wyk 03A

Scriptionis Geometrica
Volumen I (2014), No. 3A, 1 17.
Geometria odwzorowań inżynierskich
Wyk 03A
lad
Edwin Kozniewski
Zak Informacji Przestrzennej
lad
1. Elementy wspólne prostej i p egu laszczyzny)
laszczyzny (okr� i p
Wiele konstrukcji dotycz� przekrojów, przenikań bry a wi� tworzenia cz�ści wspólnych,
acych l ec e
różnic (także sum) obiektów geometrycznych (zbiorów) odbywa si� poprzez wyznaczanie el-
e
ementów wspólnych prostych (okr� z p
egów) laszczyznami (powierzchniami). Aby wyznaczyć
punkty wspólne prostej a (rys. 3A-01a) lub okr� o z p a epujemy w sposób
egu laszczyzn� ą post�
nast� � (1) przez prost� (okr� prowadzimy p e
epujacy: a ag) laszczyzn� � (rys. 3A-01a1 (rys. 3A-
01b1)), (2) znajdujemy kraw� wspóln� k p
edz a laszczyzn ą, � (rys. 3A-01a1, 3A-01b1), (3) zna-
jdujemy punkty przeci� prostej (kraw� k z prost� a (okr� o). W przypadku prostej
ecia edzi) a egiem
wybór p lożenie e
laszczyzny jest dowolny. Ale wybieramy po najdogodniejsze. Najcz�ściej jest
to p � egu laszczyzna � jest jednoznacznie określona i w
laszczyzna rzutujaca. W przypadku okr� p
rzutach prostok� (Monge a) dogodnym jest po równoleg do rzutni, w dimetrii
atnych lożenie le
kawalerskiej - po le lszczyzny Oyz, w izometrii wojskowej - po
lożenie równoleg do p lożenie
równoleg do p
le laszczyzny Oxy. Omówimy teraz znajdowanie punktów wspólnych prostej z
p a atnych
laszczyzn� w rzutach prostok� i w aksonometrii.
1.1. Punkt wspólny prostej i p atnych
laszczyzny w rzutach prostok�
Przyk 1 Znalezć punkt wspólny prostej a z p a ac�
lad laszczyzn� pionoworzutuj� a ą (rys. 3A-
02a).
Rozwiazanie jest dość proste. Przez prost� a(a2 , a ) prowadzimy p e
� a laszczyzn� pionoworzu-
tujac� � (rys.3A-02a1). Rzut pionowy � p e
� a laszczyzny � pokrywa si� z rzutem pionowym
a prostej a. Obie p a le ad edz
laszczyzny ą i � s� prostopad do rzutni pionowej. St� ich kraw�
wspólna k jest też prostopad do rzutni pionowej. Jest wie� prost� pionoworzutuja. Mamy
la ec a �
wi� k2 Ą" x, zaś k jest punktem (rys. 3A-02a1). Proste k i l daja, poprzez przeci� rzutów
ec � ecie
poziomych, szukany punkt przeci� si� prostej a z p a
ecia e laszczyzn� ą (rys. 3A-02a2).
Kraw� wspóln� p laszczyzny poziomorzutujacej ą i określonej przez trzy punkty
edz a laszczyzn: p �
A, B, C znajdujemy poprzez dwukrotne zastosowanie wcześniejszej konstrukcji. Kolejno zna-
jdujemy punkty 1 i 2.
Przyk 2 Znalezć kraw� wspóln� dwu p laszczyzn: p laszczyzny określonej przez trzy punkty
lad edz a
(ABC)(A2 B2 C2 , A B C ) z p a ac�
laszczyzn� poziomorzutuj� a ą(ą2 ) (rys. 3A-02b).
