technologicznie

dopuszczalnych procesów produkcji.

6. Zało

enie „braku rogu obfito

ci” oznacza,

e aby osi

ąć

jakikolwiek efekt produkcyjny

konieczne jest zu

ycie czynników wytwórczych. Zało

enie to jest skutkiem materialnego

charakteru

wiata, w którym funkcjonujemy i praw przyrody (prawo zachowania energii).

7. Nieodwracalno

ść

procesów produkcji oznacza,

e je

eli z wektora nakładów x wytworzony

zostaje wektor produkcji y, to niemo

liwe jest odwrócenie tego procesu i otrzymanie na powrót

z wektora y wektora x. Niemo

liwe jest zatem z gotowego produktu odzyskanie nakładów

w pierwotnej postaci i ilo

ci. Przede wszystkim nie da si

odzyska

poniesionych nakładów siły

roboczej czy energii.

8. Zało

enia mo

liwo

ci marnotrawstwa s

egzemplifikacj

racjonalnego działania producentów

i oznaczaj

e je

eli zastosujemy optymaln

technologi

, to z okre

lonego wektora nakładów

otrzymamy maksymalnie du

y wektor produkcji. Do pomy

lenia s

sytuacje działania

nieefektywnego, czyli zastosowania technologii „gorszej”, w przypadku której z tego samego

wektora nakładów otrzymamy mniejszy efekt produkcyjny. Drugim wariantem działania

produkcyjnego o ni

szej efektywno

ci jest sytuacja, kiedy okre

lony efekt produkcyjny

uzyskujemy stosuj

c wi

kszy ni

w przypadku optymalnym wektor nakładów. Oba przypadki

marnotrawstwa w przypadku jednostkowym sprowadzaj

do stwierdzenia,

e optymalna

znana technologia zapewnia wytworzenie jednostki towaru przy minimalnych nakładach

niezb

dnych czynników wytwórczych, a zastosowanie technologii „gorszych” powoduje,

wytworzenie jednostki towaru, wymaga ponoszenie wi

kszych nakładów jednostkowych.

Podsumowuj

c, stosuj

c technologie gorsze ni

optymalna marnotrawimy czynniki wytwórcze.

9. Domkni

ść

przestrzeni p-produkcyjnej oznacza,

e je

eli dowolnie mała zmiana wektora

nakładów x lub wektora produkcji y lub obu wektorów jednocze

nie w pewnym procesie

)

(

prowadzi do procesu technologicznie dopuszczalnego, to proces

)

(

jest te

technologicznie

dopuszczalny. Formalnie oznacza to m.in.

e brzeg zbioru Z opisuj

cego przestrze

produkcyjn

nale

y do Z oraz

e przestrze

ta jest zwarta i zupełna.

O niektórych własno

ciach przestrzeni p-produkcyjnych mówi poni

sze twierdzenie:

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 5.1.

eli przestrze

p-produkcyjna jest addytywna i spełnia zało

enie o proporcjonalnych

przychodach, to jest ona sto

kiem wypukłym z wierzchołkiem w pocz

tku układu

współrz

dnych.

eli domkni

ta przestrze

p-produkcyjna spełnia zało

enie o proporcjonalnych lub

malej

cych dochodach i mo

liwe jest nieracjonalne wykorzystanie nakładów, to:

)

((

∈

∃

∈

∀

Dotychczas proces produkcyjny opisywany był jednoznacznie par

wektorów, wektora nakładów x

i wektora wyników y, co sytuowało go w przestrzeni 2n-wymiarowej. Do jednoznacznej charakterystyki

procesu produkcyjnego mo

na u

kategorii ekonomicznej jak

stanowi produkcja czysta.

eli

∈

)

(

, to o ró

nicy

−

mówimy,

przedstawia produkcj

czyst

i-tego

towaru

w procesie

)

(

w jednostkach fizycznych.

Zastosowanie kategorii produkcji czystej pozwala na rozwa

anie procesu produkcyjnego

w przestrzeni n-wymiarowej, co w konsekwencji powoduje uproszczenie opisu i wnioskowania

o wła

ciwo

ciach procesów produkcyjnych. Tak na przykład nie daj

cy si

zilustrowa

graficznie 4-

wymiarowy przypadek przestrzeni produkcyjnej redukuje si

do w pełni opisywalnej przestrzeni 2-

wymiarowej.

Zbiór wektorów produkcji czystej:

















⊂

∈

−

)

(

;

z norm

max

nazywamy

przestrzeni

c-produkcyjn

Wnioski:

1. O ile przestrze

p-produkcyjna jest zawarta w nieujemnym orthancie przestrzeni

, o tyle

przestrze

c-produkcyjna jest zawarta w

2. Elementy przestrzeni c-produkcyjnej (wektory produkcji czystej) nie musz

wektorami

nieujemnymi,

3. Ujemna wielko

ść

wektora

pokazuje o ile zu

ycie i-tego towaru w procesie produkcyjnym

przekracza jego produkcj

, a dodatnia – o ile produkcja przekracza jego zu

ycie.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

5.3. Funkcja produkcji i jej własno

Do zdefiniowania funkcji produkcji niezb

dne jest poj

cie technologicznie efektywnego procesu

produkcji.

