MM ETK W03 zmiennestanu

Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zmienne stanu
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
1. Wprowadzenie .........................................................................................................................................................................................................................2
2. Przykład opisu układu za pomocą zmiennych stanu ...............................................................................................................................................................6
2.1 Formułowanie równania stanu.........................................................................................................................................................................................6
2.2 Elementy rozwiązania równania stanu ..........................................................................................................................................................................10
2.3 Wykorzystanie transformaty Laplace a w wyznaczaniu zmiennych stanu ...................................................................................................................18
2.4 Wykorzystanie wartości własnych macierzy stanu do badania stabilności układu.......................................................................................................22
2.5 Wykorzystanie macierzy stanu do wyznaczania odpowiedzi impulsowej układu ........................................................................................................23
�
1
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1. Wprowadzenie
Stanem obwodu w chwili t0 nazywamy zespół wielkości, które razem ze znajomością wszystkich sygnałów
wejściowych (tj. zródeł napięcia i zródeł prądu), pozwalają przewidzieć jednoznacznie zachowanie się
układu w każdej chwili t>t0 tzn. pozwalają na jednoznaczne określenie wszystkich sygnałów wyjściowych
(napięć i prądów) wszystkich elementów obwodu.
Zmiennymi stanu nazywamy taki układ wielkości, który jednoznacznie opisuje stan obwodu. Wielkości te
nazywane są zmiennymi stanu lub współrzędnymi stanu, a wektor będący zbiorem n zmiennych stanu
nazywamy wektorem stanu.
W obwodach elektrycznych stan obwodu jednoznacznie opisują ładunku na kondensatorach, a zatem
również napięcia na kondensatorach, oraz strumienie cewek czyli również prądy płynące przez cewki.
Wielkości te przyjmiemy za zmienne stanu.
Dla obwodów nie zawierających oczek osobliwych oraz węzłów (rozcięć) osobliwych liczba zmiennych
stanu jest równa liczbie elementów zachowawczych tj. liczbie kondensatorów i cewek. W ogólności o ilości
zmiennych stanu świadczy rząd obwodu (liczba stopni swobody)
n = nLC - nL - nC
gdzie nLC całkowita liczba kondensatorów i cewek, nL - liczba niezależnych węzłów osobliwych, nC -
liczba niezależnych oczek osobliwych.
�
2
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Dla n zmiennych stanu możemy sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno
równanie n-tego rzędu. To drugie podejście jest podstawą metody klasycznej rozwiązywania obwodów w
stanach przejściowych, dające rozwiązanie dla jednej zmiennej, będącej podstawą rozwiązywanego
równania n-tego rzędu. W metodzie zmiennych stanu wykorzystamy układ n równań pierwszego
stopnia.
Oznaczmy zmienne stanu za pomocą x1 t ,x2 t ,x3 t ...xn t , a odpowiadający im kolumnowy
( ) ( ) ( ) ( )
wektor zmiennych stanu o wymiarach nx1 jako:
�ł x1 t łł
( )
�łx t
( )śł nx1
2
�ł śł
X t =
( )
�ł śł
...
�ł
( )śł
n
�łx t �ł
Oznaczmy wymuszenia tj. niesterowane zródła napięciowe i prądowe przez u1 t ,u2 t ,u3 t ...un t , a
( ) ( ) ( ) ( )
odpowiadający im kolumnowy wektor wymuszeń o wymiarach px1 jako:
�łu1 t łł
( )
�łu t
( )śł px1
2
�ł śł
U t =
( )
�ł śł
...
�ł
( )śł
�łu t śł
p
�ł �ł
�
3
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Pisząc układ równań Kirchhoffa dla danego obwodu możemy tak przekształcić zależności z równaniami
pierwszego rzędu by otrzymać formę, gdzie z lewej strony występują pierwsze pochodne zmiennych stanu,
a z drugiej zmienne stanu i wymuszenia. Jest to tzw. postać normalna równania stanu.
dX t
( )
= AX t + BU t bądz X ' t = AX t + BU t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt
Macierze A i B w obwodzie liniowym mają elementy stałe, liczbowe, stanowiące kombinacje
elementów obwodu.