Edwin Kozniewski � 2014 Politechnika Bia lystok
lostocka, Bia
2 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
Rys. 3A-01: Algorytm znajdowania punktu (punktów) wspólnego (wspólnych) prostej (okr� z
egu)
p a. a: laszczyzna ą oraz prosta (okrag); a1(b1)) prowadzimy p e
laszczyzn� Dane s� a(b)) p � laszczyzn�
� przez prost� (okrag); a2(b2)) znajdujemy kraw� k p laszczyzn� ą; a3(b3))
a � edz laszczyzny � z p a
znajdujemy punkt wspólny A (punkty wspólne A1, A2) prostej a (okr� o) z kraw� � k
egu edzia
1.2. Punkt wspólny prostej i p lożonych dowolnie w uk rzutni
laszczyzny po ladzie
Monge a
Przyk 3 Znalezć punkt wspólny prostej d(d2 , d ) z p a
lad laszczyzn� (ABC)(A2 B2 C2 , A B C )
określon� przez trzy punkty (rys. 3A-03).
a
Pocz� cz�ść rozwiazania przebiega analogicznie jak w przyk 2 (rys. 3A-02b) Kon-
atkowa e � ladzie
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 3
Rys. 3A-02: Wyznaczanie punktu wspólnego prostej a z p a � a
laszczyzn� pionoworzutujac� ą:
a1) przez prost� a prowadzimy p e � a edz
a laszczyzn� pionoworzutujac� � i znajdujemy kraw� k(k2 , k )
plaszczyzn ą i �. Konstrukcja kraw� wspólnej p � ata
edzi laszczyzn: b) poziomorzutujacej ą(ą2 ) i trójk�
ABC(A2 B2 C2 , A B C ), b1 � b2) dwukrotne zastosowanie konstrukcji a1 � a2.
strukcja punktu wspólnego prostej d(d2 , d ) z p a ata
laszczyzn� trójk� [ABC]([A2 B2 C2 ], [A B C ]).
Kraw� pomocniczej p � � a a laszczyzn�
edz laszczyzny poziomorzutujacej � zawierajac� prost� d(d2 , d ) z p a
trójk� [ABC]([A2 B2 C2 ], [A B C ]) jest analogiczna jak na rys. 3A-02. Punkt D, b� acy
ata ed�
rozwiazaniem zadania znajdujemy jako punkt przeci� si� prostych k i d poprzez rzut pi-
� ecia e
onowy. Rzut pionowy D punktu D otrzymujemy jako punkt przeci� si� prostych k i
ecia e
d (rys. 3A-03a4). Poprzez odnosz� a kompletujemy jego rzut pionowy (rys. 3A-03a5). W
ac�
celu podniesienia jakości rysunku i lepszej wizualizacji przestrzennej określamy widoczność
elementów. Aby określić widoczoność w rzucie poziomym musimy stwierdzić, który z dwóch
punktów nakrywajacych si� w rzucie pionowym 1 punktu 1 jest widoczny dla obserwatora
� e
patrz� z góry. Rzuty pionowe tych punktów na rysunku 3-03a7 s� oznaczone cyframi
acego a
1 i 2 w kwadracikach. Widoczny jest ten punkt, który jest bliżej obserwatora (ma wi� a
eksz�
g ebokość), tzn. punkt na 1 w kwadraciku, czyli punkt na trójk� Zatem prosta d jest w
l� acie.
rzucie poziomym zas eta przez trójk� na odcinku [1 D ]. Punkt D, jako punkt przeci�
loni� at ecia
p ata a
laszczyzny trójk� [ABC] prost� d jest miejscem zmiany widoczności . Podobnej analizy
dokonujemy w odniesieniu do rzutu pionowego (rys. 3A-03a7). Analizie poddajemy punkty
trójk� (punkt 1 w kwadraciku) oraz prostej (punkt 2 w kwadraciku), których rzutem pio-
ata
nowym jest jest punkt W . Widocznym dla obserwatora jest punkt na trójk� (ma wi� a
acie eksz�
g ebokość). Prosta w rzucie pionowym jest zas eta przez trójk� na odcinku [W D ].
l� loni� at
1.3. Punkt wspólny prostej i p
laszczyzny w aksonometrii
W celu wyznaczenia punktu wspólnego prostej z p a epujemy
laszczyzn� w aksonometrii post�
wed zasady post� atku lu.