Proces

∈

)

(

nazywamy

technologicznie efektywnym

, je

eli spełnia warunek:

)

(

)

(

≠

∧

≥

∈

¬∃

Zatem proces produkcyjny

)

(

jest technologicznie efektywny, je

eli nie znamy w danej

gospodarce technologii, która z danego wektora nakładów

pozwoliłaby uzyska

kszy od wektora

wektor wyników

Zwi

zan

z przestrzeni

p-produkcyjn

⊂

wieloargumentow

, wektorow

funkcj

produkcji

definiujemy w nast

puj

cy sposób:

eli istnieje taka funkcja wektorowa

→

)

(

wtedy i tylko wtedy, gdy

proces

∈

)

(

jest technologicznie efektywny, wówczas f nazywamy

wektorow

funkcj

produkcji

zwi

zan

z przestrzeni

p-produkcyjn

Wektorow

funkcj

produkcji mo

na tak

e zapisa

w postaci niejawnej funkcji F, spełniaj

cej

warunek:

)

(

)

(

⇔

co oznacza,

e je

eli dana jest funkcja f, to wystarczy przyj

ąć

)

(

)

(

−

Przykład:

eli producent wytwarza tylko jeden towar, zu

ywaj

c przy tym k-wymiarowy wektor

nakładów, to funkcja produkcji redukuje si

wtedy do skalarnej k-argumentowej funkcji

produkcji

→

Zazwyczaj zakłada si

e skalarna funkcja produkcji

→

jest ci

gła i dwukrotnie

ró

niczkowalna na obszarze okre

lono

ci oraz spełnia nast

puj

ce warunki:

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

(I)

)

(

, gdzie

- zerowy wektor przestrzeni

(II)













∂

∀

∈

∀

)

(

(III) Macierz funkcyjna

)

(

)

(

∂

jest niedodatnio okre

lona na

(IV)

))

(

)

(

≥

∀

∈

∀

Uwagi:

1. Warunek (I) oznacza,

e zerowe nakłady, daj

w wyniku zerow

produkcj

, bowiem bez

nakładów nie ma wyników. Warunek ten jest wynikiem przyj

cia prawa produkcji zwanego

„brakiem rogu obfito

ci”.

2. Warunek (II) oznacza,

e funkcja produkcji jest rosn

ca. W praktyce oznacza to,

e na całym

obszarze okre

lono

ci funkcji produkcji kra

cowe wydajno

ci nakładów s

dodatnie, czyli

zwi

kszanie nakładu któregokolwiek czynnika wytwórczego powoduje wzrost produkcji.

3. Warunek (III) jest równowa

ny z wkl

sło

funkcji produkcji. Zgodnie z tym warunkiem na

wyst

puje malej

ca kra

cowa wydajno

ść

nakładów.

4. Warunek (IV) oznacza zało

enie o proporcjonalnych przychodach. Je

eli zast

pimy go

ogólniejszym warunkiem:

)

(

)

(

to b

dzie on równowa

ny z przyj

ciem zało

enia o malej

cych przychodach, gdy 0<

<1, lub zało

enia

o rosn

cych przychodach gdy

>1, ale wtedy nie mo

e by

spełnione zało

enie (III).

W przypadku, gdy

>1, wówczas mamy do czynienia z tzw. efektem dodatnich korzy

ci skali,

w przeciwnym wypadku, tj. gdy

<1 z efektem niekorzy

ci skali.

Z powy

szych warunków wynika tak

e warunek póładdytywno

ci funkcji produkcji:

))

(

)

(

)

(

≥

∈

∀

Póładdytywno

ść

funkcji produkcji oznacza,

e zsumowanie wektorów nakładów czynników

wytwórczych, powinno da

proces produkcyjny, którego efekt b

dzie nie mniejszy ni

suma efektów

odr

bnych procesów produkcyjnych.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

eli zdefiniujemy przestrze

p-produkcyjn

{

}

)

(

)

(

≤

∈

, gdzie f

skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji spełnia warunki (I)-(IV), to tak zdefiniowana przestrze

produkcyjna spełnia standardowe warunki przestrzeni p-produkcyjnej (1) i (4)-(9).

Podobnie jak w przypadku funkcji popytu, z funkcji produkcji mo

na wyprowadzi

miary

charakteryzuj

ce zale

ci mi

dzy produkcj

a nakładami. W ich konstrukcji stosuje si

głównie

pochodne funkcji produkcji.

Pochodn

stkow

∂

)

(

nazywa si

kra

cow

wydajno

i-tego nakładu

(czynnika)

w wektorze nakładów x.

Kra

cowa wydajno

ść

i-tego nakładu informuje, o ile wzro

nie ilo

ść

produkcji, je

eli w wektorze

nakładów x zwi

kszymy wielko

ść

i-tego nakładu o dowolnie mał

porcj

, przy zało

eniu,

e pozostałe

nakłady pozostan

na dotychczasowym poziomie

Wyra

enie:

∂

⋅

∂

→

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

nazywamy

elastyczno

produkcji

ze wzgl

du na skal

nakładów x

Elastyczno

ść

produkcji, ze wzgl

du na skal

nakładów, pokazuje o ile wzro

nie produkcja, je

eli

skala nakładów wzro

nie o 1%.

Wyra

enie:

∂

⋅

∂

)

(

)

(

)

(

)

(

nazywamy

elastyczno

produkcji, wzgl

dem nakładu i-tego czynnika w wektorze x

Elastyczno

ść

produkcji wzgl

dem i-tego nakładu wskazuje o ile procent wzro

nie produkcja, gdy

nakład i-tego czynnika produkcji wzro

nie o 1%.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Wyra

enie:

∂

)

(

nazywamy

kra

cow

stop

substytucji

i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów.

Inaczej mówi

c, kra

cowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów

jest to granica takiego stosunku przyrostu nakładu j-tego czynnika w wektorze nakładów do spadku

nakładu i-tego czynnika, przy którym nie zmienia si

wielko

ść

produkcji.

Kra

cowa stopa substytucji pokazuje jak

ilo

j-tego nakładu nale

y zast

jednostkowy

spadek ilo

ci i-tego nakładu w wektorze x, aby wielko

ść

produkcji nie zmieniła si

Wyra

enie:















∂

)

(

nazywamy

elastyczno

substytucji

i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów.

Elastyczno

ść

substytucji czynników produkcji pokazuje analogiczn

, jak kra

cowa stopa

substytucji zale

ść

, lecz wyra

w procentach.

