Scriptiones Geometrica
Volumen I (2014), No. 5A, 1 17.
Geometria odwzorowań inżynierskich
powierzchnie 05A
E. Koz
niewski
Zak Informacji Przestrzennej
lad
1. O krzywych i powierzchniach
Dotychczas zajmowaliśmy si� g ównie odwzorowaniem prostej i p
e l laszczyzny oraz obiektami,
które daja� si� z z figur zawartych w p � a
a e lożyć laszczyz
nie, majacych laman� jako brzeg. Opisy-
waliśmy je także analitycznie. Rozważaliśmy również znane ze szko powierzchnie: stożek,
ly
walec i sfer� Obecnie zajmiemy si� krzywymi i powierzchniami w ogólniejszym sensie. Anal-
e. e
itycznie krzyw� zapisuje si� za pomoc� uk równań parametrycznych:
a e a ladu
x = x(t), y = y(t), z = z(t), (1)
gdzie parametr t "< t1, t2 > a funkcje x = x(t), y = y(t), z = z(t) s� ciag we wspólnym
a � le
przedziale określoności. Podobnie powierzchnie opisuje si� za pomoc� uk funkcji ciag
e a ladu � lych,
tym razem dwu zmiennych (parametrów):
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (2)
o parametrach u "< u1, u2 >, v "< v1, v2 >. Ogólny opis powierzchni jest przedmiotem
dyscypliny matematycznej zwanej topologi� bardziej szczegó ale i zaw�żony opis należy
a, lowy e
do geometrii różniczkowej. W geometrii i grafice inżynierskiej mówi si� o krzywych i powierzch-
e
niach, które maja zastosowanie w technice, w szczególności w budownictwie i architekturze.
�
2. Niektóre sposoby tworzenia powierzchni
Powierzchnie cz� otrzymuje si� przez tzw. zakreślanie przestrzeni, czyli przez przemieszczanie
esto e
1
krzywej wzd pewnej trajektorii .
luż
2.1. Zakreślanie przez obrót - powierzchnie obrotowe
Za óżmy, że dana jest oś obrotu (ang. axis of revolution) oraz krzywa definiuj� (ang. path
l aca
curve). Na rysunku 5A-01 jako krzyw� definiujac� przyj� prost� skośn� do osi obrotu i
a � a eto a a
otrzymano powierzchni� zwan� hiperboliod� jednopow a (obrotow�
e a a lokow� a).
Edwin Koz
niewski � 2014 Politechnika Bia lystok
lostocka, Bia
2 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rys. 5A-01: Sposób tworzenia hiperboloidy obrotowej poprzez obrót prostej doko innej prostej
la
skośnej. Hiperboloida otrzymana poprzez obrót prostej - krzywej tworz� (ang. path curve) doko
acej la
prostej - osi obrotu (ang. axis of revolution)
Jeśli osia obrotu krzywej opisanej równaniami (1) jest oś Oz uk wspó ednych, to
� ladu lrz�
równania opisujace powierzchni� maja postać:
� e �

x = x2(t) + y2(t)cosu, y = x2(t) + y2(t)sinu, z = z(t), t "< t1, t2 >, u "< u1, u2 > . (3)
Każdy punkt (o wspó ednych x = x(t), y = y(t), z = z(t)) krzywej definiujacej obraca si� po
lrz� � e
Rys. 5A-02: Powierzchnia torusa zrealizowana w programie AutoCAD.
okr� zwanym równoleżnikiem. Powierzchni� t� można utworzyć za pomoc� programu Au-
egu e e a
toCAD przy użyciu funkcji REVSURF (ang. surface of revolution) przy wartości parametrów
SURFTAB1=n1 (n1 - liczba powieleń krzywej definiujacej - po
� ludników w przypadku krzywej
p leż� w p egów
laskiej acej laszczyz
nie osi obrotu), SURFTAB2=n2 (n2 - liczba okr� zakreślonych
przez wybrane punkty obrotu - równoleżników). Gdy krzyw� definiujac� jest prosta - to w
a � a
zależności od jej po wzgl� osi obrotu otrzymujemy:
lożenia edem
- powierzchni� stożka (obrotowego), jeśli prosta definiujaca przecina oś obrotu (powierzchnia
e �
znana z geometrii szko
lnej),
1
Krzywa opisuj� ruch punktu w kinematyce
aca
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 3
- powierzchni� walca (obrotowego), jeśli prosta definiujaca jest równoleg do osi obrotu
e � la
(powierzchnia znana z geometrii szko
lnej),
- powierzchni� hiperboloidy (obrotowej), jeśli prosta definiujaca jest skośna wzgl� osi
e � edem
obrotu (rys. 5A-01).
Gdy krzyw� definiujac� jest okr� - to w zależności od jej po edem
a � a ag lożenia wzgl� osi obrotu
otrzymujemy:
- sfer� jeśli środek okr� leży osi obrotu (powierzchnia znana z geometrii szko
e, egu lnej),
2
- powierzchni� pierścieniow� (torus) , jeśli środek okr� nie leży na osi obrotu (w zasadzie
e a egu
przyjmuje si� że okr� leży w p lość egu eksza
e, ag laszczyz
nie osi obrotu i odleg środka okr� jest wi�
3
od promienia okr� ) (rys. 5A-02).
egu
2.2. Zakreślanie przez przesuni� - powierzchnie walcowe
ecie
Dana jest krzywa definiuj� (ang. path curve, defining curve) oraz wektor kierunkowy (ang.
aca
direction vector) (rys. 5A-03). Powierzchnia jest zbiorem prostych (w AutoCADzie jest
to zbiór odcinków) przecinajacych krzyw� definiujac� Równania takiej powierzchni, przy
� a � a.
za a lrz� ecia �
lożeniu, że liczby a, b, c s� wspó ednymi wektora przesuni� zaś krzywa definiujaca ma
równania (1) maja postać:
�
x = x(t) + au, y = y(t) + bu, z = z(t) + cu, t "< t1, t2 >, u "< u1, u2 > . (7)
Przedzia < u1, u2 > w praktycznych zastosowaniach, np. w komputerowej grafice inynierskiej
l
jest ograniczony, natomiast formalnie jest zbiorem wszystkich lizcb rzeczywistych.