lug epowania omówionej na pocz� rozdzia Na rysunku 3A-03 mamy
4 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
Rys. 3A-03: Konstrukcja punktu wspólnego prostej d(d2 , d ) z p a ata
laszczyzn� trójk�
[ABC]([A2 B2 C2 ], [A B C ]): a1 � a3) pomocnicz� p e edz
a laszczyzn� � i kraw� k(k2 , k ) znajdujemy
analogicznie jak na rysunku 3A-02b � b2); a4 � a5) punkt D, b� acy rozwiazaniem zadania, znaj-
ed� �
dujemy poprzez rzut pionowy; a6) ustalanie widoczności obiektów w rzucie poziomym poprzez wybór
takich punktów na prostej i p �
laszczyznie, które maja ten sam rzut poziomy (1 ), wtedy widoczny
jest ten, który ma wi� a wysokość (punkt na trójk� a7) w rzucie pionowym ... widoczny jest
eksz� acie);
ten, który ma wi� a g ebokość (punkt na trójk�
eksz� l� acie)
a a a a
dane: p a a a
laszczyzn� (ABCD)(AaBaCaDa, Aa BxyCxyDxy) oraz prost� l(la, lxy). Przez prost�
xy
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 5
a
Rys. 3A-04: Konstrukcja punktu wspólnego prostej l(la, lxy) i p ata
laszczyzny czworok�
a a a
[ABCD]([AaBaCaDa], [Aa BxyCxyDxy]) w aksonometrii. P
laszczyzna pomocnicza jest tak odw-
xy
a
zorowana w aksonometrii, że zawiera proste la, lxy. W celu znalezienia kraw� p
edzi laszczyzny po-
mocniczej z p a ata,
laszczyzn� czworok� podobnie jak w przypadku rzutów Monge a (rys. A3-03) znaj-
a a
dujemy najpierw: a1) rzut aksonometryczny rzutu prostok� tej kraw� a2) kraw� (1 2 ,
atnego edzi; edz
a a
1xy2xy). Warto zwrócić a nawet podkreślić, że formalnie konstrukcja w aksonometrii nie różni si�
e
od konstrukcji w rzutach Monge a.
l(l�), gdzie � " {xy, yz, xz} prowadzimy p e l� laszczyzny �. Na
laszczyzn� (ą) prostopad a do p
rysunku 3-03 jest to p la laszczyzny Oxy. P
laszczyzna prostopad do p laszczyzna ta przechodzi
a
przez proste la, lxy. Jest to wi� p � edem laszczyzny Oxy. Kon-
ec laszczyzna rzutujaca wzgl� p
strukcja kraw� p
edzi laszczyzn (ABCD) i �, w sensie algorytmu geometrycznego, przebiega
analogicznie jak w rzutach prostok� (rys. 3-02b�b2). Przy czym zachodzi tu taka for-
atnych
malna zależność:
rzut aksonometryczny "! rzut pionowy (poziomy),
rzut aksonometryczny rzutu prostok� "! rzut poziomy (pionowy).
atnego
Warto zauważyć przy tym wiele innych analogii. I tak odpowiednikiem p
laszczyzny rzu-
tujacej w metodzie Monge a jest p laszczyzn uk osi
� laszczyzna prostopadla do jednej z p ladu
aksonometrycznych: Oxy, Oxz, Oyz. Zwykle jest to p la laszczyzny
laszczyzna prostopad do p
Oxy. W rzucie aksonometrycznym aksonometrycznym p e a
laszczyzn� tak� reprezentuje prosta
leż� na p
aca laszczyznie Oxy.
Nie wolno jednak bezkrytycznie przenosić w
lasności metody Monge a i metody aksonome-
trycznej, gdyż moż to prowadzić do b edów.