5.4. Wybrane funkcje produkcji (f. Solowa, f. Cobb’a-Douglas’a, f. CES, f. liniowa, f. Leontiefa-

Koopmansa) i ich interpretacja

W naszych rozwa

aniach b

dziemy si

ogranicza

do dwuwymiarowej przestrzeni czynników

(nakładów) produkcji

→

, w której jako pierwsz

współrz

wektora nakładów b

dziemy

przyjmowa

nakłady kapitału (k), np. ilo

ść

wykorzystywanych w procesie produkcji maszyn, natomiast

jako drug

współrz

wektora x, b

dziemy przyjmowa

nakłady pracy (z), mierzone np.

w roboczogodzinach. Przy tych zało

eniach funkcj

produkcji zapisujemy w ogólnej postaci:

)

(

eli producent wytwarza produkcj

wg ilo

)

(

, stosuj

c kombinacj

czynników

produkcji

)

(

≥

)

(

≠

, to iloraz

nazywamy

technicznym uzbrojeniem pracy

a iloraz

nazywamy

wydajno

pracy

Techniczne uzbrojenie pracy jest wa

charakterystyk

stosowanej technologii produkcji

i odzwierciedla

redni koszt stanowiska pracy.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

5.4.1. Funkcja produkcji Cobb’a-Douglas’a

Funkcja Cobb’a-Douglas’a jest to dwuargumentowa (dwuczynnikowa) funkcja produkcji, o której

zakłada si

e spełnia cztery nast

puj

ce warunki:

(I)

)

(

, gdzie

oznacza wektor zerowy przestrzeni

(II)













∂

∀

∈

∀

)

(

(III)

Macierz funkcyjna

∂

)

(

)

(

jest niedodatnio okre

lona na

(IV)

))

(

)

(

≥

∀

∈

∀

Warunki (I)-(IV) s

to te same warunki, o których zakładamy,

e spełnia je ka

da skalarna funkcja

produkcji

→

)

(

∈

na obszarze okre

lono

ci tylko,

e dla szczególnego przypadku

dwuwymiarowego (k=2). Oprócz tych warunków funkcja Cobb’a-Douglas’a spełnia dodatkowy

warunek, tzw. zało

enie rosn

cej stopy substytucji:

(V) Kra

cowa stopa substytucji pracy przez kapitał ro

nie liniowo wraz ze wzrostem

technicznego uzbrojenia pracy co zapisujemy:













∂

Uwagi:

1. Warunek (I) oznacza,

e w wyniku zerowych nakładów otrzymujemy zerow

produkcj

2. Warunek (II) oznacza,

e funkcja produkcji jest rosn

ca, czyli

e wraz ze wzrostem czynników

produkcji ro

nie produkcja y.

3. Trzeci z kolei warunek funkcji Cobb’a-Douglas’a jest równowa

ny z wkl

sło

funkcji

produkcji.

4. Warunek (IV) oznacza zało

enie o proporcjonalnych przychodach i mówi,

e funkcja produkcji

Cobb’a-Douglas’a jest jednorodna stopnia pierwszego lub inaczej,

e jest liniowo jednorodna.

5. Zgodnie z warunkiem (V) kra

cowa stopa substytucji zale

y od technicznego uzbrojenia

pracy u. Na jego podstawie wnioskujemy,

const

→

⇒

→

. Warunek (V)

oznacza dokładnie tyle,

e kra

cowa stopa substytucji ro

nie liniowo wraz ze wzrostem

technicznego uzbrojenia pracy u (zało

enie rosn

cej stopy substytucji).

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Na podstawie warunków (I)-(V) wyprowadzimy dwuczynnikow

funkcj

Cobb’a-Douglas’a. W tym

celu przyjmujemy nast

puj

ce oznaczenia:

- techniczne uzbrojenie pracy,

a-stała dodatnia.

Z warunku (IV) mamy,

)

(

)

(

)

(

∂

−













⋅

∂

−













−

⋅

∂

⋅

∂

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

oraz

∂

⋅

∂

⋅

∂

)

(

)

(

)

(

Otrzymujemy zatem,













∂













∂

−

)

(

)

(

)

(

Z powy

szej równo

ci i warunku (V) otrzymujemy równanie ró

niczkowe:

)

(

)

(

)

(

∂

którego rozwi

zaniem jest funkcja:

)

(

Poniewa

jednak

oraz

)

(

)

(

, wi

c ostatecznie otrzymujemy dwuczynnikow

funkcj

produkcji Cobb’a-Douglas’a:

−

)

(

)

(

)

(

)

(

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Bezpo

rednio z definicji funkcji produkcji Cobb’a-Douglas’a wynikaj

funkcje wydajno

ci pracy

i efektywno

ci kapitału, okre

lone poni

ej:

Funkcja w postaci:

)

(

)

(

)

(

charakteryzuje zale

ść

wydajno

ci pracy

od technicznego uzbrojenia pracy.

Funkcja e postaci:

−

)

(

)

(

)

(

charakteryzuje zale

ść

efektywno

ci kapitału

od technicznego uzbrojenia pracy.

Uwagi:

1. Parametr

∂

charakteryzuje elastyczno

ść

produkcji wzgl

dem kapitału.

2. Parametr

∂

−

charakteryzuje z kolei elastyczno

ść

produkcji wzgl

dem nakładów

pracy.

3. Parametr

jest z kolei mar

elastyczno

ci substytucji pracy wzgl

dem kapitału:

⋅

∂

)

(

eli ustalimy wielko

ść

produkcji na poziomie

, to zbiór

{

}

)

(

∈

wszystkich kombinacji nakładów x daj

cych w wyniku transformacji produkcj

dziemy

nazywa

izokwant

produkcji na poziomie

Przykład izokwant produkcji dla funkcji produkcji Cobb’a-Douglas’a przedstawia rysunek 5.1.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Rys. 5.1. Przykład izokwant na poziomie

*
2

, y

dla funkcji Cobb’a-Douglas’a.

5.4.2. Funkcja produkcji CES

Kolejnym przykładem funkcji produkcji jest funkcja CES (constant elasticity of substitution)

charakteryzuj

ca si

stał

elastyczno

kra

cowej stopy substytucji wzgl

dem technicznego

uzbrojenia pracy u.

O funkcji CES zakładamy,

e spełnia te same warunki (I)-(III) co funkcja Cobb’a-Douglas’a.

