5. Całkowanie ciągów funkcyjnych - wstęp

Ćw. 5.1 Mamy dane

f

n

(x) =

(

I

[0,

1
2

)

(x),

n − parzyste

I

[

1
2

,1]

(x),

n − nieparzyste.

Oblicz

R

R

lim inf

n→∞

f

n

(x)dx, lim inf

n→∞

R

R

f

n

(x)dx.

Ćw. 5.2 f

n

: R → R, f

n

(x) = nI

[n,n+

1

n

]

(x). Oblicz lim

n→∞

f

n

(x), x ∈ R,

R

R

lim

n→∞

f

n

(x)dx, lim

n→∞

R

R

f

n

(x)dx.

Ćw. 5.3 Oblicz granicę

lim

n→∞

Z

+∞

0

(1 + x)

n

1 + (1 + x)

n

e

−x

l(dx).

Ćw. 5.4 Oblicz, o ile istnieje, granicę całek lim

n→∞

R

R

e

−|x|

(sin x)

n

l(dx).

Ćw. 5.5 Oblicz granicę

Z

∞

0

∞

X

n=1

1

4

n

I

[

1

2n+1

,

1

2n

]

(x)l(dx).

Ćw. 5.6 Oblicz

∞

X

k=0

Z

[

π

4

,

3
4

π]

cos

k

x l(dx).

Ćw. 5.7 Oblicz granicę

lim

n→∞

∞

X

k=1

exp

(

−k

2 + cos

k

n

!)

.

Ćw. 5.8 Oblicz granicę

lim

n→∞

∞

X

k=1

1

k

2

1 −

min(k, n)

n

!

.