Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Składowe symetryczne  niesymetrie poprzeczne, zwarcia
cz. 1
1. Wykorzystanie składowych symetrycznych w analizie niesymetrii poprzecznych w sieciach elektroenergetycznych................................................ 2
1.1 Zwarcie jednofazowe -1f-GND ............................................................................................................................................................................. 8
1.1.1 Rozważania rozszerzone dotyczące pracy punktu neutralnego sieci........................................................................................................... 16
1.2 Zwarcie 3-fazowe (symetryczne międzyfazowe)  3f ......................................................................................................................................... 23
1.3 Zwarcie 3-fazowe (symetryczne z ziemią)  3f-GND ......................................................................................................................................... 30
1.4 Zwarcie dwufazowe  2f...................................................................................................................................................................................... 38
1.5 Zwarcie dwufazowe  2f-GND............................................................................................................................................................................ 47
�
1
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1. Wykorzystanie składowych symetrycznych w analizie
niesymetrii poprzecznych w sieciach elektroenergetycznych
Model zakłócenia poprzecznego (awarii poprzecznej) reprezentowany jest za pomocą równoległego
przyłączenia do elementów systemu (tj. linii, generatora, transformatora, odbioru) układu połączeń
impedancji zz . Odpowiednia architektura tego połączeń pozwala zamodelować :
zwarcie jednofazowe
zwarcie dwufazowe
zwarcie dwufazowe z ziemią
zwarcie trójfazowe
zwarcie trójfazowe z ziemią
Dodatkowe scenariusze dotyczące zwarć mogą obejmować:
zwarcia pojedyncze
zwarcia wielokrotne
Charakterystyka układu pracy sieci wprowadza również do analizy dodatkowe elementy:
zwarcia w sieciach ze skutecznie uziemionym punktem neutralnym, tzn. zN = 0 ( w sieciach
dystrybucyjnych wysokiego napięci 110kV oraz w sieciach przesyłowych 220kV, 400kV i 750kV)
zwarcia w sieciach z izolowanym punktem neutralnym, tzn. zN = " ( w sieciach dystrybucyjnych
średniego napięcia)
�
2
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
zwarcia w sieciach z punktem neutralnym uziemionym przez cewkę indukcyjną (dławik
kompensacyjny, cewka Petersena) , tzn. zN = j�LN ( w sieciach dystrybucyjnych średniego
napięcia)
zwarcia w sieciach z punktem neutralnym uziemionym przez rezystor, tzn. zN = RN ( w sieciach
dystrybucyjnych średniego napięcia kablowych i kablowo-napowietrznych)
zwarcia w sieciach z bezpośredni uziemionym punktem neutralnym ( w sieciach rozdzielczych
niskiego napięcia wyposażonych w czwarty przewód bezpośrednio połączony z punktem neutralnym
transformatora)
Ocena prądów zwarciowych służy np. do celów projektowych, wyboru aparatury, oraz nastaw
zabezpieczeń.
Najcięższe warunki prądowe występują przy zwarciach trójfazowych i są podstawą do doboru aparatów,
kabli, przewodów, przyjmując najmniej korzystne miejsce zwarcia tzn. węzeł systemu (początek linii za
zabezpieczeniem).
Natomiast zwarcia jednofazowe oceniane są dla najdalszego punktu obwodu, gdyż można je wykorzystać
do sprawdzenia skuteczności ochrony przeciwporażeniowej.
Z punktu widzenia odległości zwarcia od generatora wyróżnić można:
zwarcia bliskie
zwarcia dalekie
�
3
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Obwody składowych symetrycznych dają się często zastąpić jednofazowym obwodem, co w prosty
''
sposób pozwala wyznaczyć prąd początkowy I w miejscu zwarcia.
k
Wykorzystanie metody składowych symetrycznych w analizie zwarć można podzielić na etapy:
ETAP 1  model systemu z zastosowaniem składowych symetrycznych względem konkretnego
miejsca zwarcia (model składowych symetrycznych obwodu przed pojawieniem się zakłócenia
(odwzorowanie składowych symetrycznych z
ródła 3-f oraz impedancji generatorów, transformatorów, linii)
aż do punktu zwarcia)
ETAP 2  model składowych symetrycznych warunków początkowych w miejscu zwarcia (
odwzorowanie warunków prądowo-napięciowych w miejscu zwarcia i ich zapis w składowych
symetrycznych)
ETAP 3  połączenie obwodów składowych symetrycznych w zależności od rodzaju zwarcia i
wyznaczenie składowych symetrycznych napięć i prądów
ETAP 4  powrót do wartości fazowych, wyznaczenie prądu zwarcia
�
4
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
KOMENTARZ SZCZEGÓA
OWY DO ETAPU 1:
Często rozważa się ocenę warunków zwarciowych przy upraszczającym założeniu symetryczności układu
zasilania, tzn., że zwarcie zachodzi w warunkach ustalonej pracy przy symetrii napięć. Oznacza to, że
z
ródło traktuje się jako symetryczne z
ródło kolejności zgodnej. Uproszczenie to jest daleko idealizujące,
ale powszechnie stosowane i wprowadzane.
Składowe symetryczne z
ródła przy założeniu
Składowe symetryczne z
ródła przy założeniu symetrii
możliwości niesymetrii z
ródła
Jeśli napięcia z
ródłowe tworzą układ symetryczny
kolejności zgodnej E , EB, EC E ,a2 E ,aE , a za
A A A A,
E0 1 1 1 E
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
A
fazę odniesienia przyjmiemy E , to:
1 A
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#E Ą#
E1 =
B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# E0 1 1 1 E 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą#A ń# Ą# ń#
3
1
ó#E2 Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#EC Ą#
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#a2 Ą# ó#E Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
E1 =
A A
ó# Ą# ó# Ą# ó#E =
Ą# ó# Ą#
3
ó#E2 Ą# ó#1 a2 a Ą# ó# aE Ą# ó# 0 Ą#
A
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
�
5
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Często rozważa się ocenę warunków zwarciowych przy upraszczającym założeniu symetryczności
impedancji systemu do miejsca zwarcia, tzn., że impedancje poszczególnych elementów systemu,
włączając impedancje generatora, transformatora oraz linii, do miejsca zwarcia, są symetryczne.
Nierzadko zastępuje się to jedną impedancją Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z . Pomija się również
A B C G L
impedancje sprzężeń pomiędzy fazami wymienionych elementów systemu.
Składowe symetryczne impedancji systemu do miejsca zwarcia z
ródła przy założeniu symetrii
Z
-impedancja fazowa systemu
do miejsca zwarcia,
Z
N
-impedancja punktu
neutralnego sieci
Z
Ą# ń#
0
ó#Z Ą#
Z + Z Z Z
Ą#ń#
NN N
Z =
SSYS 1
-1
ó# Ą#
ó#Ą# ZSSYS =S �"Z �"S
SYS
Z = ZZ + ZZ Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#

SSYS NN N
ó#Z Ą#
ó#Ą#
2
Ł# Ś#
ó#Ą#
ZZ Z + Z
NN N
Ł#Ś#
-impedancje składowych
symetrycznych systemu do
Z + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń#
N 0
miejsca zwarcia
ó#Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 Z 0 =
SSYS 1
ó#Ą# ó# Ą#
ó# 00 Z Ą# ó# Ą#
2
Ł#Ś# Ł#Z Ś#
�
6
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Wprowadzenie ogólnie impedancji punktu neutralnego sieci Z pozwala uogólnić przypadek omawianych
N
zwarć dla wspomnianych wcześniej wszystkich rodzajów pracy sieci ze względu na uziemienie punktu
neutralnego:
zwarcia w sieciach ze skutecznie uziemionym punktem neutralnym, tzn. zN = 0
zwarcia w sieciach z izolowanym punktem neutralnym, tzn. zN = "
zwarcia w sieciach z punktem neutralnym uziemionym przez cewkę indukcyjną, tzn. zN = j�LN
zwarcia w sieciach z punktem neutralnym uziemionym przez rezystor, tzn. zN = RN
Należy też pamiętać, że termin punkt neutralny używany jest w kontekście sieci, zaś punkt gwiazdowy
dotyczy ściśle konstrukcji transformatora.