Warunek (IV) zast

pujemy w tym przypadku ogólniejszym warunkiem dodatniej jednorodno

ci stopnia

(IV)’

))

(

)

(

≥

∀

∈

∀

Z kolei warunek (V) zast

pujemy warunkiem:

(V)’













Przyjmijmy nast

puj

ce oznaczenia:

−

a, b- dowolne stałe dodatnie.

Rozumuj

c tak jak w przypadku funkcji Cobb’a-Douglas’a otrzymujemy dodatnio jednorodn

funkcj

produkcji stopnia

o postaci:

θγ

−

]

[

)

(

*
2

)

(

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Wyra

enie:

∂

⋅

nazywamy

elastyczno

kra

cowej stopy substytucji wzgl

dem technicznego uzbrojenia

pracy

Poniewa

, to otrzymujemy:

const

, co dowodzi,

e funkcja produkcji

CES charakteryzuje si

stał

elastyczno

kra

cowej stopy substytucji wzgl

dem technicznego

uzbrojenia pracy.

W przypadku funkcji CES, w odró

nieniu od funkcji Cobb’a-Douglas’a, elastyczno

ść

substytucji

oraz elastyczno

ść

produkcji wzgl

dem czynników wytwórczych zmienia si

wraz ze zmian

technicznego uzbrojenia pracy. Z funkcji CES wyprowadzamy funkcj

wydajno

ci pracy w:

Funkcja w postaci:

]

[

)

(

−

to funkcja

wydajno

ci pracy w zale

ci od technicznego uzbrojenia pracy

W przypadku, gdy

)

(

→

i gdy

≠

, funkcja produkcji CES redukuje si

do funkcji

Cobb’a-Douglas’a o postaci:

)

(

Natomiast, gdy

o postaci:

−

)

(

5.4.3. Liniowa funkcja produkcji

Liniow

funkcj

produkcji postaci:

otrzymujemy z funkcji CES, przy zało

eniu,

oraz

)

(

−

→

, przy czym a, b to

dowolne parametry dodatnie.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Funkcja ta charakteryzuje si

zerow

elastyczno

kra

cowej stopy substytucji wzgl

dem

technicznego uzbrojenia pracy oraz ograniczon

substytucj

czynników.

5.4.4. Funkcja produkcji Leontiefa-Koopmansa

Przyjmijmy,

- współczynnik pracochłonno

ci, przy czym w to wydajno

ść

pracy wzgl

dem

technicznego uzbrojenia pracy.

- współczynnik kapitałochłonno

ci, przy czym e wydajno

ść

kapitału wzgl

dem

technicznego uzbrojenia pracy.

Funkcja Leontiefa-Koopmansa ma wówczas posta













min

Otrzymujemy j

z funkcji produkcji CES dodatnio jednorodnej stopnia 1, przy

+∞

→

)

(

−∞

→

Funkcja ta charakteryzuje si

całkowitym brakiem substytucji czynników

)

(

⇒

Zwi

zan

z funkcj

produkcji Leontiefa-Koopmansa funkcj

wydajno

ci pracy mo

na przedstawi

w postaci:













min

)

(

)

(

Funkcja produkcji Leontiefa-Koopmansa jest ci

gła na

, lecz nie jest ró

niczkowalna na

promieniu













≥

)

(

, to znaczy wsz

dzie tam, gdzie ma miejsce pełne wykorzystanie

czynników wytwórczych.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Przykład 5.1.:

Ze wzgl

du na specyficzn

posta

funkcji Leontiefa-Koopmansa warto poda

przykład procesu

produkcyjnego, który charakteryzuje brak substytucji czynników wytwórczych.

Załó

my,

e zadaniem do wykonania jest wykopanie rowu, a technologia, któr

stosuje producent

polega na kopaniu rowów przez człowieka przy u

yciu łopaty. Producent zatrudnia 10 pracowników

i wyposa

a ich w 10 łopat. Zast

pienie dwóch pracowników łopatami nie jest sensowne, poniewa

dodatkowe łopaty nie mog

aden sposób wykorzystane przez pracowników i odwrotnie.

5.4.5. Funkcja produkcji Solowa

Zakładaj

e nakłady k- kapitału i z- pracy zmieniaj

w sposób ci

gły oraz,

e ka

dej

kombinacji (k,z) odpowiada jednoznacznie produkcja q, mo

na zapisa

funkcj

produkcji w postaci:

)

(

dla

≥

Q mo

na interpretowa

, jako produkcj

odpowiadaj

pełnemu wykorzystaniu mocy wytwórczych

dla zasobu kapitału k i pracy z, albo jako faktyczn

produkcj

przy danych nakładach w ramach

rozporz

dzalnych zasobów czynników wytwórczych.

Na funkcj

)

(

nakłada si

nast

puj

ce ograniczenia:

jest funkcj

gł

i dwukrotnie ró

niczkowaln

jest funkcj

rosn

, wkl

sł

przy zerowych nakładach czynników produkcji przyjmuje warto

ci równe 0.

O pochodnych cz

stkowych pierwszego rz

du oznaczanych przez:

∂

zakładamy,

e s

dodatnie.

Natomiast o pochodnych cz

stkowych rz

du drugiego, oznaczanych przez:

∂

zakładamy ,

e s

ujemne.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Pochodne cz

stkowe

f ,

interpretujemy jako produktywno

ci kra

cowe kapitału i pracy. S

one

dodatnie, ale malej

wraz ze wzrostem nakładów czynników wytwórczych. Jest to potwierdzeniem

prawa malej

cej produktywno

ci marginalnej czynników wytwórczych.

5.5. Neoklasyczna teoria przedsi

biorstwa (doskonała konkurencja, monopol, oligopol)

5.5.1. Przedsi

biorstwo w warunkach konkurencji doskonałej

Przedsi

biorstwo działaj

ce na doskonale konkurencyjnym rynku, traktowane jest jako podmiot

o niewielkiej mocy ekonomicznej, który nie ma wpływu na warunki rynkowe i musi dostosowa

poziomu cen równowagi. Jego decyzje s

niezale

ne od konkurentów, je

eli zaakceptuje ceny

równowagi, mo

e na rynku sprzeda

cała wytworzona przez siebie produkcj

i kupi

nieograniczon

ilo

ść

czynników produkcji. Dla pojedynczego przedsi

biorstwa, działaj

cego w warunkach konkurencji

doskonałej, zarówno przestrze

towarów, jak i przestrze

produkcyjne s

nieograniczone. Zakładamy

ponadto,

e przedsi

biorca jest podmiotem zachowuj

cym si

w sposób racjonalny, którego celem

jest maksymalizacja dochodu.