l�
6 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
1.4. Przenikanie ostros i graniastos
lupów lupów
Rys. 3A-05: Konstrukcja linii przenikania ostros ( dachu z wież� a1) p
lupów a ): laszczyzna pi-
onoworzutujaca ą(ą ) ściany niższego ostros wyznacza punkt 1(1 ); a2 � a3) konstrukcja
� lupa
punktów 2, 3, 4 poprzez obrót jako konsekwencja symetrii bry a4 � a5) pomocnicza p
l; laszczyzna
rzutujaca �(�2 ) w celu wyznaczania punktu 5 wspólnego kraw� niższego ostros ze ścian�
� edzi lupa a
wyższego (cdn)
Powyższe konstrukcje wykorzystamy do wykreślenia przenikania ostros które mog�
lupów, a
być interpretowane jako dach i wieża. Linia przenikania jest wówczas po aczeniem dachu z
l�
wież� (rys. 3A-05). Wielok� przenikania (cz�ść wspólna) ma jako wierzcho punkty prze-
a at e lki
bicia ścian bocznych jednego ostros (graniastos kraw� lupa.
lupa lupa) edziami drugiego ostros
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 7
Rys. 3A-06: Konstrukcja linii przenikania ostros ( dachu z wież� a6) kraw� k(k2 , k )
lupów a ): edz
p � a lupa;
laszczyzny pionoworzutujacej �(� ) ze ścian� wyższego ostros a7) konstrukcja punktu
5(5 ,5 ); a8�a9) konstrukcja punktów 6, 7, 8 poprzez obrót jako konsekwencja symetrii bry a10)
l;
konstrukcja laczenia odcinkami punktów linii przenikania; a11) wszystkie cz�ści kraw� widocznych
� e edzi
rysujemy linia grub� ()
� a
Przyk 4 Wyznaczyć lin� przenikania dwóch ostros lupów czworok� prawid (lini�
lad e atnych lowych e
po aczenia dachu z wież� (rys. 3A-03).
l� a)
Niech dane b� a dwa ostros (rys. 3A-05a). Z uwagi na symetri� problem sprowadza si�
ed� lupy e e
do znalezienia rzutów dwóch jego wierzcho (pozosta otrzymujemy przez obrót doko
lków le la
wysokości ostros lupa edziach
lupów). Zauważmy, że dwie ściany niższego ostros o kraw�
prosto- pad do osi rzutów x s� zawarte w p �
lych a laszczyznach pionoworzutujacych. Latwo zna-
8 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
jdujemy wi� rzut pionowy 1 punktu 1 przebicia tej ściany kraw� � wyższego ostros
ec edzia lupa
(rys.3A-05a1) i poprzez odnosz� a rzut poziomy (rys. 3A-05a2). Z uwagi na symetri� po-
ac� e,
zosta trzy punkty otrzymujemy przez obrót. Z racji prostopa osi obrotu do rzutni
le lości
poziomej w rzucie poziomym jest to obrót p - otrzymujemy punkty 2 , 3 ,4 . W rzu-
laski
cie pionowym punkty 2 , 3 , 4 leż� na tej samej wysokości co punkt 1 (i, naturalnie, na
a
odnosz� (rys. 3A-05a3). W celu znalezienia punktu przebicia ściany wyższego os-
acych)
tros kraw� � niższego przez t� kraw� prowadzimy p e � a
lupa edzia e edz laszczyzn� poziomorzutujac�
�(�2 ) (rys. 3A-05a4). Kraw� p a lupa
edz laszczyzny � ze ścian� wyższego ostros przechodzi
przez wierzcho tego ostros i przez punkt N(N2 ), który jest punktem wspólnym p
lek lupa laszczyzny
� i kraw� podstawy wyższego ostros Ponieważ punkt N leży na rzutni poziomej
edzi lupa.
edzi
latwo znajdujemy punkt N (na osi rzutów x) i rzut pionowy kraw� k (rys. 3A-05a6). W
przeci� prostej k z kraw� � niższego ostros otrzymujemy punkt 5(5 ). Podobnie
eciu edzia lupa
jak wyżej, z uwagi na symetri� pozosta trzy punkty (6 , 7 ,8 ) otrzymujemy przez obrót
e, le
(rys. 3A-05a8 � a9) itd. Nast� laczymy punkty zachowujac zasad� l�
epnie � � e: aczymy punkty
leż� na tej samej ścianie jednego i na tej samej ścianie drugiego ostros (rys. 3-05a10).
ace lupa
Widoczne cz�ści kraw� dachu i wieży (rys. 3A-05a11) rysujemy linia grub�
e edzi � a.