Przy czym: A jest macierzą kwadratową o wymiarach nxn i zwana jest macierzą stanu,
B jest macierzą prostokątną o wymiarach nxp i zwana jest macierzą wymuszeń.
Pełen opis obwodu, zawierający informacje o napięcia na cewkach, rezystorach czy prądach płynących
przez kondensatory, można sformułować drugim równaniem, opartym na zmiennych stanu. Równanie to
jest równaniem algebraicznym i nazywane jest równaniem odpowiedzi.
Y t =CX t + DU t
( ) ( ) ( )
�ł y1 t łł
( )
�ł
y2 t
( )śł qx1 wektor odpowiedzi
�ł śł
gdzie Y t =
( )
�ł śł
...
�ł
yq t
( )śł
�ł śł
�ł �ł
�
4
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Przy czym: C jest macierzą prostokątną o wymiarach qxn i zwana jest macierzą odpowiedzi,
D jest macierzą prostokątną o wymiarach qxp i zwana jest macierzą transmisyjną.
Równanie stanu i równanie odpowiedzi tworzą parę równań, które w pełni opisują stan obwodu w
warunkach dynamicznych.
Charakterystyczną cechą metody zmiennych stanu jest możliwość jednoczesnego wyznaczania
zmienności w czasie wszystkich wielkości uznanych za zmienne stanu. Ponadto metoda ta umożliwia
analizę obwodów różnej klasy, tj. liniowych i nieliniowych oraz stacjonarnych i niestacjonarnych. I wreszcie
oparcie równań tylko na pierwszej pochodnej, a także specjalna struktura równań wektorowo-macierzowa,
stwarza dobre warunki do aplikacji metody zmiennych stanu przy użyciu komputerów.
�
5
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2. Przykład opisu układu za pomocą zmiennych stanu
R1 = R2 = 1&! ;
L = 1H ,
C = 1F
2.1 Formułowanie równania stanu
Formułowanie równania zmiennych stanu oraz równania odpowiedzi pokażemy na przykładzie.
Stwierdzamy brak oczek oraz węzłów osobliwych, a więc rząd obwodu równy jest liczbie elementów
zachowawczych, n=2, i tyleż samo wyznaczymy zmiennych stanu.
Spodziewamy się:
�ł x1 t łł
( )
X t = t = �łu1 t łł px1=1x1; B nxp=2x1
( ) ( ) ( )�ł
�łx t nx1=2x1; A nxn=2x2; U
�ł
( )śł
2
�ł �ł
�
6
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
duC t
( )
x1 t = uC t �ł�ł t = C = C �" x'1 t
i3
( ) ( ) ( ) ( )
dt
di2 t
( )
x2 t = i2 t �ł�ł t = L = L �" x' 2 t
uL
( ) ( ) ( ) ( )
dt
Punktem wyjścia do wyznaczenia równania stanu jest układ równań Kirchhoffa:
ńł
i1 t = i2 t + i3 t
�ł ( ) ( ) ( )
ńł
i1 t = x2 t + Cx'1 t 1 �ł�ł 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�ł
�ł
( )
�łu t = R1i1 t + R2i2 t + L di2 t ; �łu1 t = R1i1 t + Lx2 t + R2x2 t
'
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�ł �ł
1
dt
�ł �ł
'
t + R2x2 t = x1 t
( ) ( ) ( )
�łLx2
�ł di2 t ół
( )
( ) ( )
�łR i2 t + L dt = uC t
2
ół
'
ńł
u1 t = R1x2 t + R1Cx'1 t + Lx2 t + R2x2 t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�ł
