Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Składowe symetryczne  niesymetrie poprzeczne,
zwarcia cz.2
1. Wprowadzenie do obliczeń zwarciowych złożonych układów elektroenergetycznych ................................................................................................ 2
2. Analiza zwarć metodą składowych symetrycznych z udziałem odbiornika.................................................................................................................. 4
2.1 Zwarcie 1f-GND w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND ..................................................................................................................... 8
2.2 Zwarcie3f w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND .............................................................................................................................. 10
2.3 Zwarcie3f-GND w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND .................................................................................................................... 12
2.4 Zwarcie2f w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND .............................................................................................................................. 14
2.5 Zwarcie2f w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y ........................................................................................................................................ 16
�
1
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
1. Wprowadzenie do obliczeń zwarciowych złożonych układów
elektroenergetycznych
Na wstępie należy wyraz
nie zaznaczyć, że problematyka zwarć w systemach elektroenergetycznych jest
zagadnienie złożonym, wymagającym w niektórych przypadkach dedykowanych i szerokich analiz
złożonych układów sieciowych.
W świetle omawianej metody składowych symetrycznych i jej zastosowania w analizie zwarć warto
uzmysłowić sobie złożoność problemów, które mogą towarzyszyć przy adaptacji tej metody dla złożonych
układów sieciowych.
Warto to wymienić:
konieczność sprowadzania parametrów układu sieciowego do poziomu napięcia w punkcie zwarcia,
wpływ układu połączeń transformatora na modelowanie impedancji punktu neutralnego sieci i tym
samym wpływ na układ połączeń składowej zerowej,
rozważanie wpływu odbiorników - często w tzw. obliczeniach uproszczonych prądów w miejscu
zwarcia, nie uwzględnia się odbiorów (za wyjątkiem silników indukcyjnych dużej mocy modelowanych
dla zwarcia jako generatory),
rozważanie rozpływu prądów poza miejscem zwarcia,
wpływ elementów ograniczających prąd zwarcia (dławiki zwarciowe, rezystory i inne)
zastosowanie metod przekształceń sieci przez eliminację węzłów.
�
2
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Ponadto warto podkreślić, że wykorzystanie składowych symetrycznych w analizie zwarć nie jest jedyną
metodą. Istnieją zalecenia normatywne dedykowane analizie zwarć takie jak: Polska Norma PN-74/E-5002
lub norma Międzynarodowego Komitetu Elektrotechniki (IEC - International Electrotechnical Commission)
IEC60909.
Tak więc jest to materiał, który wymagałby odrębnego kursu, przeznaczonego jedynie na analizę zwarć.
Podkreślmy jednaka, że analiza różnego rodzaju zwarć bez udziału odbiorników została już wcześniej
prezentowana i wyraz
nie wskazuje na możliwość reprezentacji napięciowo-prądowych warunków w
miejscu zwarcia za pomocą sposób połączenia obwodów składowej symetrycznej. Jest to podstawowy
zakres materiału, który będzie wykorzystywany przy przedstawionych obecnie analizach.
�
3
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2. Analiza zwarć metodą składowych symetrycznych z udziałem
odbiornika
Obecnie omówimy wykorzystanie składowych symetrycznych w kontekście zwarć poszerzając
zakres problemu o :
rozważanie wpływu odbiorników
rozważanie rozpływu prądów poza miejscem zwarcia.
Odbiór Linia
System Zwarcie
węzeł i
1f-GND
ZL
Z
EA IA IA
węzeł j
UAj
Z ZL
EB IB IB
N
UBj
Z
ZL
EC IC IC
IAi
IBi ICi IBj ICj
IAj
ZN
Zi Zi Zz
Zi
UCj
ZNi
�
4
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
W rozważanym przypadku przyjmiemy następujące założenia dotyczące symetrii:
symetria impedancji ekwiwalentu transformator linia ZTL
symetria odbiornika gwiazdowego podłączonego w i-tym węz
le Z
i
symetria dalszego odcinka linii Z
L
Podobnie jak poprzednio przy zwarciach bez udziału odbiornika, rozważymy różne rodzaje zwarć:
1f-GND jednofazowe z ziemią,
3f  trójfazowe bez udziału ziemi,
3f-GND  trójfazowe z udziałem ziemi,
2f  dwufazowe bez udziału ziemi
2f-GND  dwufazowe z udziałem ziemi.
Przypomnijmy, że w poprzednich analizach odwzorowywaliśmy napięcia i prądy w miejscu zwarcia.
Obwody zasilania w składowych symetrycznych miały zawsze tę samą architekturę, różniącą się jedynie o
element zasilania 3Z wchodzący w obwód składowej zerowej przy zwarciach doziemnych, bądz
nie przy
N
zwarciach bez udziału ziemi. Natomiast sposób połączenia tych obwodów z impedancją miejsca zwarcia
wynikał z analizy przypadku zwarcia, czyli interpretacji warunków prądowo-zwarciowych w miejscu
zwarcia.