KOMENTARZ SZCZEGÓA
OWY DO ETAPU 2:
Zamodelowanie za pomocą składowych symetrycznych w miejscu zwarcia zależy od rodzaju zwarcia, a
dokładnie od zapisania za pomocą składowych symetrycznych 3 warunków początkowych napięć i prądów
w miejscu zwarcia. Prześledzimy to na kolejnych przykładach.
�
7
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1.1 Zwarcie jednofazowe -1f-GND
Rozważymy zwarcie jednofazowe z ziemią fazy A przez impedancję Z w sieci z uziemionym punktem
z
neutralnym przez impedancję Z .
N
Tego typu zwarcie reprezentuje przypadek niesymetrycznego zwarcia z udziałem ziemi. Prąd zwarciowy
dotyczyć będzie zwartej fazy A i zamykał będzie się przez ziemię oraz impedancję punktu neutralnego
sieci.
�
8
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 1  model systemu z zastosowaniem składowych symetrycznych względem konkretnego
miejsca zwarcia (model składowych symetrycznych obwodu przed pojawieniem się zakłócenia
(odwzorowanie składowych symetrycznych z
ródła 3-f oraz impedancji generatorów, transformatorów, linii)
aż do punktu zwarcia)
Składowe symetryczne z
ródła przy założeniu
Składowe symetryczne z
ródła przy założeniu symetrii
możliwości niesymetrii z
ródła
Jeśli napięcia z
ródłowe tworzą układ symetryczny
kolejności zgodnej E , EB, EC E ,a2 E ,aE , a za
A A A A,
E0 1 1 1 E
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
A
fazę odniesienia przyjmiemy E , to:
1 A
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#E Ą#
E1 =
B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# E0 1 1 1 E 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą#A ń# Ą# ń#
3
1
ó#E2 Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#EC Ą#
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#a2 Ą# ó#E Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
E1 =
A A
ó# Ą# ó# Ą# ó#E =
Ą# ó# Ą#
3
ó#E2 Ą# ó#1 a2 a Ą# ó# aE Ą# ó# 0 Ą#
A
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Składowe symetryczne impedancji systemu do miejsca zwarcia z
ródła przy założeniu symetrii i pominięciu
sprzężeń
Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
-impedancja fazowa sieci do
Przy pominięciu sprzężeń:
miejsca zwarcia,
Z + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń#
N 0
ó#Ą# ó#Z Ą# Z
N
Z = 0 Z 0 =
S 1
ó#Ą# ó# Ą#
-impedancja punktu
ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą#
2
Ł#Ś# Ł# Ś#
neutralnego sieci
�
9
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Efekt etapu 1: reprezentacja sieci do miejsca zwarcia za pomocą składowych symetrycznych
Składowe symetryczne systemu przy założeniu Składowe symetryczne systemu przy założeniu
możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
Z + ZZ Z Z + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
NN N N 0
-1
ó#Ą# ZS =S �"Z �"S ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = Z Z + Z Z Ż#Ż#Ż#Ż#ZS = 0 Z 0 =
NN N 1
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Z ZZ + Z Ą# 0 Z Ą# ó#Z Ą#
ó# 0
NN N 2
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
przy zwarciu doziemnym składowe zerowa impedancji systemu zawiera element związany z
impedancją punktu neutralnego sieci jako 3Z
N
�
10
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 2  model składowych symetrycznych warunków początkowych w miejscu zwarcia (
odwzorowanie warunków prądowo-napięciowych w miejscu zwarcia i ich zapis w składowych
symetrycznych)
Prądowo-napięciowe warunki graniczne w miejscu zwarcia można opisać:
U = I �" zz
ż#
A A
�#
I = 0
�#
B
�#
I = 0
�# C
Przeniesienie warunków granicznych na grunt składowych symetrycznych można rozpocząć od
zastosowania do przekształcenia składowych symetrycznych informacji prądowej w miejscu zwarcia:
I , I = 0, I = 0
A B C
1
Ą#ń#
I
A
I 1 1 1 I 3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
0 A ó#Ą#
1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#ó#Ą# 1
1
I1 = 0 = I Ż#Ż# I = I ; I = 3I

0
AA A 0
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó# Ą# 33
ó#Ą#
3
ó#I Ą# ó#1 a2 a Ą# ó# 0 Ą#ó#Ą#
2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
1
I
A
Ł# 3 Ś#
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
składowe zerowa, zgodna i przeciwna są sobie równe  czyli obwody składowych symetrycznych
połączone są szeregowo
�
11
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Uzupełnienie informacji o składowych symetryczny w miejscu zwarcia przynosi warunek graniczny
napięciowy wraz z budową prądu fazowego w oparciu o składowe symetryczne:
U = I �" zz = I + I1 + I �" zz = 3zz �" I = 3zz �" I1 = 3zz �" I
( )
A A 0 2 0 2
Napięcie fazowe również możemy wyrazić sumą składowych symetrycznych:
U = U +U1 +U
()
A 0 2
czyli:
U +U1 +U = 3zz �" I = 3zz �" I1 = 3zz �" I
()
0 2 0 2
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
istnieje oczko zbudowane ze składowych symetrycznych napięć w miejscu zwarcia zamykające się
szeregowo (ten sam prąd) prze potrojoną impedancję w miejscu zwarcia
�
12
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 3  połączenie obwodów składowych symetrycznych
Zwarcie 1f-GND
Obwody składowych symetrycznych przy Obwody składowych symetrycznych przy założeniu
założeniu możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
Impedancja składowej zerowej zawiera element
Impedancja składowej zerowej zawiera element 3Z
N
3Z
N
�
13
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Kontynuując rozważania dla układu symetrycznego zasilania opiszemy prądy składowych
symetrycznych w miejscu zwarcia:
E1
I = I1 = I = ; z0 = z + 3zN , z1 = z, z2 = z
0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz
Natomiast napięcia składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
E1 z0 + z2 + 3zz
( )
U1 = E1 - z1I1 =
z0 + z1 + z2 + 3zz
E1 z2
( )
U = 0 - z2 I = -
2 2
z0 + z1 + z2 + 3zz
E1 z0
( )
U = 0 - z0 I = -
0 0
z0 + z1 + z2 + 3zz
�
14
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 4  powrót do wartości fazowych, wyznaczenie prądu zwarcia
Po wyznaczeniu składowych symetrycznych napięć i prądów w miejscu zwarcia możemy powrócić do
fizycznych wartości fazowych, reprezentując niesymetryczny prądy, napięcia jako sumę
składowych symetrycznych.
Prąd zwarcia:
3E1
I = I = I + I1 + I = bądz
wykorzystując I = 3I = 3I1 = 3I
z A 0 2 A 0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz
Napięcia w miejscu zwarcia:
-E1 z0 + E1 z0 + z2 + 3zz - E1 z2 E1 3zz
( ) ( ) ( ) ( )
U = U +U1 +U = =
A 0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2 + 3zz
a2 -1 z0 + a2 - a z2 + 3a2 zz
-E1 z0 + a2 E1 z0 + z2 + 3zz - aE1 z2 () ()
( ) () ( )
U = U + a2U1 + aU = = E1
B 0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2 + 3zz
( -1 z0 + a - a2 z2 + 3azz
)
-E1 z0 + aE1 z0 + z2 + 3zz - a2 E1 z2 a ()
( ) ()= E1
( )
U = U + aU1 + a2U =
C 0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2 + 3zz
Przy:
z0 = z + 3zN ; z1 = z; z2 = z;E1 = E
A
�
15
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1.1.1 Rozważania rozszerzone dotyczące pracy punktu neutralnego sieci
Rozważmy dodatkowo przypadek jednofazowego zwarcia bezpośredniego zz = 0 w sieci ze
skutecznie uziemionym punktem neutralnym zN = 0 tj. w sieciach dystrybucyjnych wysokiego
napięci 110kV oraz w sieciach przesyłowych 220kV, 400kV i 750kV.