W tych warunkach interesuje nas model opisuj

cy proces decyzyjny pojedynczego producenta,

polegaj

cego na wyborze wielko

ci produkcji i skali nakładów, przy okre

lonej (zało

onej) technologii

produkcji, który zapewnia osi

gni

cie zamierzonego celu, czyli maksymalizacj

dochodu.

Zakładamy,

e przedsi

biorstwo wytwarza jeden produkt zu

ywaj

c w tym celu k innych towarów

(czynników produkcji).

Działalno

ść

produkcyjn

przedsi

biorstwa opisuje k - argumentowa skalarna funkcja produkcji

→

Zakładamy,

e w warunkach konkurencji doskonałej działanie pojedynczego przedsi

biorcy nie

wpływa na kształtowanie si

globalnego popytu i poda

y na rynkach, na których wyst

puje jako

sprzedawca i nabywca.

Przyjmuje si

ponadto,

e pozostałe przedsi

biorstwa s

tak elastyczne,

e s

w stanie

natychmiast dostosowa

poda

swoich towarów do zmieniaj

cego si

popytu danego

przedsi

biorstwa na czynniki wytwórcze.

O rynku zakładamy,

e jest on na tyle chłonny, by zapewni

zbyt ka

dej ilo

ci wytworzonej przez

przedsi

biorstwo produkcji (przy cenie rynkowej).

Zachowania przedsi

biorstwa na rynku mog

rozwa

ane w ró

nej skali czasowej.

W przypadku długiego okresu, mówimy o strategii długookresowej przedsi

biorstwa, natomiast

w przypadku krótkiego okresu o strategii krótkookresowej.

W długim okresie przedsi

biorstwo ma mo

liwo

ść

wyboru dowolnego wektora nakładów, a zadanie

maksymalizacji dochodu w warunkach długookresowej strategii rozwoju przyjmuje posta

)

(

max{

≥

−

dla

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

gdzie:

p - cena wytwarzanego towaru,

x - wektor towarów zu

ywanych jako czynniki produkcji,

v - wektor cen czynników produkcji.

Zatem producent maksymalizuje ró

nic

dzy przychodami z produkcji

)

a kosztami

wytwarzania

. Przedsi

biorca nie ma wpływu na ceny czynników wytwórczych v i cen

wytworzonego przez siebie towaru. Przedmiotem decyzji przedsi

biorstwa jest wielko

ść

produkcji

)

oraz nakładów czynników wytwórczych

Rozwi

zanie zadania maksymalizacji dochodu przedsi

biorstwa wyja

nia nast

puj

ce twierdzenie:

Twierdzenie 5.2.

eli funkcja produkcji f ma własno

ci (I), (II) (patrz podrozdział 5.2.) i jest

silnie wkl

sła na obszarze okre

lono

ci, a ceny p i v spełniaj

warunki

lim

+∞

→

∂

to:

Po pierwsze zadanie maksymalizacji dochodu producenta ma rozwi

zanie

>0.

Po drugie warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwi

zania zadania jest

spełnienie układu równa

∂

(Dla zainteresowanych dowód twierdzenia: E. Panek, „Ekonomia matematyczna”, Pozna

2000,

s. 93).

Oznaczmy przez

funkcj

produkcyjnego popytu na czynniki wytwórcze:

)

(

. Jest to

funkcja wyja

niaj

ca jak popyt produkcyjny na towary zale

y od cen towaru wytwarzanego i cen

ywanych czynników wytwórczych.

Zakłada si

e funkcja

jest ci

gła wraz z pierwszymi pochodnymi w otoczeniu punktu (p,v)>0

i jest dodatnio jednorodna stopnia 0, czyli:

))

(

)

(

∀

Gdy podstawimy funkcj

produkcyjnego popytu na towary do funkcji produkcji f, otrzymamy

funkcj

poda

y towaru

, ustalaj

zale

ść

optymalnego rozmiaru produkcji od ceny towaru

wytwarzanego (p) i cen czynników wytwórczych (v):

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

)

(

))

(

)

(

eli

)

(

→

∈

(f jest dwukrotnie ró

niczkowalna i ci

gła wraz z pochodnymi

stkowymi pierwszego i drugiego rz

du), to funkcja

jest ci

gła wraz z pierwszymi pochodnymi

wsz

dzie tam gdzie własno

ść

ma funkcja popytu produkcyjnego na towary, funkcja

jest tak

dodatnio jednorodna stopnia 0, czyli:

))

(

)

(

∀

Gdy zało

ymy,

e na rynku ustaliły si

ceny p>0, v>0, a przedsi

biorstwo zdecydowało si

poziom produkcji y>0 i interesuje je minimalizacja kosztów produkcji, wówczas mówimy o zadaniu

minimalizacji kosztów produkcji. Zadaniem to sprowadza si

do znalezienie minimum iloczynu

skalarnego wektorów v i x, przy czym

(

≥

, co zapisujemy:

min

przy ograniczeniach:

(

≥

Funkcj

c postaci:

min

)

(

)

(

≥

nazywamy

funkcj

kosztów przedsi

biorstwa

, ustalaj

zale

ść

minimalnych kosztów od

wielko

ci produkcji.

Twierdzenie 5.3.

eli funkcja produkcji f spełnia warunki (I)-(IV) i jest silnie quasi wkl

sła,

to funkcja kosztów c jest okre

lona na przedziale [0,+

∞

), ci

gła i dodatnio jednorodna stopnia 1

na obszarze okre

lono

ci.

