EGZAMIN 2 z ALGEBRY

12 luty 2013

Imię i nazwisko

grupa

(CZYTELNIE !)

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Zad 6

∑ z egz

Ćwicz

Razem

Ocena

UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.

1.

Niech

(

)

{

}

0

2

0

2

3

:

,

,

3

2

1

3

2

1

3

3

2

1

=

−

−

∧

=

+

−

∈

=

x

x

x

x

x

x

R

x

x

x

U

. Uzasadnić, że U jest

podprzestrzenią wektorową przestrzeni

3

R

V

=

i określić jej wymiar. Znaleźć rzut prostokątny

wektora

(

)

1

,

2

,

6

−

−

=

w

na .

U

Określić odwzorowanie

3

3

:

R

R

F

→

takie, że

( )

v

F

jest rzutem prostokątnym dowolnego wektora

3

R

v

∈

na zbiór U . Wyznaczyć jądro

F

Ker

tego odwzorowania.

2.

Co to są macierze podobne? Uzasadnić dlaczego macierze podobne maja te same wartości własne. Do

jakiej macierzy jest podobna macierz





















−

−

=

1

2

2

2

1

2

2

2

1

A

?

Wyznaczyć

10

A . Uzasadnić metodę postępowania powołując się na własności działań na macierzach.

(

Przytoczyć wszystkie te własności.)

3.

Wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej danej parametrycznie. Wyznaczyć równanie

sfery o środku w punkcie

(

)

1

,

7

,

5

−

−

stycznej do prostej







=

+

+

+

=

−

+

+

0

5

2

3

0

9

3

2

:

z

y

x

z

y

x

l

4.

Liczba

i

z

−

=

2

jest pierwiastkiem równania

0

20

6

2

2

3

4

=

+

−

+

−

z

z

z

z

. Wyznaczyć argument

główny 14 potęgi pierwiastka tego równania zawartego w zbiorze













<













+

<

∈

2

1

arg

3

:

π

π

i

z

C

z

.

5.

Wektory

)

0

,

2

,

1

,

3

,

1

(

),

5

,

1

,

2

,

4

,

3

(

),

2

,

0

,

1

,

1

,

1

(

),

1

,

1

,

0

,

2

,

1

(

4

3

2

1

−

−

=

−

=

−

=

−

=

v

v

v

v

należą do

podprzestrzeni wektorowej

5

R

U

⊂

. Wybrać z pośród nich wektory tworzące bazę tej podprzestrzeni.

Wyznaczyć pozostałe wektory (wektor) w zależności od wektorów wybranych do bazy. Czy wybór
wektorów bazy jest jednoznaczny? Czy wektor

)

0

,

0

,

1

,

0

,

0

(

=

w

należy do podprzestrzeni U ?

Odpowiedzi uzasadnij.

6.

Dane są punkty

(

)

1

,

2

,

1

−

A

,

(

)

8

,

1

,

7

−

B

,

(

)

0

,

3

,

7

−

C

. Znaleźć płaszczyznę, na której leży trójkąt ABC

oraz prostą zawierającą wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C .
W jakiej proporcji ta wysokość dzieli bok AB ?