Ka˙zde zadanie – 10pkt. Nie wolno u˙zywa´

c kalkulator´

ow, tablic ani innych notatek.

Wszelkie pytania nale˙zy kierowa´

c wy la

,

cznie do osoby prowadza

,

cej kolokwium.

19.07.2009

Egzamin z Analizy Matematycznej

semestr drugi

Zadanie 1. Prosze

,

obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

a)

Z

sin

2

xdx

b)

Z

√

x

4

+ x

2

dx gdzie x ≥ 0

Zadanie 2.

Prosze

,

znale´

z´

c obje

,

to´s´

c przestrzeni zamiecionej przez obr´

ot

wok´

o l osi OX obszaru ograniczonego krzywymi: y =

√

3x i y = x.

Zadanie 3. Prosze

,

znale´

z´

c d lugo´s´

c krzywej h(t) = (2t, t

2

,

1
3

t

3

), x ∈ [0, 3].

Zadanie 4.

Prosze

,

znale´

z´

c i scharakteryzowa´

c lokalne ekstrema funkcji

f (x, y) = −x

4

− y

4

+ 2x

2

+ 2y

2

+ 4xy.

Zadanie 5

∗

. Prosze

,

znale´

z´

c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´

c funkcji

f (x, y) = x

2

− y

2

+ 4x + 4y na zbiorze D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 4}.

Zadanie 6. Prosze

,

obliczy´

c ca lke

,

ZZ

D

sin(x

2

+ y

2

)dxdy

po zbiorze D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ π, y ≥ 0}

Zadanie 7. Prosze

,

znale´

z´

c ´srodek ´

cie

,

˙zko´sci jednorodnego p´

o lpier´scienia

a

2

≤ x

2

+ y

2

≤ b

2

, x ≥ 0.