Teoria produkcji

Funkcja produkcji w okresie krótkim.

Prawo malejących przychodów

Produkcja

jest procesem łączenia zasobów w

celu wytworzenia towarów i usług. Sposób

łączenia ze sobą zasobów nazywa się

technologią.

Do prezentacji technologii w

sposób uproszczonego modelu służy

funkcja

produkcji

. Obrazuje ona matematyczną

zależność pomiędzy wielkością produkcji a

rozmiarem nakładów poszczególnych czynników

produkcji. Funkcja produkcji ma jednoznaczny

charakter przyczynowo skutkowy – przyczyną

procesu produkcji są określone nakłady czynników

produkcji ewentualnie ich zmiany, natomiast

efektem jest uzyskanie określonej wielkości

produkcji bądź też zmiana tej wielkości.

Funkcja produkcji w okresie krótkim.

Prawo malejących przychodów

Ogólna postać funkcji produkcji jest następująca:

Q = f (A,L,K,N)

gdzie:
A – współczynnik proporcjonalności:
L – nakłady pracy
K - nakłady kapitału
N – nakłady czynnika naturalnego

Funkcja produkcji w okresie krótkim.

Prawo malejących przychodów

Uproszczona analiza pozwala uwzględniać tylko jeden czynnik

produkcji, gdyż zakładamy, że pozostałe czynniki nie ulegają

zmianie, a więc nie mają one także wpływu na wielkość

produkcji.

Funkcję taką nazywamy jednoczynnikową funkcją

produkcji.

Przykładem funkcji jednoczynnikowej może być funkcja kapitału:

Q = f(k)

lub też funkcja siły roboczej

Q= f (L)

Krótki okres w ekonomii to taki, w którym nie występuje postęp
techniczny, czyli nie zmienia się technologia produkcji.
Zakładamy, że produkcja odbywa się przy pomocy tych samych
maszyn i urządzeń, na tym samym terenie i na tej samej
infrastrukturze technicznej.

Funkcja produkcji w okresie krótkim.

Prawo malejących przychodów

Do analizy przyjmiemy uproszczoną jednoczynnikową

funkcję

produkcji pracy. W krótkim okresie znacznie łatwiej jest
zmienić ilość zatrudnionych niż wielkość zasobów
kapitałowych.
Dodatkowe założenia to:

•

nie występuje czynnik naturalny

•

czynniki produkcji mogą być z sobą łączone w różnych

proporcjach,

•

produkt jest jednorodny (homogeniczny)

Proces produkcji przyczynia się do wytworzenia produktu
całkowitego (PC). Produkt przeciętny danego czynnika
produkcji otrzymujemy dzieląc wielkość produkcji

całkowitej

przez nakład czynnika zmiennego.

Funkcja produkcji w okresie krótkim.

Prawo malejących przychodów

W omawianym przypadku produkt przeciętny pracy otrzymujemy

jako iloraz produktu całkowitego i ilości zatrudnionych.

PPL = PC/L

gdzie:

• PPL oznacza wielkość produkcji przypadająca na jednego

pracownika, a L ilość zatrudnionych.

W analizie ekonomicznej kluczowe znaczenie mają wielkości

marginalne. Marginalny (krańcowy) produkt pracy informuje nas o

tym, o ile wzrośnie produkcja przy zatrudnieniu jednego

dodatkowego pracownika, czyli:

PMl = ΔPC/ΔL

Obie omawiane wielkości mają swoją interpretację geometryczną.

Produkt przeciętny jest miarą tangensa kąta linii łączącej

początek

układu współrzędnych z krzywą produktu całkowitego w danym

punkcie.

Geometryczne wyznaczanie zmian produktu

przeciętnego

Źródło: M.Rekowski, Mikroekonomia, Poznań, WSB, 1996, s.146.

Zwiększając nakład czynnika zmiennego od zera,

poprzez

LA do LF otrzymujemy kolejno punkty O, A, …F. Łącząc te
punkty z początkiem układu współrzędnych otrzymujemy
odpowiednie proste, będące miarą produktu przeciętnego
pracy.

Natomiast produkt marginalny pracy jest miarą tangensa

kąta stycznej do krzywej produktu całkowitego w danym
punkcie.