Przy zz = 0; zN = 0 składowe symetryczne prądów i napięć w miejscu zwarcia wyniosą:
E1 E1
z N
I = I1 = I = ; z0 = z + 3zN , z1 = z, z2 = z Ż#z = Ż#=Ż# I = I1 = I = ; z0 = z, z1 = z, z2 = z
Ż#0;z 0
0 2 0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
E1 z0 + z2 + 3zz E1 z0 + z2
( ) ( )
z N
U1 = E1 - z1I1 = Ż#z = Ż#=Ż# =
Ż#0;z 0U1
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
E1 z2 E1 z2
( ) ( )
z N
U = 0 - z2 I = - Ż#z = Ż#=Ż# = -
Ż#0;z 0U
2 2 2
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
E1 z0 E1 z0
( ) ( )
z N
U = 0 - z0 I = - Ż#z = Ż#=Ż# = -
Ż#0;z 0U
0 0 0
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
�
16
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Po powrocie na prądy i napięcia fazowe:
Prąd zwarcia:
3E1 3E1
zz =0;zN =0
I = I = I + I1 + I = Ż#Ż#Ż#Ż# I = bądz
wykorzystując I = 3I = 3I1 = 3I

z A 0 2 z A 0 2
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
Napięcia w miejscu zwarcia:
E1 3zz
( )
z N
U = U +U1 +U = Ż#z = Ż#=Ż# = 0
Ż#0;z 0U
A 0 2 A
z0 + z1 + z2 + 3zz
a2 -1 z0 + a2 - a z2 + 3a2 zz zz =0;zN =0 a2 -1 z0 + a2 - a z2
() () () ()
U = U + a2U1 + aU = E1 Ż#Ż#Ż#Ż# = E1
U
B 0 2 B
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
a
( -1 z0 + a - a2 z2 + 3azz = 0 a
) ( -1 z0 + a - a2 z2
)
() ()
z N
U = U + aU1 + a2U = E1 Ż#z Ż#=Ż# = E1
Ż#0;z U
C 0 2 C
z0 + z1 + z2 + 3zz z0 + z1 + z2
Przy:
zz =0;zN =0
z0 = z + 3zN ; z1 = z; z2 = z;E1 = E Ż#Ż#Ż#Ż# z0 = z; z1 = z; z2 = z;E1 = E

A A
�
17
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zadamy sobie teraz pytanie o napięcia w fazach  zdrowych w zależności od impedancji składowej
zerowej i zgodnej. Rozważamy przypadek jednofazowego zwarcia bezpośredniego zz = 0 w sieci
ze skutecznie uziemionym punktem neutralnym zN = 0.
Dla
a2 -1 z0 + a2 - a z2
() ()
a2 z0 - z0 + a2 z2 - az2 a2 z0 + a2 z1 + a2 z2 - z0 - a2 z1 - az2
U = E1 = E1 = E1
B
z0 + z1 + z2 z0 + z1 + z2 z0 + z1 + z2
z0 + a2 z1 + az2
U = a2 E1 - E1
B
z0 + z1 + z2
Przy:
zz =0;zN =0
z0 = z + 3zN ; z1 = z; z2 = z;E1 = E Ż#Ż#Ż#Ż# z0 = z; z1 = z; z2 = z;E1 = E

A A
Zauważymy:
a2 E1 = a2 E = EB
A
Więc:
z0 + a2 z1 + az2
U = EB - E1
B
z0 + z1 + z2
W przypadku sieci 110kV oraz sieci najwyższych napięć 220,400,750kV rezystancje możemy pominąć:
jX0 + a2 jX1 + ajX2 X0 + a2 X1 + aX2
U = EB - E1 = EB - E1
B
jX0 + jX1 + jX2 X0 + X1 + X2
�
18
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Pamiętajmy, że z0 = z; z1 = z; z2 = z; E1 = E czyli X1 = X2
A
Więc:
X0 + a2 + a X1X0 - X1
( )
U = EB - E1 = EB - E1 ; a2 + a +1 = 0
B
X0 + 2X1 X0 + 2X1
X0 jako:
Napięcie w fazie zdrowej możemy wyrazić za pomocą stosunku
X1
X0 -1
X1
U = EB - E1
B
X0 + 2
X1
X0 :
Jednocześnie rozważany prąd zwarcia jednofazowego możemy wyrazić wykorzystując
X1
3E1 3E1 3
E1
zz =0;zN =0
I Ż#Ż#Ż#Ż# I = = =

zz
X0 + 2ś#
z0 + z1 + z2 j X0 + 2X1 jX1 �#
()
ś#
X1 ź#
�# #
�
19
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Spróbujmy przeanalizować zachowanie się napięcia w fazie  zdrowej w zależności od wartości
X0 .
stosunku
X1
X0 =1
Niech
X1
U = EB; U = EB = E efekt: napięcie w fazie zdrowej nie ulega zmianie
BB
E1
I = efekt prąd zwarcia jednofazowego osiąga  dużą wartość (* równą prądowi
z
jX1
zwarcia trójfazowego)
X0 = 3
Niech
X1
22
1 A
U = EB - E1 Ż#E = U = a2 E1 - E1 = E1 a2 - 0.4 = E1
Ż#EŻ#
(-0.5 - j0.9 - 0.4 = E1
) (-0.9 - j0.9
)
()
BB
55
U =1.27E efekt: napięcie w fazie zdrowej wzrośnie ( potocznie  przepięcie )
B
(dla porównania napięcie międzyfazowe wynosi 3E = 1.73E , a warunki
napięciowe dopuszczalne dla sieci dla sieci 110kV,220kV 1.1E
E1
I = 0.6 efekt: prąd zwarcia jednofazowego osiąga  mniejszą wartość (* mniejszą od
z
jX1
prądu zwarcia trójfazowego)
�
20
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
W dokumentach technicznych tupu IRiESP (Instrukcja Ruchu i Eksploatacji Sieci Przesyłowych) lub
IRiESD (Instrukcja Ruchu i Eksploatacji Sieci Dystrybucyjnych) możemy znalez
ć zapisy dotyczące
skuteczności uziemienia punktu neutralnego sieci.
Podawane warunki
X0 d" 3
110kV 1 d"
X1
X0 d" 2
220kV, 400kV (NN) 1 d"
X1
mają na celu ograniczenie przepięć występujących podczas zwarć doziemnych (prawa strona nierówności)
oraz ograniczenie prądu zwarcia poniżej prądu zwarcia trójfazowego (lewa strona nierówności).
Przypomnijmy, że aparatura stacyjna dobierana jest zazwyczaj na podstawie prądów zwarcia trójfazowego
stąd istnieje potrzeba ograniczenia prądu zwarcia jednofazowego poniżej tej wartości. Z drugiej strony,
ograniczenie tego prądu nie może być zbyt duże, by mogło zadziałać zabezpieczenie od zwarć
doziemnych.