Podobnie będziemy postępować i tym razem tzn. odwzorujemy sieć, odbiornik i linie zasilającą w postaci
odpowiedniej architektury dla składowej zgodnej, przeciwnej i zerowej. Natomiast sposób ich połączenia w
skojarzeniu z impedancją miejsca zwarcia Z powtórzymy z wcześniejszych doświadczeń. To tak,
z
jakbyśmy ponownie skupiali się na odwzorowaniu napięć i prądów w miejscu zwarcia za pomocą
składowych symetrycznych z tym, że miejsca w innej lokalizacji.
�
5
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Ogólnie obwody składowych symetrycznych układu  symetryczna sieć - symetryczny odbiornik-
symetryczna linia możemy zaprezentować w następujący sposób:
Przy czym dla układu z odbiornikiem gwiazdowym z uziemionym punktem neutralnym:
w impedancjach zerowych ekwiwalentu systemu znajdzie się impedancja punktu neutralnego sieci
3Z , tzn. dla symetrycznego układu:
N
ZTL + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń#
N 0TL
ó#Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 ZTL 0 =
STL 1TL
ó#Ą# ó# Ą#
ó# 00 ZTL Ą# ó#Z Ą#
2TL
Ł#Ś# Ł# Ś#
�
6
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
w impedancjach zerowych odbiornika połączonego w gwiazdę z uziemionym punktem neutralnym
znajdzie się impedancja punktu neutralnego odbiornika 3Z
Ni
Z + 3Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń#
i Ni 0i
ó#Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 Z 0 =
Si i 1i
ó#Ą# ó# Ą#
ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą#
i 2i
Ł#Ś# Ł# Ś#
w impedancjach linii bez przewodu neutralnego nie wystąpi element 3Z
LN
Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń#
L 0L
ó#Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 Z 0 =
SL L 1L
ó#Ą# ó# Ą#
ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
L 2L
Ł#Ś# Ł# Ś#
Natomiast dla układu z odbiornikiem gwiazdowym z nieuziemionym punktem neutralnym:
składowa zerowa prądu odbiornika nie wystąpi
Wtedy :
w impedancjach zerowych ekwiwalentu transformator-linia znajdzie się impedancja punktu
neutralnego sieci 3Z , jeśli rozważane są zwarcia z udziałem ziemi
N
w impedancjach zerowych ekwiwalentu transformator-linia nie wystąpi impedancja punktu
neutralnego sieci 3Z , jeśli rozważane są zwarcia bez udziałem ziemi
N
Sposób połączenia obwodów składowych symetrycznych poprzez impedancję miejsca zwarcia
będzie taki sam jak wyprowadzane w poprzednich rozważaniach, ponieważ dotyczyły one ogólnie
reprezentacji warunków napięciowo-prądowych w miejscu zwarcia.
�
7
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.1 Zwarcie 1f-GND w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND
�
8
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zwarcie 1f-GND za odbiornikiem 3f Y-GND
Obwody składowych symetrycznych przy Obwody składowych symetrycznych przy założeniu
założeniu możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
Z1sys
I1j
I1 I1i Z1L
E1
U1j
U1 Z1i U1i
Z2sys Z2L I2j
I2 I2i
E2
U2j
3Zz
U2 Z2i U2i
Z0sys Z0L
I0 I0i I0j
E0
U0j
U0 Z0i U0i
ZTL + 3Z 0 0 Z Z + 3Z 0 0 Z Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
N 0TL i Ni 0i L 0L
ó#Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 ZTL 0 = Z 0 = ;Z = 0 Z 0 =
; Z = 0
STL 1TL Si 1i SL L 1L
ó#Ą# ó# Ą#i Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#
ó# 00 ZTL Ą# ó#Z Ą# ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2TL 2i 2L
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# i Ś# Ł# Ś# Ł# L Ś# Ł# Ś#
�
9
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.2 Zwarcie3f w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND
�
10
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zwarcie 3f za odbiornikiem 3f Y-GND
Obwody składowych symetrycznych przy Obwody składowych symetrycznych przy założeniu
założeniu możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
I1j
Z1sys
I1j
I1 I1i Z1L
E1
Zz
U1j
U1 Z1i U1i
I2j
Z2sys Z2L I2j
I2 I2i
E2
Zz
U2j
U2 Z2i U2i
I0j=0
Z0sys Z0L
I0 I0i I0j
E0
Zz
U0j
U0 Z0i U0i
ZTL + 3Z 0 0 Z Z + 3Z 0 0 Z Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
N 0TL i Ni 0i L 0L
ó#Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 ZTL 0 = Z 0 = ;Z = 0 Z 0 =
; Z = 0
STL 1TL Si 1i SL L 1L
ó#Ą# ó# Ą#i Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#
ó# 00 ZTL Ą# ó#Z Ą# ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2TL 2i 2L
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# i Ś# Ł# Ś# Ł# L Ś# Ł# Ś#
Impedancje składowej zerowej sieci oraz odbiornika zawierają element impedancji punktów neutralnych
ze względu na układ połączenia odbiornika Y-GND. Dla połączeń Y bądz
" składowa zerowa prądu
odbiornika i sieci nie wystąpi chyba, że rozpatrywane zwarcie będzie doziemne. Wtedy ujawni się w
składowej zerowej impedancji sieci element impedancja punktu neutralnego sieci ze względu udział ziemi
w przepływie prądu zwarciowego.