Wniosek:

Poniewa

funkcja kosztów przedsi

biorstwa c charakteryzuje optymalne koszty przedsi

biorstwa

przy ró

nych poziomach produkcji, wnioskujemy st

e optymaln

dla przedsi

biorstwa wielko

ść

produkcji mo

na ustali

znajduj

c maksimum ró

nicy

)

( y

−

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

{

}

)

(

max

−

przy ograniczeniach:

≥

O ile funkcja kosztów jest ci

gła, ró

niczkowalna i ma typowy kształt odwróconej litery s, to

optymalny poziom produkcji jest osi

gany, gdy cena towaru wytwarzanego równa jest kosztom

kra

cowym. Po przekroczeniu punktu optymalnego koszty kra

cowe wzrastaj

W przypadku funkcji produkcji z malej

cymi (rosn

cymi) kra

cowymi wydajno

ciami nakładów,

krzywa kosztów jest funkcj

wypukł

(wkl

sł

W szczególno

ci, gdy funkcja produkcji spełnia zało

enie o proporcjonalnych przychodach, funkcja

kosztów przedsi

biorstwa jest liniowa, a koszty kra

cowe s

wtedy stałe.

Przykład rozwi

zania zadania

{

}

)

(

max

−

dla

≥

ilustruje rysunek 5.2.

Rys.5.2.

Przedsi

biorstwo w krótkim okresie, inaczej ni

w przypadku długich okresów, napotyka na bariery

zwi

zane z ograniczono

czynników wytwórczych, np. na rynku dost

pna jest ograniczona oferta

okre

lonego typu maszyn, czy surowców, czy siły roboczej. Zakładaj

e warunki ograniczaj

na zapisa

w postaci funkcji niejawnej

)

(

, w zadaniu maksymalizacji dochodów pojawiaj

dodatkowe ograniczenia. Zadanie maksymalizacji dochodu polega w tej sytuacji na znalezieniu

)

( y

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

maksimum ró

nicy

)

(

−

, przy dodatkowych zało

eniach, tym razem w postaci:

)

(

≥

i zapisujemy je nast

puj

co:

)

(

)

(

max{

≥

−

dla

Model racjonalnie zachowuj

cego si

przedsi

biorstwa, działaj

cego w warunkach konkurencji

doskonałej w teorii przedsi

biorstwa, opisuje zachowania producentów (przedsi

biorców) oraz jest

prób

wyja

nienia, w jaki sposób rynek wpływa na decyzje producentów (przedsi

biorców), których

ograniczaj

okre

lone przychody ze sprzeda

y wytworzonych towarów oraz ceny wytworzonych

towarów.

Wnioski:

1. Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwi

kszenia optymalnej wielko

ci produkcji

(przy ustalonych cenach towarów zu

ywanych w procesie produkcji krzywa poda

y towaru

wytwarzanego jest rosn

funkcj

jego ceny). Symbolicznie:

∂

1. Wzrost ceny wytwarzanego towaru powoduje wzrost (spadek) popytu na i-ty

rodek produkcji,

wtedy i tylko wtedy, gdy zwi

kszenie ceny tego

rodka prowadzi do obni

enia (wzrostu)

optymalnego poziomu produkcji. Symbolicznie:

∂

−

∂

2. Wpływ zmiany ceny i-tego

rodka produkcji na popyt na j-ty

rodek produkcji jest taki sam jak

wpływ, jaki zmiana ceny j-tego

rodka wywiera na popyt na i-ty

rodek produkcji. Symbolicznie:















∂

∀

3. Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwi

kszenia popytu na przynajmniej niektóre

rodki produkcji. Wniosek ten zapisujemy w postaci:

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I













∂

∃

4. Istniej

rodki produkcji, których wzrost ceny prowadzi do spadku optymalnego poziomu

produkcji, co zapisujemy:















∂

∃

5.5.2. Przedsi

biorstwo w warunkach monopolu.

Monopol oznacza sytuacj

, w której na rynku wyst

puje jedyny producent (sprzedawca)

okre

lonego towaru, który nie ma bliskich substytutów. Sytuacja monopolistyczna mo

e dotyczy

tak

e popytowej strony rynku. Wtedy istnieje jedyny nabywca danego towaru oferowanego przez wielu

sprzedawców. Podmiot, maj

cy na rynku pozycj

monopolisty, mo

e dyktowa

warunki, wpływa

cen

wytwarzanego przez siebie towaru, decyduj

c o ilo

ciach, które wytwarza lub wpływa

na cen

zakupywanych towarów manipuluj

c wielko

popytu. Celem monopolisty jest osi

ganie jak

najwi

kszego dochodu. W swoich decyzjach musi jednak uwzgl

dnia

pewne ograniczenia rynkowe,

i tak w przypadku monopolu poda

y jest to funkcja popytu nabywców oraz znana mu technologia

produkcji. Z kolei w przypadku monopolu popytu (monopsonu) ograniczeniem dla nabywcy

posiadaj

cego wył

czno

ść

funkcje poda

y producentów oferuj

cych dany towar na rynku, mo

to kolokwialnie nazwa

wytrzymało

sprzedawców na warunki cenowe monopsonisty. Je

eli na

rynku wyst

puje jednocze

nie monopol popytu i poda

y to mówimy,

e na rynku panuje pełny

monopol. Przedsi

biorca działaj

cy w warunkach monopolu pełnego uzale

nia cen

swojego

produktu od wielko

ci sprzeda

y i gotowy jest w ka

dej chwili obni

cen

, je

eli pozwoli to

zwi

kszy

sprzeda

oraz skłonny jest płaci

cen

za dodatkowe niezb

dne nakłady, pod

warunkiem,

e osi

gnie w ten sposób wy

szy dochód.

Zakładamy zatem,

(I)

(II)













∀

Przy tych zało

eniach zadanie maksymalizacji dochodu w warunkach konkurencji niedoskonałej

(monopolu pełnego) mo

na zapisa

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

(

)

(

max{

≥

−

dla

Oznaczmy przez

)

(

)

(

funkcj

dochodu monopolisty, a przez

(

)

(

funkcj

kosztu. Przy tych oznaczeniach zadanie maksymalizacji zysku monopolisty przybiera posta

{

}

)

(

)

(

max

≥

−

dla

Optimum producenta znajduje si

wtedy na poziomie produkcji, przy którym kra

cowy przychód jest

równy kra

cowemu kosztowi:

∂

Wynika to z tego,

e zrównanie kra

cowego przychodu z kra

cowym kosztem jest jedyn

sytuacj

w której przedsi

biorstwo nie ma powodu do zmiany poziomu produkcji.