Dodatkowo znajdziemy również zapis odwołujący się do rezystancji składowej zerowej (do tej pory
pomijaliśmy wpływ rezystancji)
R0 d"1
110kV
X1
R0 d" 0.5
220kV, 400kV (NN)
X1
�
21
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Określenie wpływu R0 na warunki napięciowo prądowe wymaga szczegółowej analizy. Warto jednak
przytoczyć, że rezystancja składowej zerowej wpływa na wzrost napięcia w fazie zdrowej. Warunek
R0 < 3 wpływa na ograniczenie wzrostu napięcia w fazie zdrowej podczas zwarcia doziemnego w innej
X1
fazie do wartości U d" 0.8 3E = 1.73E
B
�
22
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1.2 Zwarcie 3-fazowe (symetryczne międzyfazowe)  3f
Z
EA IA
UA
Z
EB IB
N
UB
Z
EC IC
Iz
ZN Zz
Zz
Zz UC
N
Rozpływ prądów zwarciowych fazowych w tego typu zwarciu zachodzić będzie bez udziału ziemi, jedynie
przez przewody fazowe.
Zwarcie 3 fazowe bez udziału ziemi jest szczególnym przykładem pracy sieci na odbiornik symetryczny o
małej impedancji fazowej Z . Odbiornikiem dla z
ródła staje się układ symetryczny impedancji sieci oraz
z
impedancji miejsca zwarcia, a prądy fazowe zwarciowe tworzą układ symetryczny.
Zagadnienie niesymetrii możemy tu wprowadzić przez niesymetrię z
ródła, bądz
przez różne impedancje
fazowe w miejscu zwarcia.
�
23
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 1  model systemu z zastosowaniem składowych symetrycznych względem miejsca zwarcia
(przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci oraz bez udziału ziemi w rozpływie prądu
zwarciowego)
Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
Składowe symetryczne systemu przy założeniu Składowe symetryczne systemu przy założeniu
możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
Z 0 0 Z
Ą# ń# Ą# ń#
0
ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 Z 0 =
S 1
ó# Ą# ó# Ą#
ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2
Ł# Ś# Ł# Ś#
przy zwarciu bez udziału ziemi składowa zerowa impedancji systemu nie zawiera elementu
związanego z impedancją punktu neutralnego sieci w postaci 3Z (patrz ogólna reprezentacja)
N
�
24
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 2  model składowych symetrycznych warunków początkowych w miejscu zwarcia (
odwzorowanie warunków prądowo-napięciowych w miejscu zwarcia i ich zapis w składowych
symetrycznych)
Prądowo-napięciowe warunki graniczne w miejscu zwarcia odwzorowują pracę na odbiornik symetryczny o
impedancji fazowej zz w układzie trójprzewodowym, bez udziału przewodu neutralnego:
U = I �" zzz
U Z 0 0 I
ż#Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
A A A A
�#U = I �" zz Ż#Ż# Ą# ó# 0 Z 0 Ą# ó#I Ą# ,
ó#U =
�#
z
B B B B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�#U = I C �" zz ó#U Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#IC Ś#
z Ś# Ł#
�# C Ł# C Ś# Ł#Ą#
Przeniesienie warunków granicznych na grunt składowych symetrycznych wymaga pełnego
przekształcenia napięć i prądów:
SU = SZ �"SI
Sz s
-1
U = SZ S I
�"
Sz s
1 1
Ą#ń# Ą# ń#
I + I + I U +U +U
() ()
A B C A B C
I 1 1 1 I 3 U 1 1 1 U 3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#ó#
0 A ó#Ą# 0 A Ą#
1
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#ó#
1 1
I1 = 1 a a2 Ą# ó#I =C ó# U + aU + a2U
I + aI + a2 I ;ó#U1 Ą# = 1 a a2 Ą# ó#U =
()Ą# ó# Ą# 1 ó# ()Ą#
BA B BA C
B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# 3 Ą# ó# Ą# 3
ó#Ą# ó# Ą#
3 3
ó#I Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#IC Ą#ó# Ł# 2 Ś# Ł#
2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ś# Ł# C Ś#
1
I + a2 I + aI U + a2U + aU
()Ą# ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#U Ą# ó# 13()Ą#
AB C AB C
Ł# 3 Ś# Ł# Ś#
Z 0 0 Z 0 0
Ą#ń# Ą#ń#
zz
-1
ó#Ą# Zsz =S �"Z �"S
Z 0 Z 0 Ż#Ż#Ż#Ż#Ż# 0 Z 0
= ó#Ą#
sz zz
ó#Ą# ó#Ą#
ó# 0 0 Z Ą# ó# 0 0 Z Ą#
zz
Ł#Ś# Ł#Ś#
�
25
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
składowe zerowa, zgodna i przeciwna tworzą trzy niezależne obwody
Przy czym układzie trójprzewodowym I + I + I = 0, a zatem:
A B C
Ą# ń#
0
I
Ą# ń#
0 ó# Ą#
ó# Ą# I +I +IC =0
A B
1
I1 Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#
ó# I + aI + a2 I
()Ą#
A B C
ó# Ą# 3
ó# Ą#
ó#I Ą#
ó#
2
Ł# Ś#
1
I + a2 I + aI
()Ą#
AB C
Ł# 3 Ś#
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
ze względu na układ 3-p nie istnieje składowa zerowa prądu
Jeśli dodatkowo założymy symetrię napięć z
ródłowych E , EB = a2 EA, EC = aEA, to przełoży się to na pełen
A
układ symetryczny, również pod względem symetrii kolejności zgodnej prądów fazowych, tzn:
I , I = a2 I , IC = aI .W efekcie w układzie pozostanie jedynie składowa zgodna napięcia fazowego oraz
A BA A
składowa zgodna prądu.
E0 0 I 0 U 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
0 0
ó# Ą# E +EB +EC =E +a2 E +a E =0 Ą# I +I +IC =I +a2 I +a I =0 Ą# U +U +U =U +a2U +aU =0 Ą#
A A A A A B A A A A B C A A A
E1 Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż# ó#I ;ó#U1 Ą# Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#
ó#E ;ó# I1 Ą# Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż# ó#U
A A A
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
ó#E2 Ą# ó# 0 Ą# ó#I Ą#ó# 0 Ą# ó#U Ą#ó# 0 Ą#
2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#Ł# Ś# Ł# 2 Ś#Ł# Ś#
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
przy symetrii napięć zasilających i symetrii zwarcia nie istnieje składowa przeciwna i zerowa prądu
oraz składowa przeciwna i napięcia w miejscu zwarcia
�
26
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 3  połączenie obwodów składowych symetrycznych
przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci oraz bez udziału ziemi w rozpływie
prądu zwarciowego i impedancji zN tzn. Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
przy wpływie układu trójprzewodowego tzn. I + I + I = 0
A B C
przy symetrii napięć zasilających i symetrii zwarcia
Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego bez udziału ziemi, przy symetrycznym zasilaniu
Zwarcie 3f
Kontynuując rozważania dla układu symetrycznego opiszemy prądy składowych symetrycznych oraz
napięcia składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
E1 E1 zz
I1 = ; z1 = z;E1 = E U1 = E1 - z1I1 =
A
z1 + zz z1 + zz
I = 0; ; U = 0
2 2
I = 0; U = 0
0 0
�
27
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 4  powrót do wartości fazowych, wyznaczenie prądu zwarcia
Po wyznaczeniu składowych symetrycznych napięć i prądów w miejscu zwarcia możemy powrócić do
fizycznych wartości fazowych, reprezentując niesymetryczny prądy, napięcia jako sumę
składowych symetrycznych.