Na obu rysunkach można zauważyć zmienny przebieg

funkcji produktu całkowitego. Zwiększenie liczby
zatrudnionych powoduje, że początkowo wzrasta on więcej
niż proporcjonalnie, następnie pojawia się punkt przegięcia
funkcji i wzrost staje się mniej niż proporcjonalny, by
następnie zacząć maleć w wielkościach bezwzględnych.

Można to zilustrować następującym przykładem. Istnieje
pewien zasobów majątku produkcyjnego, np hala
wyposażona w zestaw maszyn. Początkowo każdy
zatrudniony będzie zwiększał produkcję więcej niż
proporcjonalnie ponieważ jest w stanie obsługiwać dwie
maszyny. Punkt przegięcia funkcji (C) oznacza sytuację, w
której liczba zatrudnionych jest na tyle wysoka, że każdy
nowozatrudniony jest przypisywany już tylko do jednej
maszyny. Natomiast w ekstremum każdemu robotnikowi
przypisana jest tylko jedna maszyna. Dalsze zwiększanie
zatrudnienia spowoduje, że część robotników nie będzie
miała stanowisk pracy. Nie mając zajęcia, będzie
absorbować uwagę pozostałych, obniżając ich efektywność
pracy.

Geometryczne wyznaczanie zmian produktu

marginalnego

Źródło: M.Rekowski, Mikroekonomia, Poznań, WSB, 1996,
s.147.

Przykład ten jest ilustracją prawa malejących

przychodów.

Głosi ono, że przy zwiększaniu nakładów czynnika
zmiennego, ceteris paribus, osiąga się taki punkt, po
przekroczeniu którego, każda, dodatkowo zaangażowana
w proces produkcji jednostka czynnika zmiennego daje
coraz mniejsze przyrosty produkcji. Działanie tego prawa
widać wyraźnie na wykresie zmian produktu marginalnego.

W punkcie C produkt marginalny osiąga swoje maksimum
– nachylenie stycznej do krzywej produktu całkowitego

jest

największe. Od punktu C produkt marginalny zaczyna
maleć. W punkcie D zrównuje się z produktem
przeciętnym, który jednocześnie osiąga tutaj swoje
maksimum (styczna do krzywej produktu całkowitego
przechodzi przez początek układu współrzędnych)

W punkcie E produkt marginalny staje się zerowy, bowiem
styczna jest równoległa do osi odciętych.

Zależności pomiędzy produktem marginalnym a przeciętnym
ilustruje rys. 3. Punkt przegięcia funkcji jest tym razem punkt

A w

górnym wykresie. W tym punkcie produkt marginalny osiąga
swoje maksimum

[1]

. Natomiast produkt przeciętny nadal

wzrasta. W punkcie B zrównuje się malejącym produktem
marginalnym osiągając swoje maksimum. Poniżej punktu B

oba

produkty mają tendencję malejącą, z tym, że w produkcie
marginalnym jest ona silniejsza. Poniżej C produkt marginalny
staje się ujemny, produkt przeciętny dalej maleje.

[1]

W punkcie przegięcia funkcji druga pochodna jest równa

zero, co jest warunkiem koniecznym do osiągnięcia przez

pierwszą pochodna ekstremum. Produkt marginalny, przy

założeniu ciągłości wszystkich funkcji jest pierwszą

pochodną produktu całkowitego.

Krzywe produktu całkowitego, przeciętnego i

marginalnego

Źródło:
M.Rekowski,
Mikroekonomia,
Poznań, WSB,
1996, s.147.

Przykład Zbiory pszenicy w ciągu roku (w
tonach)

Nakłady pracy

(liczba

pracowników)

Np

Produkt

całkowity (w

tonach)

Pc

Produkt

przeciętny (w

tonach)

Pc/Np

Produkt

krańcowy (w

tonach)

ΔPc/ ΔNp

0

0

-

-

1

5

5

5

2

12

6

7

3

21

7

9

4

32

8

11

5

40

8

8

6

42

7

2

7

42

6

0

8

40

5

-2

Funkcja produkcji w długim okresie czasu.

Efekty skali produkcji.

Izokwanty produkcji i linia jednakowego

kosztu. Optimum produkcji

Specyfiką długiego okresu jest zmienność wszystkich

czynników produkcji. Oznacza to przykładowo zmianę

parku maszynowego, przebudowę hali produkcyjnej,

wymianę infrastruktury technicznej, czy też zatrudnienie

pracowników o wyższych kwalifikacjach. Przestaje działać

prawo malejącej produkcyjności krańcowej, gdyż odnosi się

ono tylko do takich sytuacji, w których przynajmniej jeden z

czynników jest stały. W długim okresie istotne stają się

efekty

skali, czyli zmiany wielkości produkcji pod wpływem

proporcjonalnych zmian wszystkich czynników produkcji.