�ł
1 R2
' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�łLx t + R2x2 t = x1 t �ł�ł x2 t = L x1 t - L x2 t
2
ół
�
7
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ńł 1 R2
'
( ) ( ) ( ) ( ) ( )�ł ( )
1 �ł �ł
�łu t = R1x2 t + R1Cx1 t + L�ł L x1 t - L x2 t łł + R2x2 t
�ł
�ł
�ł
'
�ł�ł�ł x2 t = 1 x1 t - R2 x2 t

( ) ( ) ( )
�ł
ół L L
'
ńł
u1 t = R1x2 t + R1Cx1 t + x1 t - R2x2 t + R2x2 t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�ł
�ł
1 R2
'

( ) ( ) ( )
�ł�ł�ł x2 t = L x1 t - L x2 t
ół
'
ńł
R1Cx1 t = -x1 t - R1x2 t + u1 t
( ) ( ) ( ) ( )
�ł
�ł
1 R2
'

( ) ( ) ( )
�ł�ł�ł x2 t = L x1 t - L x2 t
ół
ńł�ł�ł x1 t = - 1 1 1
'
x1 t - x2 t + u1 t
( ) ( ) ( ) ( )
�ł
R1C C R1C
�ł
�ł
'
�ł�ł�ł x2 t = 1 x1 t - R2 x2 t

( ) ( ) ( )
�ł
ół L L
�
8
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Postać normalna równania stanu w postaci wektorowo macierzowej:
�ł- 1 1
łł
1
-
�ł łł
'
�ł śł
�ł łł �ł x1 t łł
x1 t
( )
( ) R1C C
�ł śł
śł
�łx' t = �ł �łx + R1C �łu1 t łł
( )śł ( )śł 0 śł ( )�ł
1 R2 �ł 2 t �ł �ł śł �ł
�ł śł
2
�ł �ł
- �ł
�ł �ł
�ł śł
�ł L L �ł
�ł x1 t łł
( )
X t =
( )
�łx t nx1=2x1; wektor zmiennych stanu
( )śł
2
�ł �ł
�ł- 1 1
łł
R1 = R2 = 1&! ;
-
�ł śł
-1 -1
R1C C �ł łł
A=� śł nxn=2x2; macierz stanu; dla danychL = 1H , A=��ł
= �ł =
1 -1śł
1 R2
�ł śł
�ł �ł
-
�ł śł C = 1F
�ł L L �ł
U t = �łu1 t łł px1=1x1; wektor wymuszeń
( ) ( )�ł
�ł
R1 = R2 = 1&! ;
1
�ł łł
1
�ł łł
�ł śł
R1C
B = nxp=2x1 macierz wymuszeń; dla danychL = 1H , B =
�ł0śł
�ł śł
�ł �ł
0
�ł śł
�ł �ł
C = 1F
�
9
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.2 Elementy rozwiązania równania stanu
Jeśli rozpatrywać dynamikę pracy obwodu elektrycznego tj. wykorzystać równanie stanu do analizy
obwodu w stanie nieustalonym, konieczna jest znajomość stanu początkowego w chwili komutacji t=t0.
Określa to wektor stanu początkowego, tj. wektor stanu dla t=t0.
�ł x1 t0 łł
( )
�łx t0
( )śł nx1
2
�ł śł
X =
0
�ł śł
...
�ł
( )śł
n
�łx t0 �ł
Rozwiązanie równania stanu X ' t = AX t + BU t w ogólnym zapisie ma postać:
( ) ( ) ( )
t
A t-�
0
X t = eA(t-t )X t0 +
( ) ( )
+"e ( )BU (� )d�
t0
Natomiast wektor odpowiedzi Y t =CX t + DU t , w ogólnym zapisie reprezentuje równanie:
( ) ( ) ( )
t
0
Y t =C eA(t-t )X t0 + eA(t-� )BU � d� +DU t
( ) ( ) ( ) ( )
+"C
t0
0
fragment eA(t-t )X t0 zależy od wektora stanu początkowego, występuje tylko przy stanie
( )
początkowy niezerowym,
�
10
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
t t
A t-�
fragment
+"e ( )BU (� )d� , bądz +"C eA(t-� )BU (� )d� jest splotem dwóch funkcji macierzowych i
t0 t0
reprezentuje działanie wymuszeń.