Prąd zwarcia:
E1
I = I = I = I = I + I1 + I = I1 =
z A B C 0 2
z1 + zz
Napięcia w miejscu zwarcia:
E1 zz
U = U +U1 +U = U1 =
A 0 2
z1 + zz
E1 zz
U = U + a2U1 + aU = a2U1 = a2
B 0 2
z1 + zz
E1 zz
U = U + aU1 + a2U = aU1 = a
C 0 2
z1 + zz
Przy:
z1 = z; E1 = E
A
�
28
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Rozważmy dodatkowo przypadek trójfazowego zwarcia bezpośredniego zz = 0
Składowe symetryczne prądów i napięć w miejscu zwarcia wyniosą:
E1 E1 E1 zz zz =
z
I1 =Ż#z = I1 = ; z1 = z;E1 = E U1 = Ż#Ż#0Ż# = 0
Ż#0Ż# U1
A
z1 + zz z1 z1 + zz
I = 0; ; U = 0
2 2
I = 0; U = 0
0 0
Po powrocie na prądy i napięcia fazowe:
Prąd zwarcia:
E1 E1
z
I = I = I = I = I + I1 + I = I1 = Ż#z = I =
Ż#0Ż#
z A B C 0 2 z
z1 + zz z1
Dodatkowo przy pominięciu rezystancji jak dla sieci WN:
E1 E1
1 1
I = Ż#z = Ż# I =
Ż#jX
zz
z1 jX1
Napięcia w miejscu zwarcia:
E1 zz =
z
U = U +U1 +U = U1 = Ż#z U = 0
Ż#0Ż#
A 0 2 A
z1 + zz
E1 zz =
z
U = U + a2U1 + aU = a2U1 = a2 B
Ż#z U = 0
Ż#0Ż#
B 0 2
z1 + zz
E1 zz =
z
U = U + aU1 + a2U = aU1 = a Ż#z U = 0
Ż#0Ż#
C 0 2 C
z1 + zz
�
29
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1.3 Zwarcie 3-fazowe (symetryczne z ziemią)  3f-GND
Zwarcie 3 fazowe symetryczne z udziałem ziemi jest szczególnym przykładem pracy sieci na odbiornik
symetryczny o małej impedancji fazowej Z z uziemionym punktem neutralnym. Odbiornikiem dla z
ródła
z
staje się układ symetryczny impedancji sieci oraz impedancji miejsca zwarcia, a prądy fazowe zwarciowe
tworzą układ symetryczny czteroprzewodowy 4-p. Prąd zwarciowy zamyka się przez ziemię i oraz
impedancję punktu neutralnego sieci Z .
N
Podobnie jak w każdym przypadku niesymetrię mogą wprowadzić różnice w impedancji miejscu zwarcia
bądz
niesymetria z
ródła. Wciąż zakładamy symetrię impedancji systemu do miejsca zwarcia.
�
30
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 1  model systemu z zastosowaniem składowych symetrycznych względem miejsca zwarcia
(przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci oraz z udziałem impedancji uziemienia
punktu neutralnego sieci w rozpływie prądu zwarciowego)
Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z ; Z
A B C G L N
Składowe symetryczne systemu przy założeniu Składowe symetryczne systemu przy założeniu
możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
Z + ZZ Z Z + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
NN N N 0
-1
ó#Ą# ZS =S �"Z �"S ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = Z Z + Z Z Ż#Ż#Ż#Ż#ZS = 0 Z 0 =
NN N 1
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Z ZZ + Z Ą# 0 Z Ą# ó#Z Ą#
ó# 0
NN N 2
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
przy zwarciu doziemnym składowe zerowa impedancji systemu zawiera element związany z
impedancją punktu neutralnego sieci jako 3Z
N
�
31
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 2  model składowych symetrycznych warunków początkowych w miejscu zwarcia (
odwzorowanie warunków prądowo-napięciowych w miejscu zwarcia i ich zapis w składowych
symetrycznych)
Prądowo-napięciowe warunki graniczne w miejscu zwarcia odwzorowują pracę na odbiornik symetryczny o
impedancji fazowej Z w układzie czteroprzewodowym oraz o impedancji punktu neutralnego odbiornika
z
Z = 0:
N '
U = I �" zzz
U Z 0 0 I
ż#Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
A A A A
�#U = I �" zz Ż#Ż# Ą# ó# 0 Z 0 Ą# ó#I Ą# ,
ó#U =
�#
z
B B B B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�#U = I C �" zz ó#U Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#IC Ś#
z Ś# Ł#
�# C Ł# C Ś# Ł#Ą#
Przeniesienie warunków granicznych na grunt składowych symetrycznych wymaga pełnego
SU = SZ �"SI
Sz s
przekształcenia napięć i prądów:
-1
U = SZ S I
�"
Sz s
1 1
Ą#ń# Ą# ń#
I + I + I U +U +U
() ()
A B C
I 1 1 1 I 3 U 1 1 1 U
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#ó# 3 A B C
0 A ó#Ą# 0 A Ą#
1
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#I Ą#ó# ó#
ó#
1 1
I1 == I + aI + a2 IC ;ó#U1 Ą# = a a2 Ą# ó#U B Ą# = U + aU + a2U
()Ą# ó# Ą# 1 ó#1 ()Ą#
BA B A C
B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# 3 ó# Ą# Ą# 3
ó#Ą# ó# Ą#
3 3
ó#I Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#IC Ą#ó# Ł# 2 Ś# Ł#
2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ś# Ł# C Ś#
1
I + a2 I + aI U + a2U + aU
()Ą# ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#U Ą# ó# 13()Ą#
AB C AB C
Ł# 3 Ś# Ł# Ś#
Z 0 0 Z 0 0
Ą#ń# Ą#ń#
zz
-1
ó#Ą# Zsz =S �"Z �"S
Z 0 Z 0 Ż#Ż#Ż#Ż#Ż# 0 Z 0
= ó#Ą#
sz zz
ó#Ą# ó#Ą#
ó#Ś# ó#Ś#
0 0 Z Ą# 0 0 Z Ą#
Ł# zz
Ł#
�
32
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
składowe zerowa, zgodna i przeciwna tworzą trzy niezależne obwody
Przy czym w układzie czteroprzewodowym geometryczna suma prądów fazowych równa jest prądowi w
przewodzie neutralnym I + I + I = I , a zatem przekładając to na rozpatrywany przypadek, prąd
A B C N
zamykający się przez ziemię i impedancję Z wynikałby z geometrycznej sumy prądów zwarciowych w
N
każdej z faz.
11
Ą# Ą#ń#
I + I + IC ń# I
() ( )
A B N
I 33
Ą# ń#
0 ó#Ą# ó#Ą#
ó# Ą#ó# I +I +IC =I
A B N
1
ó# 13 I + aI + a2 IC lub I = 3I
I1 = I + aI + a2 I Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#
()Ą# ()Ą#
A B C N 0
ó# Ą# 3
ó#Ą#A B Ą#
ó#
ó#I Ą#ó#
ó#
2
Ł# Ś#
11
I + a2 I + aI I + a2 I + aI
()Ą# ()Ą#
AB C
Ł# 3 Ś#AB C Ś#
Ł# 3
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
w przypadku niesymetrii (tj. wywołanej niesymetrią napięć generatorowych, bądz
niesymetrią
impedancji miejsca zwarcia w fazach Z `" Z `" Z ) składowe zerowa, zgodna i przeciwna tworzą
AZ BZ CZ
trzy niezależne obwody, przy czym I = 3I
N 0
Jeśli dodatkowo założymy symetrię napięć z
ródłowych E , EB = a2 EA, EC = aEA, to przełoży się to na pełen
A
układ symetryczny, również pod względem symetrii kolejności zgodnej prądów fazowych, tzn:
I , I = a2 I , IC = aI .W efekcie I + I + I = I = 0 i w układzie pozostanie jedynie składowa zgodna
A BA A A B C N
napięcia fazowego oraz składowa zgodna prądu.