Można tutaj wyróżnić:

1. Stałe efekty skali. W tym przypadku, gdy nakłady

wszystkich czynników produkcji wzrastają w tym samym

stopniu, produkt całkowity również rośnie w tym samym

stopniu. Na przykład, jeśli w gospodarstwie rolnym

zasoby pracy, kapitału i ziemi powiększą się dwukrotnie,

to plonowanie również zwiększy się dwukrotnie. Oznacza

to jednocześnie, że koszt przeciętny nie ulegnie zmianie.

2. Malejące efekty skali. Występują one wówczas,

gdy m-krotne powiększenie nakładów wszystkich

czynników produkcji spowoduje wzrost produktu

całkowitego mniej niż m razy, czyli m

k

razy przy

założeniu, że k<0. W tym przypadku dwukrotne

powiększenie zasobów w gospodarstwie rolnym

spowoduje mniej niż dwukrotny wzrost plonowania.

Malejące efekty skali oznaczają jednocześnie dla

gospodarstwa wzrost kosztów przeciętnych.

3. Rosnące efekty skali. Można o nich mówić

wówczas, gdy m-krotne powiększenie nakładów

wszystkich czynników produkcji spowoduje wzrost

produktu całkowitego m

k

razy, gdzie k>0. Oznacza

to, że dwukrotne powiększenie nakładów czynników

produkcji zwiększy plonowanie więcej niż

dwukrotnie, np. trzykrotnie

[1]

.

B.Klimczak, Mikroekonomia, Wrocław AE 2003, s.194 - 196.

Rys. 4 Procesy produkcji I i II

Źródło: M.Rekowski, Mikroekonomia, Poznań WSB 1996,
s.150.

Istnieją dwie możliwości łączenia ze sobą
czynników produkcji:

w proporcjach stałych i

zmiennych

. Można to zaprezentować na

przykładzie funkcji dwuczynnikowej,
uwzględniającej pracę i kapitał z pominięciem
ziemi (czynnika naturalnego).

Rysunek 4 prezentuje dwa rodzaje technologii. W
obu stosunek pracy do kapitału jest stały. W
pierwszy procesie produkcji stosunek pracy do
kapitału wynosi ½ a w drugim 2. Zmiana
technologii pierwszej na drugą spowoduje
przesunięcie krzywej produkcji. Wielkość produktu
całkowitego nie ulegnie jednak, ceteris paribus,
dla tej samej wysokości nakładów zmianie.

Bardziej skomplikowana jest sytuacja w
przypadku produkcji o zmiennej proporcji
czynników.
Punktem wyjścia jest zdefiniowanie izokwanty
produkcji (krzywej jednakowego kosztu). Jest to
„geometryczne miejsce takich ilościowych
kombinacji czynników produkcji, które zapewniają
jednakowy poziom produkcji (produktu)

[1]

”.

[1]

A.Becla i in., Mikroekonomia, Wrocław, Wydawnictwo I-BiS,

2001, s.151.

Rys. 5 Izokwanty produkcji

Źródło: M.Rekowski, Mikroekonomia, Poznań WSB 1996, s.153.

Izokwanty mogą być też wykorzystane do zilustrowana stałych,
rosnących i malejących efektów skali.

Przypadek pierwszy (a) odzwierciedla stale efekty

skali - produkcja rośnie proporcjonalnie do
wzrostu nakładów ze 100 do 150, a następnie
200, 250 i 300 jednostek (izokwanty są od siebie
jednakowo oddalone).

Przypadek drugi (b) pokazuje rosnące efekty skali

- produkcja rośnie więcej niż proporcjonalnie do
wzrostu nakładów: ze 100 aż do 350 jednostek
(odległości między izokwantami maleją).

Malejące efekty skali (c) przejawiają się w tym,

że produkcja rośnie mniej niż proporcjonalnie do
wzrostu nakładów: ze 100 do 150, 200 i 250
jednostek (odległości między izokwantami
rosną).