Przyk 5 Wyznaczyć lin� przenikania dwóch ostros czworok� prawid (lini�
lad e lupów atnych lowych e
po aczenia dachu z wież� (rys. 3A-07) w aksonometrii.
l� a)
Aksonometri� ostos wraz z linia przenikania rysujemy nast� � Przenosimy do
e lupów � epujaco.
uk aksonometrycznego obydwa ostros (rys. 3A-07a�a1). Równoleg a do osi Oaxa
ladu lupy l�
kraw� podstawy (leż� a na osi Oaxa) konstruujemy poprzez trójk� skrótów (rys. 3A-
edz ac� at
07a1). Zauważmy, że trójk� skrótów wykorzystujemy tylko raz (rys. 3A-07a�a1). Drug�
at a
kraw� podstawy (leż� a na osi Oaya) przenosimy bezpośrednio. Pozosta elementy zna-
edz ac� le
jdujemy przenosz� bezpośrednio odcinki (na rys. 3A-07a ,a2�a3) lub rysujac w oparciu o
ac �
niezmiennik równoleg (rys. 3A-07a2�a6). Punkty przebicia scian niższego ostros
lości lupa
kraw� lupa � edz
edziami wyższego ostros znajdujemy pośrednio wyznaczajac kraw� ściany z po-
mocnicz� p a a a edz a
a laszczyzn� pionow� określon� przez kraw� boczn� i jej rzut (rys. 3A-08a81,a82)).
Otrzymane punkty (wierzcho linii przenikania) laczymy odcinkami pami� � o zasadzie
lki � etajac
przynależności odcinka równoczeńie do ścian obu ostros e edzi
lupów. Widoczne cz�ści kraw�
rysujemy linia grub� niewidoczne - przerywan� Przenikanie może być wizualizowane z zaz-
� a, a.
naczeniem kraw� niewidocznych (rys. 3A-08a121). Ale też kraw� niewidoczne, co jest
edzi edzie
bardziej naturalne, mog� być pomini� w wizualizacji (rys. 3A-08a122).
a ete
2. Zast�
epcze rzutnie (transformacje)
W uk dwu rzutni podstawowe obiekty: punkt i odcinek s� jednoznacznie odwzorowane.
ladzie a
Inaczej jest z innymi obiektami, na przyk z prost� Rzuty prostej profilowej nie odzwier-
lad a.
ciedlaja jej jednoznacznie. Ponadto znajdujace si� w p
� � e laszczyznie profilowej nawet takie
obiekty jak odcinki nie daja możliwości zweryfikowania ich wzajemnego po w uk
� lożenia ladzie
dwu rzutni. Na przyk nie można znalezć bezpośrednio punktów wspólnych dwu prostych
lad
profilowych. Ponadto bywaja sytuacje, w których w uk rzutni Ą1 i Ą2 istotne w kon-
� ladzie
1
strukcji figury p nie leż� w p �
laskie a laszczyznach rzutujacych . Na rysunku 3A-13 przed-
stawiony jest sposób konstrukcji, w którym korzystamy z trzeciej rzutni (tzw. transformacji).
W uk rzutni pionowej i bocznej prosta profilowa ma po lowe.
ladzie lożenie czo Z uwagi na
1
Operacje przecinania p laszczyzn� rzutuj� a s� znacznie uproszczone
laszczyzny lub prostej z p a ac� a
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 9
Rys. 3A-07: Konstrukcja ostros w aksonometrii (przeniesienie z rzutów Monge a) : a�a1)
lupów
kraw� podstawy (leż� a na osi Oaxa) konstruujemy poprzez trójk� skrótów, kraw� na osi
edz ac� at edz
Oaya przenosimy bezpośrednio; a2) przenosimy z rzutów Monge a wysokość niższego ostros
lupa;
a3) przenosimy wspó edn� geometryczn� wierzcho podstawy wyższego ostros a4) wyz-
lrz� a a lka lupa;
naczamy wspó edne pozosta wierzcho podstawy wyższego ostros a5) wyznaczamy
lrz� lych lków lupa;
wierzcho podstawy wyższego ostros a6) rysujemy kraw� boczne niższego ostros
lki lupa; edzie lupa
(cdn)
liczb� dodatkowych linii konstrukcyjnych metoda z obrotem jest bardziej ekonomiczna .