�
33
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
E0 0 I 0 U 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
0 0
ó# Ą# E +EB +EC =E +a2 E +a E =0 Ą# I +I +IC =I +a2 I +a I =0 Ą# U +U +U =U +a2U +aU =0 Ą#
A A A A A B A A A A B C A A A
E1 Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż# ó#I ;ó#U1 Ą# Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#
ó#E ;ó# I1 Ą# Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż#Ż# ó#U
A A A
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
ó#E2 Ą# ó# 0 Ą# ó#I Ą#ó# 0 Ą# ó#U Ą#ó# 0 Ą#
2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#Ł# Ś# Ł# 2 Ś#Ł# Ś#
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
przy symetrii napięć zasilających i symetrii zwarcia nie istnieje składowa przeciwna i zerowa prądu
oraz składowa przeciwna i zerowa napięcia w miejscu zwarcia
�
34
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 3  połączenie obwodów składowych symetrycznych
przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
przy symetrii zwarcia tj. symetrii impedancji fazowych w miejscu zwarcia Z
z
Zwarcie 3f-GND
Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego z Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego z udziałem
udziałem ziemi, przy niesymetrycznym z
ródle ziemi, przy symetrycznym z
ródle
Taki sam obwód jak przy zwarciu symetrycznym
bez udziału ziemi
(istnienie połączenia punktów neutralnych przy
Impedancja składowej zerowej zawiera element
symetrii układu nie ma znaczenia)
3Z
N
�
35
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Z 0 0 Z + 3Z 0 0 Z
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
z N 0
ó# Ą# ó# Ą# ó#Z Ą#
Z 0 Z 0 ; Z = 0 Z 0 =
=
sz z S 1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# 0 0 Z Ą# ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą#
2
Ł# z Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Prądy oraz napięcia składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego z Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego z udziałem
udziałem ziemi, przy niesymetrycznym z
ródle ziemi, przy symetrycznym z
ródle
E1 E1
I1 = ; z1 = z; I1 = ; z1 = z;E1 = E
A
z1 + zz z1 + zz
E2 E2
2
I = ; z2 = z I = ; z2 = z Ż#E = I = 0
Ż#0Ż#
2 2 2
z2 + zz z2 + zz
E0 E0
0
I = ; z0 = z + 3zN I = ; z0 = z + 3zN Ż#E = I = 0
Ż#0Ż#0
0 0
z0 + zz z0 + zz
E1 zz
U1 = E1 - z1I1 = ; z1 = z;
z1 + zz E1 zz
U1 = E1 - z1I1 = ; z1 = z;E1 = E
A
z1 + zz
E2 zz
U = E2 - z2 I = ; z2 = z;
2 2
z2 + zz U = 0;
2
E0 zz U = 0;
0
U = E0 - z0 I = ; z0 = z + 3zN ;
0 0
z0 + zz
�
36
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 4  powrót do wartości fazowych, wyznaczenie prądu zwarcia
Prąd zwarcia i napięcia w miejscu zwarcia:
Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego z Dla zwarcia trójfazowego symetrycznego z udziałem
udziałem ziemi, przy niesymetrycznym z
ródle ziemi, przy symetrycznym z
ródle
I = I = I = IC = I + I1 + I
z A B 0 2
I = I + I1 + I
A 0 2
I =0,I =0
0 2
Ż#Ż#Ż#Ż#

I = I + a2 I1 + aI
B 0 2
E1
I = I1 = ; z1 = z;E1 = EA
I = I + aI1 + a2 I
z
C 0 2
z1 + zz
U =0;U =0
0 2
Ż#Ż#Ż#Ż#

E1 zz
U = U +U1 +U = U1 =
A 0 2
U = U +U1 +U
A 0 2 z1 + zz
U = U + a2U1 + aU
E1 zz
B 0 2
U = U + a2U1 + aU = a2U1 = a2
B 0 2
z1 + zz
U = U + aU1 + a2U
C 0 2
E1 zz
U = U + aU1 + a2U = aU1 = a
C 0 2
z1 + zz
�
37
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1.4 Zwarcie dwufazowe  2f
Z
EA IA
UA
Z
EB IB
N
UB
Iz
Z
EC IC
ZN
Zz
UC
Rozpływ prądów zwarciowych fazowych w tego typu zwarciu zachodzić będzie bez udziału ziemi, jedynie
przez przewody fazowe.
Zwarcie 2 fazowe bez udziału ziemi jest w pełni niesymetrycznym zagadnieniem, tzn. zwarcie reprezentuje
niesymetryczny odbiornik. Przyjmujemy, że układ impedancji sieci do miejsca zwarcia tworzy układ
symetryczny, ale dodatkowo możemy rozważyć niesymetrię z
ródła.
�
38
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 1  model systemu z zastosowaniem składowych symetrycznych względem miejsca zwarcia
(przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci oraz bez udziału ziemi w rozpływie prądu
zwarciowego)
Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
Składowe symetryczne systemu przy założeniu Składowe symetryczne systemu przy założeniu
możliwości niesymetrii z
ródła symetrii
Z 0 0 Z
Ą# ń# Ą# ń#
0
ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 Z 0 =
S 1
ó# Ą# ó# Ą#
ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2
Ł# Ś# Ł# Ś#
przy zwarciu bez udziału ziemi składowa zerowa impedancji systemu nie zawiera elementu
związanego z impedancją punktu neutralnego sieci w postaci 3Z (patrz ogólna reprezentacja)
N
�
39
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 2  model składowych symetrycznych warunków początkowych w miejscu zwarcia (
odwzorowanie warunków prądowo-napięciowych w miejscu zwarcia i ich zapis w składowych
symetrycznych)
Prądowo-napięciowe warunki graniczne w miejscu zwarcia można opisać:
I = 0
ż#
A
�#
I =-I
�#
B C
�#U -U = I �" zz
�# B C B
Przeniesienie warunków granicznych na grunt składowych symetrycznych można rozpocząć od
zastosowania do przekształcenia składowych symetrycznych informacji prądowej w miejscu zwarcia:
I = 0, I = -I
A B C
Ą# ń#
Ą#ń#
1
Ą#ń# Ą# ń#
I + I 0
()
B C 0
0
ó# Ą#
I 1 1 1 0 3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#ó#Ą# ó#Ą#
0 ó# Ą#
1 Ą#
I
ó# Ą# ó# Ą#
B C
ó#
11
I1 = 1 a a2 Ą# ó#I B Ą# = Ż#Ż# I j 3 = j I
aI + a2 I Ż#(Ż#=-I )ó# I a - a2 =
()Ą# ()Ą# ó# 13
( )ó# 3 3
B C B B B
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# 33 Ą#
ó#
ó#Ą# ó# Ą#
3
ó#I Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#I Ą#ó#
ó#
2 C
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# 11
a2 I + aI
I
()Ą# ()Ą# ó# 13 - j 3
B C B ó#- jI
()Ą# ó# 3 3 Ą#
B
ó#Ą#B Ą#
Ł# 3 Ś#I a2 - aŚ#
Ł# 3
Ł#Ś#
Ł# Ś#
�#ś#
13
1
I = -I ,pamiętajmy a - a2 = a +1+ a = 1+ 2a = 1+ 2ś# - + j = j 3
czyli: I = 0, I1 = I a - a2 = jB 2
()3 ()
ź#
0 B
33
2 2
�# #
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
składowe zerowa prądu nie występuje,
prądy składowej zgodnej i przeciwnej mają tę samą wartość, lecz przeciwne zwroty, architektura
połączenia obwodów składowej zgodnej i przeciwnej jest szeregowa.