Każda kombinacja pracy i kapitału w ramach danej izokwanty
zapewnia jednakowy poziom produkcji.
Ponieważ izokwant, przy założeniu ciągłości funkcji

produkcji·,

jest nieskończenie wiele, tworzą one mapę izokwant.
Podobnie jak w przypadku krzywych obojętności, tak samo w
przypadku izokwant, przejście na wyższą krzywą oznacza
wyższy poziom produkcji.
Przesuwanie w ramach jednej izokwanty oznacza zmianę
proporcji praca – kapitał, a zatem i zmianę technologii.
Nachylenie izokwanty jest negatywne, czyli zmniejszenie
nakładów jednego czynnika produkcji powoduje zwiększenie
nakładów drugiego.
Matematycznie można to przedstawić w postaci:

ΔL * PML = - ΔK * PMK

gdzie:

PM i PMK to produkty krańcowe pracy i kapitału, a K i L, praca i kapitał

Stosunek w jakim można zastąpić jeden czynnik przez drugi

nosi nazwę krańcowej (marginalnej) technicznej stopy

substytucji. Po przekształceniu równania otrzymujemy:

KSTS = -ΔK/ΔL = PML/PMK

Analogiczne do krzywych obojętności, w przypadku

izokwant funkcjonuje prawo malejącej krańcowej stopy

technicznej substytucji. Zgodnie z nim w miarę zastępowania

czynna kapitału przez coraz to większa ilość czynnika pracy,

zmniejsza się ilość kapitału, którą można zastąpić dodatkową

jednostką pracy. Jest to zgodne z logiką. Jeżeli zmniejszamy

ilość maszyn a w to miejsce zatrudniamy ludzi, na przykład

na

budowie, wycofanie każdego kolejnego dźwigu, spowoduje

konieczność zatrudniania rosnącej ilości pracowników

Niezbędnych do wnoszenia materiałów budowlanych na

wysokości.

W praktyce całkowita substytucja nie jest możliwa. Nie da

się całkowicie zastąpić pracowników zajmujących się

wykończeniem wnętrz maszynami. Takie jest też założenie

funkcji produkcji. Wartość tej funkcji tylko od jednego

czynników, przy zerowym poziomie drugiego wynosi zero.

Aby określić optimum produkcji w warunkach zmiennych
proporcji czynników potrzebne jest także określenie
krzywej jednakowego kosztu (izokoszty). Producent działa
w warunkach własnego ograniczenia budżetowego,
a pracę oraz kapitał musi nabywać w warunkach

rynkowych.

Nakłady te są dla niego jednocześnie kosztami produkcji,
wpływającymi na efektywność firmy.

Wprowadzamy dwie nowe zmienne. Pierwsza to, w -

czyli

cena za jednostkę pracy oraz r - cena za usługę

jednostki

kapitału. Całkowite koszty zakupu czynników produkcji
oznaczamy jako TC.

Izokoszta przyjmuje wtedy postać

TC – wL + rK

Jest to linia prosta analogiczna do linii budżetowej.
Następnie na mapę izokwant nakładamy izokosztę.
Łączymy w ten sposób czynnik technologiczny z
czynnikiem kosztowym.

Optimum produkcji przedsiębiorstwa

Źródło: M.Rekowski, Mikroekonomia, Poznań WSB 1996, s.161.

Ponieważ izokwant jest nieskończenie wiele, zawsze znajdzie

się styczna z krzywa jednakowego kosztu. Będzie to najwyższa

izokwanta dostępna dla producenta przy jego ograniczeniu

kosztowym. Inaczej mówiąc, osiąga on maksymalną produkcję przy

danym ograniczeniu kosztowym.

W punkcie równowagi nachylenie stycznej do izokwanty produkcji

oraz izokoszty jest równe. Wypływa z tego zależność:

KSTS = PML/PMK = w/r

Przekształcając to równanie uzyskujemy rozwiązanie z punktu

widzenia zasady najmniejszego kosztu.

PML/w = PMK/r

W punkcie równowagi wyrównuje się stosunek krańcowego

produktu pracy do ceny pracy ze stosunkiem krańcowego produktu

kapitału do ceny kapitału.

Interpretować to można jako wyrównywanie się krańcowych

użyteczności pieniądza przeznaczonych na zakup pracy i kapitału.

Ostatnia złotówka wydana na zakup kapitału daje taki sam przyrost

produkcji jak ostatnia złotówka wydana na zakup jednostki pracy