Charakterystycznym elementem obu równań jest macierz eA(t) zwana macierzą podstawową lub
tranzycyjną układu. Kluczowe znaczenie dla rozwiązania równania stanu będzie miała umiejętność
wyznaczenia macierzy podstawowej.
Pewnym kierunkiem jest wykorzystanie metody rozwinięcia w szereg skończony eA(t) ze względu na
kwadratową macierz A przy danym rzędzie obwodu n.
n-1
g A = eA(t) =
( )
"� (t)Ak
k
k =0
Rozwinięcie to wykorzystuje twierdzenie twierdzenie Cayleya-Hamiltona, które mówi, iż każda macierz
kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne, co oznacza:
g = 0 �ł�ł g A=� 0 dla pierwiastków równania charakterystycznego.
=
( ) ( )
Dla rozpatrywanego przykładu n=2, stąd rozwinięcie przyjmie postać:
g A = eA(t) = �0 t 1+ �1 t A1
( ) ( ) ( )
gdzie 1 oznacza diagonalną macierz jednostkową nxn.
�
11
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
-1 -1
�ł łł
Macierz stanu, po podstawieniu danych, wynosi A=��ł , co pozwala przedstawić rozwinięcie
=
1 -1śł
�ł �ł
macierzy podstawowej w zapisie wektorowo-macierzowym:
1 0 -1 -1 �ł�0 t 0 łł �ł-�1 t -�1 t łł
łł łł
g A = eA(t) = �0 t + �1 t = +
( ) ( )�ł0 1śł ( )�ł 1 -1śł �ł 0( ) �0 (t)śł �ł �1((t)) -�1(t)
�ł �ł
( )śł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
Do wyznaczenie współczynników rozkładu �0 t ,�1 t wykorzystamy pojęcie równania
( ) ( )
charakterystycznego macierzy stanu A=�
(kwadratowej) i wywodzących się z tego równania wartości
własne macierzy stanu.
Mając daną macierz kwadratową A=�
możemy wyznaczyć wielomian charakterystyczny tej macierzy jako:
g = det A=�
-1
( ) [ ]
gdzie 1 oznacza diagonalną macierz jednostkową nxn.
Następnie równanie:
g = 0 �ł�ł A=� = 0
det -1
( ) [ ]
jest równaniem charakterystycznym macierzy A=�a wywodzące się z tego równania pierwiastki
,
nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi bądz wartościami własnymi macierzy kwadratowej
A=�
.
�
12
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Spróbujmy więc wyznaczyć macierz podstawową eA(t) w następujących operacjach:
wyznaczenie równania charakterystycznego macierzy A=�
wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego (wartości własnych macierzy A=�
)
na podstawie rozwinięcia w szereg skończony macierzy podstawowej, wykorzystać wartości własne
do wyznaczenia współczynników rozwinięcia tej macierzy w szereg
Wyznaczenie równania charakterystycznego macierzy A=�
-1 -1 1 0 -1 -1 0
)
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł (-1- -1
g = det A=� = - = - =
-1
( ) [ ]
�ł śł
1 -1śł �ł0 1śł �ł 1 -1śł �ł0 1
(-1-
)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
g = 1+ +1 = 2 + 2 + 2
( ) ( )
Wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego (wartości własnych macierzy A=�
)
g = 0 �ł�ł + 2 + 2 = 0
2
( )
" = b2 - 4ac = 4 - 8 = -4; " = j2
-b + " -2 + j2
1 = = = -1+ j1
2 2
-b - " -2 - j2
2 = = = -1- j1
2 2
�
13
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Wyznaczanie macierzy podstawowej przez wyznaczenia współczynników rozwinięcia tej macierzy
w szereg skończony.