Dla porównania w sytuacji, w której kra

cowy przychód byłby mniejszy od kra

cowego kosztu,

przedsi

biorstwu opłacałoby si

zmniejszy

produkcj

, bowiem oszcz

dno

ci po stronie kosztu

przewy

szałyby strat

po stronie przychodu.

Natomiast w przypadku wy

szego kra

cowego przychodu w stosunku do kra

cowego kosztu,

przedsi

biorstwu opłacałoby si

z kolei powi

kszenie produkcji.

5.5.3. Przedsi

biorstwo w warunkach oligopolu

Obok omówionych w poprzednich podrozdziałach teoretycznych modeli rynków, tj. modelu

doskonałej konkurencji oraz monopolu pełnego, nie wyst

puj

cych w rzeczywisto

ci gospodarczej

w swojej czystej postaci, na uwag

zasługuje model rynku oligopolistycznego.

Oligopol jest sytuacj

, w której na rynku wyst

puje niewielu uczestników po stronie poda

y, a po

stronie popytu jest wiele podmiotów. Tak

sytuacj

na rynku nazywamy oligopolem poda

y. Mo

wyst

tak

e oligopol popytu, zwany tak

e oligopsonem. Wtedy na rynku wyst

puje niewielu

nabywców a wielu sprzedawców.

Rynek oligopolistyczny nie jest doskonale przejrzysty. Jego uczestnicy mog

nie dysponowa

pełn

informacj

. Powoduje to ograniczenia optymalizacji decyzji.

e wyst

przypadek oligopolu homogenicznego, gdy dostarczany jest na rynek jednorodny

produkt, a sprzedawcy nie maj

preferencji co do nabywców. Mo

e tak

e mie

miejsce przypadek

oligopolu heterogenicznego, gdy na rynku oferowane s

produkty zró

nicowane, b

ce bliskimi

substytutami.

Przyczyn

pojawienia si

oligopolu s

rosn

ce korzy

ci skali produkcji, przy ograniczonej

pojemno

ci rynku. W takiej sytuacji na rynku mo

e działa

niewielu przedsi

biorców. Konkurencja

dzy oligopolistami sprowadza si

do uzale

niania decyzji o cenach i ilo

ciach produkcji od

przewidywanych zachowa

konkurentów.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Bior

c pod uwag

, liczb

oligopolistów, ich udziały w rynku, szybko

ść

uczenia si

, mo

liwo

przewidywania, wyodr

bni

na wiele odmian oligopolu, a tak

e wiele form konkurencji

oligopolistycznej. Powstało w zwi

zku z tym wiele teorii oligopolu.

W naszym wykładzie ograniczymy si

do zaprezentowania szczególnego (uproszczonego)

przypadku oligopolu po stronie poda

y, jakim jest duopol poda

y. Duopol poda

y ma miejsce

wówczas, gdy na rynku wyst

puj

dwie konkuruj

ce ze sob

firmy.

W celu wyja

nienia zachowania dwóch oligopolistów, w przypadku, gdy ka

dy z nich podejmuje

decyzje zakładaj

e druga konkurencyjna firma nie zmieni swej pozycji, przedstawimy najstarszy

model produkcji w oligopolu homogenicznym, tak zwany model Cournota.

Model ten zakłada,

e na rynku działaj

dwie firmy, co do których nabywcy nie posiadaj

okre

lonych preferencji. Firmy te produkuj

to samo dobro, a swoje decyzje odno

nie ilo

ci produkcji

podejmuj

niezale

nie od drugiego. Nabywcy znaj

ceny oferowanego przez obie firmy dobra. Celem

dego z producentów jest maksymalizacja zysku. Obaj przypuszczaj

e wielko

ść

produkcji drugiej

firmy jest z góry zadana i si

nie zmienia. Je

li jednak wyst

u konkurenta jakie

zmiany w ilo

produkcji, wówczas druga firma dostosowuje si

do nich ex post.

Zanim przejdziemy do omówienia zachowa

producentów w przedstawionej powy

ej formie

duopolu, wprowad

my nast

puj

ce oznaczenia:

- wielko

ść

produkcji pierwszej firmy,

- wielko

ść

produkcji drugiej firmy,

- zysk pierwszej firmy,

- zysk drugiej firmy,

- przychód całkowity pierwszej firmy,

- przychód całkowity drugiej firmy,

- koszt całkowity pierwszej firmy,

- koszt całkowity drugiej firmy,

- elastyczno

ść

cenowa popytu,

Przychody obu firm zale

Ŝą

od ilo

ci wyprodukowanych przez nich dóbr, tj. od

, natomiast

koszty s

wył

cznie funkcj

ich własnej produkcji, co zapisujemy nast

puj

co:

)

(

)

(

, dla pierwszej firmy

oraz

)

(

)

(

, dla firmy drugiej.

d otrzymujemy,

e zysk pierwszej firmy

wynosi:

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

(

)

(

)

(

−

Z kolei zysk drugiej firmy

wynosi:

(

)

(

)

(

−

Zanim wyznaczymy równowag

duopolu w modelu Cournota, wyja

nijmy potrzebne nam do tego

poj

cie izokwanty zysku oraz poj

cie krzywej reakcji:

Izokwanta zysku (

)

to zbiór wszystkich punktów stanowi

cych kombinacj

ilo

ci produkcji

, Q

obu producentów, dla których jedna z firm osi

ga zyski na stałym poziomie

Krzywa reakcji

to zbiór punktów reprezentuj

cych ró

ne ilo

ci produkcji jednego

z producentów, działaj

cego w warunkach duopolu, w zale

ci od ilo

ci produkcji drugiego

producenta, które przy danych kosztach maksymalizuj

zysk.