�
40
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Uzupełnienie informacji o składowych symetryczny w miejscu zwarcia przynosi warunek graniczny
napięciowy wraz z budową prądu fazowego w oparciu o składowe symetryczne:
U 1 1 1 U U 1 1 1 U
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
0 AA 0
1
ó#U Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#U Ą#;ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#U Ą#
==
1 BB 1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
3
ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#U Ą# ó#U Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#U Ą#
Ł# 2 Ś# Ł# Ś# Ł# C Ś# Ł# C Ś# Ł# Ś# Ł# 2 Ś#
U -U = I �" zz
B C B
L :U -U = U + a2U1 + aU - U + aU1 + a2U = U1 a2 - a -U a2 - a = a2 - a U1 -U = - j 3 U1 -U
()()
() () () () ()
B C 0 2 0 2 2 2 2
1
P : I1 = I a - a2 = j I Ż#Ż# I = - j 3I1

()3
BB B
33
Stąd warunek napięciowy w zapisie składowych symetrycznych przyjmie postać
U -U = I �" zz Ż#Ż# j 3 U1 -U = - j 3I1 zz
- ()
B C B 2
Ż#Ż# -U = I1 zz
U1 2
Ż#Ż# = U + I1 zz
U1 2
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
w szeregowo połączonych obwodach składowej zgodnej i przeciwnej (pamiętajmy o formalnym
przeciwnym zwrocie prądów obu składowych) można wyodrębnić oczko  pomiarowe , w którym
składowa zgodna napięcia w miejscu zwarcia równa jest sumie składowej przeciwnej oraz napięcia
na impedancji w miejscu zwarcia od prądu składowej zgodnej.
�
41
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 3  połączenie obwodów składowych symetrycznych
przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
Zwarcie 2f
Dla zwarcia dwufazowego bez udziału ziemi, przy Dla zwarcia dwufazowego bez udziału ziemi, przy
niesymetrycznym z
ródle symetrycznym z
ródle
Impedancja składowej zerowej nie zawiera
elementu 3Z
N
�
42
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Kontynuując rozważania dla układu symetrycznego zasilania opiszemy prądy składowych
symetrycznych w miejscu zwarcia:
I = 0;
0
E1
I1 = = -I ; z1 = z, z2 = z;E1 = E
2 A
z1 + z2 + zz
Natomiast napięcia składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
E1 z2 + zz
( )
U1 = E1 - z1I1 =
z1 + z2 + zz
E1 z2
( )
U =-z2 I = z2 I1 =
2 2
z1 + z2 + zz
U = 0
0
�
43
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 4  powrót do wartości fazowych, wyznaczenie prądu zwarcia
Po wyznaczeniu składowych symetrycznych napięć i prądów w miejscu zwarcia możemy powrócić do
fizycznych wartości fazowych, reprezentując niesymetryczny prądy, napięcia jako sumę
składowych symetrycznych.
Prąd zwarcia:
I = I = -I
z B C
E1
I 1 1 1 I
I =0;I1=-I Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
A 0
0 2
I = I + a2 I1 + aI Ż#Ż#Ż#Ż# I = - j 3I1 = - j 3
B 0 2 B
a2-a=- j 3
ó#I Ą# ó#1 a2 a Ą# ó# Ą#
z1 + z2 + zz
= I1
B
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
I =-I
ó#I Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#I Ą#
CB
C 2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
=
0 1 2
I = I + I1 + I Ż#IŻ#0;I =Ż# I = 0
Ż#-I A
A 0 2
Napięcia w miejscu zwarcia:
E1 z2 + zz E1 z2 E1 2z2 + zz
( ) ( )=( )
0
U = U +U1 +U = Ż#U = U = U1 +U = +
Ż#0Ż#
A 0 2 A 2
z1 + z2 + zz z1 + z2 + zz z1 + z2 + zz
U 1 1 1 U
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
A 0
E1 a2 zz - z2
()
ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#U Ą#
0
U = U + a2U1 + aU = Ż#U = U = a2U1 + aU = =
Ż#0Ż#
B 0 2 B 2 B 1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
z1 + z2 + zz
ó#U Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#U Ą#
Ł# C Ś# Ł# Ś# Ł# 2 Ś#
E1 azz - z2
()
0
U = U + aU1 + a2U = Ż#U = U = aU1 + a2U =
Ż#0Ż#
C 0 2 C 2
z1 + z2 + zz
Przy:
z1 = z; z2 = z;E1 = E
A
�
44
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Rozważmy dodatkowo przypadek dwufazowego zwarcia bezpośredniego zz = 0
Składowe symetryczne prądów i napięć w miejscu zwarcia wyniosą:
E1 z2
( )
U1 = E1 - z1I1 =
z1 + z2
I = 0;
0
E1 z2
( )
; U =-z2 I = z2 I1 =
E1
2 2
I1 = = -I ; z1 = z, z2 = z; E1 = E
z1 + z2
A
z1 + z2 2
U = 0
0
Prąd zwarcia:
I = I = -I
z B C
E1
I =- j 3I1 =- j 3
B
z1 + z2
I =-I
CB
I =0;I1=-I
0 2
I = I + I1 + I Ż#Ż#Ż#Ż# I = 0
A 0 2 A
Dodatkowo przy pominięciu rezystancji jak dla sieci WN:
I = I = -IC
z B
E1 E1 3E1
I =- j 3I1 =- j 3 =- 3 Ż#Ż# I =

B
j X1 + X2 X1 + X2 z X1 + X2
() () ()
I =-I
CB
I =0;I1=-I
0 2
I = I + I1 + I Ż#Ż#Ż#Ż# I = 0
A 0 2 A
�
45
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Jeśli też zauważymy, że impedancja składowej zgodnej i przeciwnej systemu są takie same z1 = z; z2 = z;
3 E1
I =
z
2 X1
Napięcia w miejscu zwarcia:
E1 2z2
( )
U = U1 +U =
A 2
z1 + z2
E1
(-z2
)
U = a2U1 + aU =
B 2
z1 + z2
E1
(-z2
)
U = aU1 + a2U =
C 2
z1 + z2
�
46
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1.5 Zwarcie dwufazowe  2f-GND
Z
EA IA
UA
Z
EB IB
N
UB
Z
EC IC
ZN
UC
Zz
IZ
Rozpływ prądów zwarciowych fazowych w tego typu zwarciu zachodzić będzie przez fazy B i C z udziałem
ziemi.
Zwarcie 2 fazowe z ziemią, ze względu na udział tylko dwóch faz, jest w pełni niesymetrycznym
zagadnieniem, tzn. zwarcie reprezentuje niesymetryczny odbiornik. Przyjmujemy, że układ impedancji sieci
do miejsca zwarcia tworzy układ symetryczny, ale dodatkowo możemy rozważyć niesymetrię z
ródła.
