ANALIZA MATEMATYCZNA sem. 1. EGZAMIN (3.02.2009)

Imię i nazwisko grupa

1. Sformułować i udowodnić twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego. Korzystając z

tego twierdzenia uzasadnić zbieżność ciągu:

n

e

e

e

a

n

n















1

2

1

1

1

2





.

2. Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie. Określić wartość funkcji

 

5

3

2

5 x

ctg

x

)

x

(

f



w punkcie

0

0



x

tak, aby funkcja f była ciągła w tym punkcie.

3. Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego

rzędu, jeżeli liczby

0

2

1









,

i

są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tego równania.

Sprawdzić, że funkcje:

 

 

 

x

sin

x

y

,

x

cos

x

y

,

`

x

y







3

2

1

1

tworzą fundamentalny układ rozwiązań

tego równania.

4. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji

 





x

ln

ctg

c

ar

cos

)

x

(

f



w punkcie





)

(

f

,

1

1

.

5. Obliczyć całkę:



dx

x

sin

e

x

3

2

6. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

 

y

y

x

x

y

,

x

f







8