e
Rysunek 3A-09 przedstawia rozwiazanie tego samego zadania przy zastosowaniu transforma-
�
cji uk rzutni, polegajacej na wprowadzeniu nowej rzutni tak, by p ly
ladu � laszczyzna ściany bry
z któr� przeci� szukamy, mia po rzutujace wzgl� tej rzutni. Wówczas można
a ecia la lożenie � edem
10 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
Rys. 3A-08: Konstrukcja linii przenikania ostros w aksonometrii: a7) przeniesienie wysokości
lupów
wyższego ostros a8) konstrukcja dwóch punktów przebicia: a81) ściany niższego ostros
lupa; lupa
kraw� � wyższego (pośrednio znajdujemy kraw� ściany z pomocnicz� p a a
edzia edz a laszczyzn� pionow�
wyznaczon� przez kraw� boczn� i jej rzut); a82)odwrotnie; a9) wyznaczamy pozosta punkty; a10)
a edz a le
otrzymane punkty (wierzcho linii przenikania) laczymy odcinkami; a11) widoczne cz�ści kraw�
lki � e edzi
rysujemy linia grub� niewidoczne - przerywan� a12) wizualizacja przenikania z zaznaczeniem (lub
� a, a;
nie) kraw� niewidocznych
edzi
wprowadzić now� rzutni� Ą3 (rys. 3A-09) tak, by by prostopad do jednej z rzutni Ą1 i
a e la la
Ą2. Prostopad jest istotna dlatego, że wtedy jeden z uk rzutni Ą1, Ą3 lub Ą2, Ą3
lość ladów
jest uk rzutni Monge a. Rysunek 3A-09a ilustruje wprowadzenie rzutni Ą3 takiej, że
ladem
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 11
Rys. 3A-09: Trzecia rzutnia (rzut pomocniczy) w zastosowaniu do konstrukcji punktu leż�
acego
na prostej profilowej: a) wprowadzenie trzeciej rzutni, pomocniczej do wykonywania pewnych kon-
strukcji; a1) znajdowanie trzeciego rzutu punktu w odwzorowaniu Monge a; b) za do wyz-
lożenia
naczenia linii przenikania graniastos z ostros b1) znajdowanie trzeciego rzutu uk bry
lupa lupem; ladu l
tak, by p lupa � e la lożenie
laszczyzna ściany ostros (z która przecina si� prosta profilowa) mia po rzu-
tujace, realizacja Monge a rzutu pomocniczego, nast� konstrukcja punktu przebicia w trzecim
� epnie
rzucie (znalezienie wysokości punktu P ) i powrót (strza do rzutu pionowego (rzut poziomy jest
lka)
trywialny); b2) znalezienie rzutw pozosta punktów linii przenikania graniastos z ostros
lych lupa lupem
Ą1 Ą" Ą2, zaś na rysunku 3A-09a1 mamy realizacj� Monge a rzutowania na trzecia rzutni�
e � e.
Każdy punkt otrzymuje wtedy jeszcze jeden rzut. Nowy rzut punktu A oznaczać b�
edziemy
przez A2 2 2 . Kraw� nowego uk rzutni (now� oś rzutów) Ą1, Ą3 oznaczamy przez x1. Rzut
edz ladu a
poziomy i trzeci leż� na odnosz� wzgl� osi x1. Zwróćmy uwag� na zależność mi�
a acej edem e edzy
wysokościami punktu w rzucie pionowym i w trzecim rzucie - wysokości te s� równe.
a
12 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
2.1. Rzutnia boczna
W przypadku, gdy wprowadzona nowa rzutnia Ą3 jest prostopad do rzutni Ą1 i Ą2, tzn.
la
Ą1 Ą" Ą2 Ą" Ą3 Ą" Ą1, rzutni� Ą3 nazywamy rzutni� boczn� (rys. 3A-12b�c). Rzutnia boczna
e a a
jest wykorzystywana do przedstawiania widoku obiektu z profilu (elewacja boczna) lub jako
narz� pomocnicze do konstruowania punktów znajdujacych si� na prostych profilowych.
edzie � e
Proste profilowe wzgl� rzutni bocznej s� prostymi, które maja charakter prostej: czo
edem a � lowej
lub poziomej (warstwowej).