Przypomnijmy postać rozwinięcia:
1 0 -1 -1 �ł�0 t 0 łł �ł-�1 t -�1 t łł
łł łł
g A = eA(t) = �0 t + �1 t = +
( ) ( )�ł0 1śł ( )�ł 1 -1śł �ł 0( ) �0 (t)śł �ł �1((t)) -�1(t)
�ł �ł
( )śł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
Jednocześnie przy wartościach własnych macierzy (dla pierwiastków równania charakterystycznego)
i
g = 0 �ł�ł g A=� 0 �ł�ł = g i
= e t
( ) ( ) ( )
czyli:
et = �0 t + �1 t (dla pierwiastków równania charakterystycznego)
( ) ( )
to przy danych pierwiastkach
1
1 = -1+ j1�ł�ł = �0 t + �1 t
e t
( ) ( )(-1+ j1
)
2
2 = -1- j1�ł�ł = �0 t + �1 t
e t
( ) ( )(-1- j1
)
Otrzymamy dwie informacje przy dwóch poszukiwanych współczynnikach rozwinięcia (funkcji zmiennej t):
ńłe(-1+ j1)t = �0 t + �1 t
( ) ( )(-1+ j1
)
�ł
�ł
(-1- j1 t
)
= �0 t + �1 t -1- j1
( ) ( )( )
�łe
ół
�
14
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Przez obustronne odjęcie stronami uzyskamy:
e(-1+ j1)t - e(-1- j1)t = �0 t + �1 t -1+ j1 - �0 t - �1 t -1- j1
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
jt
e-t e - e- jt = j2�1 t
( )
( )
e-t j2sint = j2�1 t �ł�ł t = e-t sint
�1
( ) ( ) ( )
Przez obustronne zsumowanie stronami uzyskamy:
e(-1+ j1)t + e(-1- j1)t = �0 t + �1 t
( ) ( )(-1+ j1 + �0 t + �1 t
) ( ) ( )(-1- j1
)
jt
e-t e + e- jt = 2�0 t - 2�1 t
( ) ( )
( )
e-t 2cost = 2 �0 t - �1 t �ł�ł t = e-t cost + �1 t = e-t cost + e-t sint
�0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Ostatecznie:
�1 t = e-t sint ; �0 t = e-t cost + sint
( ) ( ) ( )
Szukana macierz podstawowa eA(t) względem macierzy A=�
1 0 -1 -1 �ł�0 t 0 łł �ł-�1 t -�1 t łł
łł łł
g A = eA(t) = �0 t + �1 t = +
( ) ( )�ł0 1śł ( )�ł 1 -1śł �ł 0( ) �0 (t)śł �ł �1((t)) -�1(t)
�ł �ł
( )śł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł łł
e-t cost + sint 0 �ł-e-t sint -e-t sint e-t cost -e-t sint
łł �ł łł
( )
g A = eA(t) = + =
( )
�ł
śł
0 e-t cost + sint
( )śł �ł e-t sint -e-t sintśł �łe-t sint e-t cost
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�
15
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UWAGA:
Metoda rozwinięcia w szereg skończony jest szczególnie przydatna, gdy macierz kwadratowa A=� ma
wielokrotne wartości własne. Np. niech pierwiastek i ma krotność mi = 2.Należy wtedy dla tej wartości
d d
i i
własnej, oprócz równania e t = g i ,zapisać dodatkowe równanie e t = g i
( ) ( )
dt d
=i =i
UWAGA:
Istnieją jeszcze inne metody wyznaczania macierzy podstawowej eA(t) :
zastosowanie wzoru interpolacyjnego Sylevestera
-1
metoda przekształceń macierzowych z użyciem nieosobliwej macierzy przekształceń D = P AP
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Wracając do głównego równania możemy wyznaczyć wektor stanu:
t
A t-�
0
X t = eA(t-t )X t0 +
( ) ( )
+"e ( )BU (� )d�
t0
Dla przypadku t0=0 oraz zerowych warunków początkowych, wektor stanu określa równanie:
t
A t-�
X t =
( )
+"e ( )BU (� )d�
0
czyli splot funkcji macierzowych.