�
11
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.3 Zwarcie3f-GND w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND
�
12
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zwarcie 3f-GND za odbiornikiem 3f Y-GND
Obwody składowych symetrycznych przy Obwody składowych symetrycznych przy założeniu
założeniu możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
ZTL + 3Z 0 0 Z Z + 3Z 0 0 Z Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
N 0TL i Ni 0i L 0L
ó#Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 ZTL 0 = Z 0 = ;Z = 0 Z 0 =
; Z = 0
STL 1TL Si 1i SL L 1L
ó#Ą# ó# Ą#i Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#
ó# 00 ZTL Ą# ó#Z Ą# ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2TL 2i 2L
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# i Ś# Ł# Ś# Ł# L Ś# Ł# Ś#
Impedancje składowej zerowej sieci oraz odbiornika zawierają element impedancji punktów neutralnych
ze względu na układ połączenia odbiornika Y-GND. Ponadto zwarcie ma charakter doziemny, więc
obecność impedancji punktu neutralnego sieci jest tu dodatkowo potwierdzona. Co prawda przy
symetrycznym zasilaniu i założonych na wstępie warunków symetrii dla poszczególnych składników
obwodu, w tym zwarcia, obwód składowej zgodnej nie jest aktywny, podobnie jak składowej przeciwnej.
�
13
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.4 Zwarcie2f w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y-GND
�
14
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zwarcie 2f za odbiornikiem 3f Y-GND
Obwody składowych symetrycznych przy Obwody składowych symetrycznych przy założeniu
założeniu możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
I1j=-I2j
Z1sys
I1j
I1 I1i Z1L
E1
Zz
U1j
U1 Z1i U1i
Z2sys Z2L I2j
I2 I2i
E2
U2j
U2 Z2i U2i
I0j=0
Z0sys Z0L
I0 I0i I0j
E0
Zz
U0j
U0 Z0i U0i
ZTL + 3Z 0 0 Z Z + 3Z 0 0 Z Z 0 0 Z
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
N 0TL i Ni 0i L 0L
ó#Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą#
Z = 0 ZTL 0 = Z 0 = ;Z = 0 Z 0 =
; Z = 0
STL 1TL Si 1i SL L 1L
ó#Ą# ó# Ą#i Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#
ó# 00 ZTL Ą# ó#Z Ą# ó# 00 Z Ą# ó#Z Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2TL 2i 2L
Ł#Ś# Ł# Ś# Ł# i Ś# Ł# Ś# Ł# L Ś# Ł# Ś#
Impedancje składowej zerowej sieci oraz odbiornika zawierają element impedancji punktów neutralnych
ze względu na układ połączenia odbiornika Y-GND. Dla połączeń Y bądz
" składowa zerowa prądu
odbiornika i sieci nie wystąpi chyba, że rozpatrywane zwarcie będzie doziemne.
�
15
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
2.5 Zwarcie2f w linii za odbiornikiem gwiazdowym 3f Y
�
16
Metody Matematyczne w Elektrotechnice
Zwarcie 2f za odbiornikiem 3f Y
Obwody składowych symetrycznych przy Obwody składowych symetrycznych przy założeniu
założeniu możliwości niesymetrii z
ródła symetrii z
ródła
ZTL 0 0 Z Z 0 0 Z Z 0 0 Z
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
0TL i 0i L 0L
ó# Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą# ó# Ą# ó#Z Ą#
ZSTL = 0 ZTL 0 = ; Z = 0 Zi 0 = ;Z = 0 Z 0 =
1TL Si 1i SL L 1L
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# 0 0 ZTL Ą# ó#Z Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą# ó# 0 0 Z Ą# ó#Z Ą#
2TL 2i 2L
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# i Ś# Ł# Ś# Ł# L Ś# Ł# Ś#
Impedancje składowej zerowej sieci oraz odbiornika nie zawierają elementów impedancji punktów
neutralnych ze względu na układ połączenia odbiornika Y, a rozpatrywane zwarcie nie jest doziemne.
�
17