Rzutnia boczna jest trzecia z sześciu rzutni w rzutowaniu metod� europejsk� lub amerykańsk�
� a a a.
2.2. Obrót figury
Obrót jest znanym przekszta laszczyznie przez środek obrotu oraz
lceniem określonym na p
k� obrotu. W sensie geometrycznym obrót, jako przekszta jest zbiorem par punktów.
at lcenie,
Jednak w celu wsparcia naszej wyobrazni obrót punktu wygodnie jest traktować jako operacj�
e
fizyczn� (dynamiczn� W przestrzeni mówimy o obrocie doko prostej (osi obrotu), gdzie
a a). la
każdy punkt obraca si� w swojej p lej la
e laszczyznie, prostopad do osi obrotu, doko punktu
przeci� osi obrotu z t� p a.
ecia a laszczyzn�
W rzutach Monge a obrót naj opisuje si� gdy oś obrotu jest prostopad do jednej z
latwiej e, la
rzutni. Wówczas p la la
laszczyzna obrotu jest równoleg do tej rzutni i prostopad do drugiej
rzutni. Obrót punktu w przestrzeni realizowany w p
laszczyznie obrotu tego punktu jest
izometryczny (niezmiennik N5) z operacja na rzutni (na rys. 3A-10 jest to rzutnia pozioma),
�
w drugim rzucie - z uwagi na rzutujace po p
� lożenie laszczyzny obrotu (na rys. 3A-10 jest to
p �
laszczyzna pionoworzutujaca) - latwe jest śledzenie rzutu punktu w czasie obrotu, który
w tym wypadku porusza si� po prostej.
e
Rys. 3A-10: Ilustracja obrotu: i) na p �
laszczyznie; ii) w przestrzeni - rysunek pogladowy; iii) w
rzutach Monge a
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 13
Rys. 3A-11: Konstrukcja punktów przenikania za pomoc� obrotu kraw� profilowej do
a edzi
po lowego: a1) konstrukcja obróconego rzutu poziomego kraw� a2) obrót
lożenia czo edzi;
kraw� profilowej do po lowego; a3) wyznaczenie punktu przebicia w po
edzi lożenia czo lożeniu
obróconym; a4) powrót z obrotu (w rzucie pionowym, w rzucie poziomym mamy sytuacj�
e
trywialn�
a)
Rys. 3A-12: Konstrukcja przenikajacych si� bry graniastos i ostros w aksonometrii. Linie
� e l: lupa lupa
odnosz� na ścianach graniastos (kraw� pomocniczych p
ace lupa edzie laszczyzn przekroju ze ścianami
graniastos sa równoleg do osi Oz uk aksonometrycznego. Linie odnosz� na ścianach
lupa) � le ladu ace
ostros (kraw� pomocniczych p lupa) a
lupa edzie laszczyzn przekroju ze ścianami ostros przechodz� przez
wierzcho ostros a5) wyznaczenie punktu na prostej profilowej w rzucie pionowym; a6) os-
lek lupa;
tateczne wyznaczenie przenikania figur
14 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
Rys. 3A-13: Rzutnia boczna wykorzystana do konstrukcji punktu leż� na prostej profilowej:
acego
a1) strza wskazuja kolejność konstruowania punktów; b) rysunek pogladowy rzutni bocznej; c)
lki � �
realizacja Monge a rzutu bocznego
2.3. Przenikanie trzech ostros - wieże z przyporami na dachach
lupów
Rys. 3A-14: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież� z przyporami lub elementami
a
przejściowymi pochodz� od trzeciego (środkowego) ostros - za �
acymi lupa lożenia. Brakujace wymi-
ary na rysunkach b) i c) s� takie same jak na rysunku a), cdn
a
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 15
Rys. 3A-14: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież� z przyporami lub elementami
a
przejściowymi pochodz� od trzeciego (środkowego) ostros - rzuty poziome linii przenikania
acymi lupa
poszczególnych par ostros cdn
lupów,
Rys. 3A-14: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież� z przyporami lub elementami
a
przejściowymi pochodz� od trzeciego (środkowego) ostros - rzuty pionowe linii przenika-
acymi lupa
nia, cdn
Trzy ostros przy odpowiednim ustawieniu mog� tworzyć dach z wież� z przyporami
lupy a a
w trzech różnych wariantach w zależności od wymiarów poszczególnych bry Te trzy różne
l.