�
16
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
W danym zadaniu:
U t = �łu1 t łł px1=1x1; wektor wymuszeń
( ) ( )�ł
�ł
R1 = R2 = 1&! ;
1
�ł łł
1
�ł łł
�ł śł
R1C
B = nxp=2x1 macierz wymuszeń; dla danychL = 1H , B =
�ł0śł
�ł śł
�ł �ł
0
�ł śł
�ł �ł
C = 1F
t
�ł-cos t -� -sin t -� łł 1
( ) ( ) �ł łł
-(
t-�
X t = łł
( )
�ł śł
�ł0śł
�ł
+"e ) �ł sin(t -� ) cos(t -� ) �ł �" �ł �ł �" �łu1(� )�ł d�
0
Bądz ze względu na przemienność splotu
t t
cost sint 1
�ł łł �ł łł
A t
-t
X t = �" �łu1 t -� łł d�
( ) ( )�ł
�łsint costśł �ł0śł
+"e ( )BU (t -� )d� = +"e �ł �ł
�ł �ł �ł
0 0
t
�ł łł
-t
łł
�ł śł
�ł
+"e cost �" �łu1(t -� )�ł d� śł
t
cost
�ł łł
-t
X t = łł
( )
�łsint śł
+"e �ł �ł �" �łu1(t -� )�ł d� = �ł0
�ł
t
�ł śł
0
-t
�ł łł
�ł
+"e sint �" �łu1(t -� )�ł d� śł
�ł śł
�ł 0 �ł
UWAGA:
Wyznaczanie zmiennych stanu jest efektywniejsze przy wykorzystaniu transformaty Laplace a w
połączeniu z metoda przekształceń macierzowych.
�
17
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.3 Wykorzystanie transformaty Laplace a w wyznaczaniu zmiennych stanu
Powróćmy do postaci normalna równania stanu.
dX t
( )
= AX t + BU t bądz X ' t = AX t + BU t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt
i dokonajmy obustronnie transformacji Laplace a:
sX s - X t0 = AX s + BU s
( ) ( ) ( ) ( )
�ł�ł s - AX s = BU s + X t0
sX
( ) ( ) ( ) ( )
�ł�ł s1- A X s = BU s + X t0

( ) ( ) ( ) ( )
-1
�ł�ł s = s1- A �łBU s + X t0 łł
X
( ) ( ) ( ) ( )�ł
�ł
-1
�ł�ł s = P R
X
( )
Niech P = s1- A , a R = BU s + X t0
( ) ( ) ( )
W omawianym przykładzie
�ł- 1 1
łł
1
-
�ł łł
'
�ł śł
�ł łł �ł x1 t łł
x1 t
( )
( ) R1C C
�ł śł
śł
�łx' t = �ł �łx + R1C �łu1 t łł
( )śł ( )śł 0 śł ( )�ł
1 R2 �ł 2 t �ł �ł śł �ł
�ł śł
2
�ł �ł
- �ł
�ł �ł
�ł śł
�ł L L �ł
�
18
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
�ł x1 t łł
( )
X t =
( )
�łx t nx1=2x1; wektor zmiennych stanu
( )śł
2
�ł �ł
�ł- 1 1
łł
R1 = R2 = 1&! ;
-
�ł śł
-1 -1
R1C C �ł łł
A=� śł nxn=2x2; macierz stanu; dla danychL = 1H , A=��ł
= �ł =
1 -1śł
1 R2
�ł śł
�ł �ł
-
�ł śł C = 1F
�ł L L �ł
U t = �łu1 t łł px1=1x1; wektor wymuszeń
( ) ( )�ł
�ł
R1 = R2 = 1&! ;
1
�ł łł
1
�ł łł
�ł śł
R1C
B = nxp=2x1 macierz wymuszeń; dla danychL = 1H , B =
�ł0śł
�ł śł
�ł �ł
0
�ł śł
�ł �ł
C = 1F
Po podstawieniu danych:
'
�ł łł
x1 t
łł ( ) �ł łł
( ) �ł-1 -1 �ł x1 t łł 1
�łx' t = �ł 1 -1śł t + �ł0śł �łu1 t łł