�
47
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 1  model systemu z zastosowaniem składowych symetrycznych względem miejsca zwarcia
(przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci oraz bez udziału ziemi w rozpływie prądu
zwarciowego)
Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
Składowe symetryczne systemu przy założeniu Składowe symetryczne systemu przy założeniu
możliwości niesymetrii z
ródła symetrii
Z + ZZ Z Z + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
NN N N 0
-1
ó#Ą# ZS =S �"Z �"S ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = Z Z + Z Z Ż#Ż#Ż#Ż#ZS = 0 Z 0 =
NN N 1
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Z ZZ + Z Ą# 0 Z Ą# ó#Z Ą#
ó# 0
NN N 2
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
przy zwarciu doziemnym składowe zerowa impedancji systemu zawiera element związany z
impedancją punktu neutralnego sieci jako 3Z
N
�
48
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 2  model składowych symetrycznych warunków początkowych w miejscu zwarcia (
odwzorowanie warunków prądowo-napięciowych w miejscu zwarcia i ich zapis w składowych
symetrycznych)
Prądowo-napięciowe warunki graniczne w miejscu zwarcia można opisać:
I = 0
ż#
A
�#
I = I + IC
�#
z B
�#U = U = I z �" zz
�# B C
Przeniesienie warunków granicznych na grunt składowych symetrycznych można rozpocząć od
zastosowania do przekształcenia składowych symetrycznych informacji prądowej w miejscu zwarcia:
I = 0
A
1
Ą#ń#
I + I
()
B C
I 1 1 1 0 3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#ó#Ą#
0
11
ó# Ą# ó#1 a a2 Ą# ó#I Ą#ó# + =
B C z
1
I1 == aI + a2 I Ż#IŻ#IŻ#IŻ# I = I ;I = 3I
=
()Ą#
BB C 0 z z 0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# 3
ó#Ą#
33
ó#I Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#IC Ą#ó#
2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# 1
a2 I + aI
()Ą#
B C
3
Ł#Ś#
Otrzymana informacja nie dotyczy może bezpośrednio obwodów składowych symetrycznych, ale wyraz
nie
pokazuje różnice udziału składowej zerowej podczas zwarcia doziemnego w porównani do zwarcia
międzyfazowego. Przy zwariu 2f bez udziału ziemi, składowa zerowa nie występowała. W omawianym
przypadku prąd zwarcia I = 3I .
z 0
�
49
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Dodatkowo możemy zauważyć:
1
I + I1 + I = I + I + aI + a2 I + a2 I + aI = I + a2 I + aI + I + a2 I + aI = 0
() ()
0 2 B C B C B C B B B C C C
3
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
suma prądów składowej zerowej, zgodnej i przeciwnej wynosi zero, a więc architektura połączenia
obwodów składowych symetrycznych posiada wspólny punkt gwiazdowy.
Uzupełnienie informacji o składowych symetryczny w miejscu zwarcia przynosi warunek graniczny
napięciowy wraz z budową prądu fazowego w oparciu o składowe symetryczne:
Ą#ń#
U + 2U
U 1 1 1 U U +U +U U U + 2U
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# AB Ą# ń#
0 A A B C 0 AB
ó#Ą#
11 1
ó# Ą# ó# Ą# ó#U Ą# ó#U + aU + a2U Ą# Ą#
B C
== Ż#U =Ż#ó#U1 Ą# =
()Ą# 1 ó#
BA C B
B
ó#U1 Ą# ó#1 a a2 Ą# ó# Ą# ó# Ą#Ż#U ó# Ą# ó#U A +U a + a2 = U -U
ó#A B Ą#
33 3 3
ó#Ą#
ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą# ó#U Ą# ó#U + a2U + aU Ą# ó#U Ą#
B
Ł# 2 Ś# Ł# Ś# Ł# C Ś# Ł# A C Ś# Ł# 2 Ś# Ł# A B Ś#
ó#U A +U B a + a2
()Ą# ó# U -U Ą#
Ł# Ś#
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
składowa zgodna i przeciwna napięcia w miejscu zwarcia są sobie równe, tzn. że architektura
połączenia obwodów składowych symetryczny łączy równolegle obwody składowej zgodnej i
przeciwnej.
1
U1 = U = U -U
()
2 A B
3
�
50
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Dalszą informację wyłowimy ze składowej zerowej:
11 1
B z z 0 z
U = U + 2U = U -U +U + 2U = U -U +U Ż#U =I Z =3 Z U = U1 + 3I Z = U + 3I Z
Ż#Ż#Ż#IŻ#Ż#
() () ()
0 AB A B BB A B B 0 0 z 2 0 z
33 3
lub:
U1 = U - 3I Z ;U = U - 3I Z
0 0 z 2 0 0 z
Otrzymana informacja w zakresie składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
architektura połączenia obwodów składowej zerowej z obwodami składowej zgodnej i przeciwnej
posiada równoległe oczka zawierające w sobie potrojoną impedancję w miejscu zwarcia i napięcia
odpowiednio składowej zgodnej i przeciwnej w miejscu zwarcia. Inaczej mówiąc impedancja 3Z
z
wejdzie dodatkowo w obwód składowej zerowej.
�
51
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 3  połączenie obwodów składowych symetrycznych
przy pominięciu sprzężeń i symetrii impedancji fazowych sieci Z = Z = Z = Z + ZT + Z = Z
A B C G L
Zwarcie 2f-GND
Dla zwarcia dwufazowego z ziemią, przy Dla zwarcia dwufazowego z ziemią, przy
niesymetrycznym z
ródle symetrycznym z
ródle
Z1
E1 I1
U1
Z2
I2
E2
3Zz
U2
Z0
I0
E0
U0
Impedancja składowej zerowej zawiera element Impedancja składowej zerowej zawiera element
3Z 3Z
N N
�
52
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Kontynuując rozważania dla układu symetrycznego zasilania opiszemy uzyskane połączenie obwodów
składowych symetrycznych:
U1 = E1 - z1I1 = U = -z2 I = U - 3zz I = -I z0 + 3zz
( )
2 0
2 0 0
Stąd:
-z2 I = U - 3zz I = -I z0 + 3zz
()
2 0 0 0
z0 + 3zz
I = I
2 0
z2
Przy czym pamiętamy, że I + I1 + I = 0 , czyli: I = -I1 - I
0 2 0 2
z0 + 3zz z0 + 3zz z0 + 3zz z0 + 3zz
I =-I1 - I Ż#Ż#
-I1 = I + I
2 2 2 2
z2 z2 z2 z2
�#ś#
z0 + 3zz z0 + z2 + 3zz z0 + 3zz
I12 ś#ź#
=-I Ż#Ż# I = -I1
2
z2 z2 z0 + z2 + 3zz
�# #
Potwierdza to powyższy rysunek.
�
53
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Dalej:
E1 - z1I1 = U = -z2 I
2 2
z2 z0 + 3zz �# z2 z0 + 3zz ś#
() ()
E1 - z1I1 = I1 Ż#Ż# E1 = I1 ś# z1 +

z0 + z2 + 3zz #
z0 + z2 + 3zz ź#
�#
Czyli prądy składowych symetrycznych można opisać jako:
E1
I1 =
�# z2 z0 + 3zz ś#
()
z1 +
ś#
z0 + z2 + 3zz ź#
�# #
z0 + 3zz E1
I =-I1 =
2
z0 + z2 + 3zz z1 + z2 + z1 + z2
z0 + 3zz
z2 E1
I =-I1 - I = I1 =
0 2
z0 + z2 + 3zz �#ś#
z1
z1 + z0 + 3zz
()
ś#1+ z2 ź#
�# #
Natomiast napięcia składowych symetrycznych w miejscu zwarcia:
U1 = E1 - z1I1
U =-z2 I ; przy czym: U = U1
2 2 2
U =-z0 I
2 0
�
54
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
ETAP 4  powrót do wartości fazowych, wyznaczenie prądu zwarcia
Po wyznaczeniu składowych symetrycznych napięć i prądów w miejscu zwarcia możemy powrócić do
fizycznych wartości fazowych, reprezentując niesymetryczny prądy, napięcia jako sumę
składowych symetrycznych.
Prąd zwarcia:
3E1
I = I + I = 3I =
z B C 0
�#ś#
z1
z1 + z0 + 3zz
()
ś#1+ z2 ź#
�# #
Napięcia w miejscu zwarcia:
U = U +U1 +U
A 0 2
U = U + a2U1 + aU
B 0 2
U = U + aU1 + a2U
C 0 2
3zz
Przy czym :U = U = I zz = E1
B C z
�#ś#
z1
z1 + z0 + 3zz
()
ś#1+ z2 ź#
�# #
z1 = z; z2 = z;E1 = E
A
�
55