Jak ju

wiemy, zysk jednego duopolisty przy danych kosztach zale

y od niekontrolowanej przez

niego wielko

ci produkcji jego konkurenta. W celu ułatwienia rozwa

, mo

emy przyj

ąć

e koszty

obu duopolistów wynosz

zero (

). Wtedy ich zyski s

równe ich całkowitym

przychodom:

)

(

, dla firmy pierwszej

oraz

)

(

, dla firmy drugiej.

Przy tych zało

eniach, w sytuacji, gdy pierwsza firma b

dzie produkowa

dóbr, natomiast

produkcja drugiej firmy wyniesie zero (

), wówczas firma pierwsza osi

gnie maksymalny zysk:

max

a wi

max

, gdy

Wraz ze zwi

kszaniem swojej produkcji od zera do

, zysk pierwszej firmy b

dzie wzrastał,

poniewa

. Elastyczno

ść

cenowa popytu wi

ksza od 1 oznacza,

e obni

anie si

ceny jest

wolniejsze ni

wzrost produkcji. W przypadku, gdy firma b

dzie powi

ksza

produkcj

ponad

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

wówczas jej zysk b

dzie si

zmniejsza

, poniewa

tempo zmniejszania si

cen b

dzie wi

ksze ni

tempo wzrostu produkcji (

Zatem, aby zysk pierwszej firmy utrzymał si

na stałym poziomie, gdy ona b

dzie zwi

ksza

produkcj

od zero do

, firma druga b

dzie musiała zwi

ksza

odpowiednio ilo

ść

produkowanych

przez siebie dóbr, co spowoduje przyspieszenie tempa spadku cen. W momencie, gdy firma pierwsza

dzie zwi

ksza

produkcj

ponad ilo

ść

, wówczas firma druga b

dzie musiała zmniejszy

swoj

produkcj

, co przyhamuje spadek cen. Analogiczne rozumowanie przeprowadza si

w odniesieniu do

drugiej firmy.

Wniosek:

Na podstawie przeprowadzonych rozwa

, wnioskujemy, ze izokwanty zysku obu firm przyjmuj

kształt paraboli.

Uwaga:

Na kształt izokwant zysku obu firm wpływa przebieg linii popytu na ich produkt.

Przebieg izokwant zysku wraz z krzywymi reakcji przedstawia rysunek 5.3.

Rys.5.3. Izokwanty zysku i krzywe reakcji dla duopolistów w modelu Cournota.

Na rysunku 5.3. wida

wyra

nie,

e im dalej od osi rz

dnych poło

ona jest izokwanta pierwszej

firmy, tym wi

ksza jest produkcja drugiej firmy, zatem cena produktu maleje.

Wniosek:

1. Im bli

ej osi

poło

ona jest izokwanta zysku pierwszej firmy, tym wi

kszy zysk ona osi

ga.

2. Im bli

ej osi

poło

ona jest izokwanta zysku drugiej firmy, tym wi

kszy zysk ona osi

ga.

Firma 1

Firma 2

)

(

)

(

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

W punktach styczno

ci izokwant zysku pierwszej firmy z prostymi równoległymi do osi

znajduj

punkty wyznaczaj

ce ilo

ść

produkcji pierwszej firmy przy danej produkcji drugiej firmy,

przy której osi

ga ona najwi

kszy zysk. Analogiczne jest w przypadku firmy drugiej i odpowiadaj

cych

jej izokwant. W wyniku poł

czenia tych punktów otrzymujemy krzywe reakcji obu duopolistów, opisane

przez funkcje:

)

(

dla firmy pierwszej

oraz

)

(

dla firmy drugiej.

Zestawienie krzywych reakcji obu firm, pozwala odtworzy

mechanizm interakcji mi

dzy nimi, który

prowadzi do ustalenia równowagi duopolu. Proces wzajemnych dostosowa

obu firm przedstawia

rysunek 5.4.

Załó

my,

e produkcja drugiej firmy wynosi

. Wówczas przypuszcza si

e produkcja pierwszej

firmy wyniesie zero, jednak tak si

nie dzieje. Pierwsza firma, zgodnie z jej krzyw

reakcji

)

(

, ustala produkcj

na poziomie

. W tym momencie firma druga, niespodziewaj

ca si

takiego zachowania firmy pierwszej, reaguje na nie zmniejszeniem produkcji do poziomu

Pierwsza firma decyduje si

w tej sytuacji zwi

kszy

produkcj

do poziomu

, czym po raz kolejny

zaskakuje firm

drug

Rys. 5.3. Równowaga duopolu w modelu Cournota.

…

)

(

)

(

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Jak łatwo zauwa

dorazowa zmiana zachowania jednej z firm wywołuje reakcj

drugiej,

Dzieje si

tak dlatego,

e producenci, aby móc osi

ąć

maksymalne zyski, podejmuj

dorazowo

odpowiednie działania dostosowawcze. Proces wzajemnych dostosowa

obu producentów zako

czy

w momencie przeci

cia krzywych ich reakcji, czyli w momencie, gdy jeden duopolista produkuje

dokładnie tak

ilo

ść

, której oczekiwał konkurent.

Punkt przeci

cia krzywych reakcji

( )

wyznacza równowag

duopolu. Nale

y podkre

osi

gniecie stanu równowagi jest mo

liwe, o ile krzywe reakcji obu firm maj

odpowiednie nachylenie,

a dokładniej kiedy warto

ść

nachylenia krzywej reakcji pierwszej firmy jest wi

ksza od warto

nachylenia krzywej reakcji firmy drugiej.

Podsumowanie:

1. Teoria produkcji wykorzystuj

c prakseologiczne prawa produkcji pozwala sformułowa

matematyczne modele zwane funkcjami produkcji.

2. Neoklasyczna teoria produkcji jest podstaw

sformułowania modelu funkcjonowania

przedsi

biorstwa w warunkach rynku doskonałego i warunkach rynku niedoskonałego

(doskonała konkurencja, monopol i oligopol,

3. Zało

enia neoklasycznej teorii produkcji dotycz

racjonalnych zachowa

przedsi

biorców,

funkcjonowania mechanizmu rynkowego tp