�łx
( )śł �ł ( )śł �ł �ł �ł ( )�ł
2 �ł 2
�ł �ł �ł �ł
�
19
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Po przejściu do dziedziny operatorowej
-1
-1
X s = s1- A �łBU s + X t0 łł = P R
( ) ( ) ( ) ( )�ł
�ł
1 0
�ł łł �ł-1 -1 s +1 1
łł �ł łł
�ł�ł = A = s =
P=�s1-
�ł0 1śł - �ł
1 -1śł �ł -1 s +1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0
�ł łł
X t0 =�ł śł
( )
1
�łU1 s łł
�ł łł
�ł0�ł
�ł�ł = BU s + X t0 �ł�ł�ł�ł = BU s = �" �łU1 s łł =
R R
( ) ( ) ( ) ( )�ł �ł 0( )śł
�ł0śł �ł
�ł �ł
�ł �ł
Dalej:
1+1 1+2
�ł
�łs +1 -(-1 łł
(-1 p22
) (-1 p21 łł
) s +1 -1
) �ł łł
transpose T
DP = �ł śł = �ł�ł�ł�ł =
DP �ł
1 �ł- śł
-1 T 2+1 2+2
1 s +1śł
( )
P = �"D gdzie:
�ł śł
(-1 p12 �ł �ł
) (-1 p11�ł �ł 1 s +1 �ł
)
P
�ł
det P
det P = p11 p22 - p12 p21 = s +1 s +1 -( )(-1 = s2 + 2s + 2
1
( )( ) )
Stąd:
s +1 -1
1 1 �ł łł
-1 T
P = �"D =
�ł
P
det P s2 + 2s + 2 1 s +1śł
�ł �ł
1
�ł łł (
R = BU s = �" �łU1 s łł =
( ) ( )�ł �łU10s)łł
�ł śł
�ł0śł �ł
�ł �ł
�ł �ł
Wektor transformat Laplaca zmiennych stanu dla danego przykładu:
s +1 -1
�łU1 s łł
1 �ł łł ( )
-1
X s = P R=� �"
=
( )
śł
�ł
s2 + 2s + 2 1 s +1śł �ł
0
�ł �ł
�ł �ł
�
20
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1
Jeśli wymuszeniem będzie np. napięcie stałe E=1V to U1 s =
( )
s
Wtedy:
s +1
�ł łł
s +1
�ł łł
�ł
s s2 + 2s + 2
�ł śł
( )śł
s +1 -1 1/ s
1 �ł łł �ł łł 1
s
-1 �ł śł
X s = P R=� �" = =
=
( ) �ł śł
�ł śł
�ł śł
s2 + 2s + 2 1 s +1śł �ł 0 s2 + 2s + 2 1 1
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
�ł
�ł śł
�ł s �ł
s s2 + 2s + 2
( )śł
�ł śł
�ł �ł
Poszukiwane zmienne stanu:
�ł
ńł �ł
s +1
�łłł
�ł śł
L-1 �ł
�ł
�ł s s2 + 2s + 2
( )żł
�ł x1 t łł �ł �łśł
( )
ół �łśł
X t =�L-1 X s =
=
( ) { }
( )
�łx t �ł
( )śł
�ł ńł �łśł
2
�ł �ł
1
�łśł
�łL-1 �ł
�ł
s s2 + 2s + 2
�ł ( )żłśł
�ł �ł�ł
ół �ł
�ł
Rozwiązanie:
1 1 1
�ł �ł1
x1 t = uC t = - e-t cost + e-t sint t
( ) ( ) ( )
�ł �ł
2 2 2
�ł łł
1 1 1
�ł �ł1
x2 t = iL t = - e-t cost - e-t sint t
( ) ( ) ( )
�ł �ł
2 2 2
�ł łł
�
21
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.4 Wykorzystanie wartości własnych macierzy stanu do badania stabilności układu
Możemy stwierdzić czy system jest stabilny bez wyznaczania zmiennych stanu i badani ich przebiegu.
Otóż o stabilności układu możemy wnioskować na podstawie położenia wartości własnych macierzy stanu
A=�
tj. pierwiastków równania charakterystycznego.
