11. Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych-przygotowanie do

sprawdzianu

Zad. 11.1 (1998) Oblicz granic¦ caªek

lim

n→∞

Z

R

3

x

1

3

−

n

s

x

2

+ y

2

+ z

2

1 + x

2

+ y

2

+ z

2

!

I

A

(x, y, z) l

3

(dxdydz),

gdzie A = {(x, y, z); x > 0; y > 0; z > 0; x

2

+ y

2

+ z

2

< 2}.

Zad. 11.2 (1999) Oblicz granic¦

lim

n→∞

Z

A

n sin

 2x

2

− y

n



l

2

(dxdy),

gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (0, 0), (0, 1), (4, 0).

Zad. 11.3 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦

lim

n→∞

1

n

n

Z

U

(n − 3 ln z − ln(x

2

+ y

2

))

n

(x

2

+ y

2

)

3/2

l

3

(dxdydz),

gdzie U = {(x, y, z); 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 9, 1 ≤ z ≤ 2}.

Zad. 11.4 (1997) Oblicz granic¦

lim

n→∞

Z

U



1 −

xyz

n

3



exp

 x

2

2

+

z

2

3



l

3

(dxdydz),

gdzie U = {(x, y, z);

x

2

2

+

z

2

3

≤ 1; 0 ≤ y ≤ 3}.

Zad. 11.5 (1996) Oblicz, o ile istnieje, granic¦

lim

n→∞

Z

(0,∞)

3

(1 + x + y)

n

1 + (1 + x + y)

n

e

−x−y−z

2

/2

l

3

(dxdydz).

Zad. 11.6 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦

lim

n→∞

Z

U

n

2

sin

 x

2

+ y

2

n

2



cos



z

n



l

3

(dxdydz),

gdzie U = {(x, y, z); x

2

+ y

2

≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2}.