warianty ilustruja rysunki 3A-14 a,b,c. Przenikanie trzech figur realizujemy etapami. Przyjmi-
�
jmy dla u lupy
latwienia skróconego opisu algorytmu konstrukcji, że te trzy ostros - to wysoki,
średni i niski. Najpierw znajdujemy lini� przenikania dwóch ostros na przyk niskiego
e lupów, lad
i średniego potem średniego i wysokiego (rzut poziomy linii przenikania - rys. 3A-14a ,b ,c ,
16 E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne
Rys. 3A-15: Dach z wież� z wież� z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz� od
a a acymi
trzeciego (środkowego) ostros - usuni� linii pomocniczych, cdn
lupa ecie
Rys. 3A-15: Dach z wież� z wież� z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz� od
a a acymi
trzeciego (środkowego) ostros - ostateczna wersja rysunku po usuni� linii niewidocznych, cdn
lupa eciu
rzut pionowy linii przenikania - rys. 3A-14a ,b ,c ) w opisany wcześniej sposób z ewentu-
alnym (jeśli jest to konieczne) zastosowaniem obrotu (rys.3A-11), transformacji (rys. 3A-
09), widoku z profilu, czyli rzutni bocznej (rys. 3A-13). Nast� sprawdzamy który z
epnie
nast� � trzech przypadków zachodzi. Linie przenikania niskiego ze średnim i średniego
epujacych
z wysokim:
a) dotykaja si� wierzcho (rys. 3A-14a )
� e lkami
b) s� roz aczne (rys. 3A-14b ),
a l�
E. Kozniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich 3A, elementy wspólne 17
Rys. 3A-15: Dach z wież� z wież� z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz� od
a a acymi
trzeciego (środkowego) ostros Trzeci wariant w powi�
lupa. ekszeniu
c) przecinaja si� (rys. 3A-14c ).
� e
Otrzymujemy wówczas trzy geometrycznie różne sytuacje (rys. 3A-15a ,a ; 3A-15b ,b ;
3A-15c ,c ). Dodatkowego wyjaśnienia wymaga ostatni przypadek (rys. 3A-15c ; 3A-
15c ). W tym przypadku ostros wysoki i niski acz� si� wzd kraw� równoleg
lupy l� a e luż edzi lych
do równoleg kraw� ich podstaw (rys. 3A-15c ). Na rysunku przedstawiono również
lych edzi
widoki bez kraw� niewidocznych wraz z usuni� niewidocznymi cz�ściami ostros
edzi etymi e lupów
Wykonanie modeli takich ostros wymaga zmierzenia wielkości rzeczywistych tych obiektów.
lupów
Uzyskuje si� to za pomoc� specjalnych konstrukcji zwanych k lady
e a ladami. K opiszemy przy
omawianiu geometrii dachów.
Literatura
[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw� stosowan� Wydawnictwo
a a.
Naukowe PWN. Warszawa 1995.
[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podr� geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.
ecznik
Warszawa 1994.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykA
BD Wykad 1 Wprowadzenie do baz danych
wykA
Wyk ad 02
Mat Bud wyk
wyk(Ia) wstęp PBiID
Stan cywilny, wyk struktura ludnosci wg 5 str
si ownie wyk?
Socjologia klasyczna WYK? 7 i 8
HG wyk 9
IAQ wyk 5
Wyk ad IV Minimalizacja funkcji logicznych

więcej podobnych podstron