Układ jest stabilny, jeśli wszystkie wartości własne macierzy stanu mają części rzeczywiste
mniejsze od zera Re i < 0
{ }
1 = -1+ j1�ł�ł 1 = -1< 0
Re
{ }
W omawianym przypadku świadczy o stabilności układu.
2 = -1- j1�ł�ł 2 = -1< 0
Re
{ }
�
22
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.5 Wykorzystanie macierzy stanu do wyznaczania odpowiedzi impulsowej układu
Rozważmy w omawianym przykładzie jedno wejście i jedno wyjście.
Wtedy równanie odpowiedzi
t
0
Y t =CX t + DU t bądz: Y t =C eA(t-t )X t0 + eA(t-� )BU � d� +DU t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"C
t0
zawierać będzie elementy:
Y t = �ł y1 t łł qx1=1x1; wektor odpowiedzi
( ) ( )�ł
�ł
�ł x1 t łł
( )
X t =
( )
�łx t nx1=2x1; wektor zmiennych stanu
( )śł
2
�ł �ł
C=� c11 c12 qxn=1x2; macierz odpowiedzi dla przypadku 1WYJ C=� c11 c12 = 1 0
= =
[ ] [ ] [ ]
U t = �łu1 t łł px1=1x1; wektor wymuszeń
( ) ( )�ł
�ł
D = d11 qxp=1x1 macierz transmisyjna
[ ]
�
23
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Z wcześniejszy wyprowadzeń:
�ł- 1 1
łł
R1 = R2 = 1&! ;
-
�ł śł
-1 -1
R1C C �ł łł
A=� śł nxn=2x2; macierz stanu; dla danychL = 1H , A=��ł
= �ł =
1 -1śł
1 R2
�ł śł
�ł �ł
-
�ł śł C = 1F
�ł L L �ł
R1 = R2 = 1&! ;
1
�ł łł
1
�ł łł
�ł śł
R1C
B = nxp=2x1 macierz wymuszeń; dla danychL = 1H , B =
�ł0śł
�ł śł
�ł �ł
0
�ł śł
�ł �ł
C = 1F
�ł łł
e-t cost -e-t sint
eA(t) =
�łe-t sin t e-t cost śł nxn=2x2; macierz podstawowa (tranzycyjna)
�ł �ł
Dla systemu z jednym wejściem i jednym wyjściem wielkość C eA(t)B równa jest odpowiedzi impulsowej.
Dla systemu o p wejść i q wyjść wielkość C eA(t)B jest macierzą o wymiarze pxq , gdzie element (i,j) tej
macierzy jest funkcją odpowiedzi impulsowej i-tego wyjścia na impuls Diraca na j-tym wejściu, przy
pozostałych sygnałach wejściowych równych zeru.
�
24
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
W badanym przypadku jednowejściowego i jednowyjściowego układu odpowiedz impulsowa wyniesie:
�ł łł 1 1
e-t cost -e-t sin t �ł łł �ł łł
-t
�ł łł
C eA(t)B=�1 0 �" �" = cost -e-t sin t�ł �" = e-t cost = h t
=
[ ] ( )
�łe-t sint e-t cost śł
�ł0śł �ł0śł
�łe
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�
25

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PiS15 W03 Zmienne losowe II 12
MM ETK W02 skladowesymetryczne
MM ETK W02 skladowesymetryczne
Jaką wartość będzie miała zmienna
6 2 Zmienna losowa
Fadal Format 2 [MM] MW60 89
09 funkcje zmiennej rzeczywistej 3 4 pochodna funkcji
zmiennesr
08 MOSTY ZESPOLONE MM 2+
C w6 zmienne dynamiczne wskazniki funkcji
calki nieoznaczone funkcji jednej zmiennej
Ewolucja i zmienność genomu drożdży winiarskichS cerevisiae
zmienne
Sozański Statystyczne miary zmienności a kwantyfikacja nierówności społecznej
3 dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznego
Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej

więcej podobnych podstron