2.3. Zakreślanie przez ruch śrubowy - powierzchnie śrubowe
Dana jest krzywa definiuj� (ang. path curve, defining curve) oraz wektor kierunkowy (ang.
aca
direction vector), k� obrotu (ang. angle of revolution). Na rysunku 5A-05 krzyw� definiujac�
at a � a
jest odcinek. Powierzchnia otrzymana za pomoc� ruchu śrubowego odcinka (prostej) nazywa
a
si� powierzchni� śrubow� lub helikoid� Krzyw� któr� wyznacza koniec odcinka nazywamy
e a a a. a, a
lini� śrubow� (rys. 5A-05a3). Przy za lugość
a a lożeniu, że odcinek ma d a, zaś skok linii śrubowej
ma d b równania linii śrubowej w odpowiednio przyj� uk maja postać:
lugość etym ladzie �
b
x = acost, y = asint, z = t, t "< 0, 2Ą >, (8)
2Ą
2
Jeśli, w pewnym uk wspó ednych, okr� o równaniach
ladzie lrz� ag
x = b + acosŃ, z = asinŃ, Ń "< 0, 2Ą >, 0 < a < b. (4)
obraca si� doko osi Oz, to powstaje powierzchnia zwana torusem, której równania parametryczne s� postaci
e la a
x = bcos� + acosŃcos�, x = bsin� + acosŃsin�, z = asin�, Ń "< 0, 2Ą >, � "< 0, 2Ą >, 0 < a < b. (5)
Jest to powierzchnia stopnia 4, gdyż daje si� ona, po eliminacji parametrów, przedstawić równaniem
e
(x2 + y2 + z2 - a2 - b2)2 = 4b2(a2 - z2) (6)
i istniej� proste przecinaj� t� powierzchni� w czterech punktach.
a ace e e
3
W praktyce projektowania architektonicznego korzysta si� również z powierzchni pierścieniowych, gdzie
e
warunek odleg środka okr� od osi obrotu nie jest spe np. przy projektowaniu kopu (por. rys.
lości egu lniony, l
5B-17).
4 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rys. 5A-03: Powierzchnia walcowa otrzymana przez przesuni� krzywej tworz� (ang. path
ecie acej
curve) wzd odcinka - wektora kierunkowego (ang. direction vector)
luż
i helikoidy:
b
x = (acost)u, y = (asint)u, z = t, t "< 0, 2Ą >, u "< 0, 1 > . (9)
2Ą
W przypadku opisujacym helikoid� powsta a przez obrót prostej w opisie parametrycznym
� e l�
parametr u przebiega ca zbiór liczb rzeczywistych. Przez eliminacj� parametrów otrzymu-
ly e
2Ąz
jemy równanie powierzchni śrubowej w postaci jawnej: y = xtg .
b
2.4. Elipsa jako obraz okr� w powinowactwie
egu
Spośród różnych definicji elipsy na uwag� zas taka, wed której elipsa jest obrazem
e luguje lug
okr� w powinowactwie. Przygladnijmy si� tej sytuacji rozwiazujac nast� � zadanie.
egu � e � � epujace
Zadanie 1 Skonstruować elips� jako obraz okr� w powinowactwie określonym przez oś k i
e egu
par� odpowiadaj� sobie punktów (Oo, Oe) (rys. 5A-07a).
e acych
Rozwi� zadania 1 opisane zosta na rysunkach 5A-07 � 5A-11. Pokazano tam kon-
azanie lo
strukcj� punktu elispy jako obrazu dowolnie wybranego punktu na okr� w stosownie do-
e egu
branym powinowactwie. Powinowactwo to może być zadane zupe dowolnie. Jednak
lnie
stosowny wybór czyni ca a konstrukcj� bardziej eleganck� i, jak si� wydaje, zdecydowanie
l� e a e
bardziej przyjazn� wykonawcy. Konstrukcj� tak� można powtarzać dowoln� liczb� razy.
a e a a e
Wielokrotne stosowanie takiej metody by jednak dość uciażliwe nawet przy za
loby � lo
niu,
że by realizowane na komputerze. W praktyce przyjmuje si� inny, o wiele prostszy, al-
loby e
gorytm konstrukcji wynikajacy z w egu
� lasności okr� i powinowactwa jako odwzorowania geom-
etrycznego. Jest to tzw. konstrukcja siatkowa (rys. 5A-12). Rzecz ciekawa, że konstrukcja
ta może być wykorzystana w implementacji komputerowej. Implementacja taka zosta zre-
la
alizowana, gdyż standardowe aplikacje programu AutoCAD zawieraja funkcje rysujace elips�
� � e
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 5
Rys. 5A-04: Ruch w przestrzeni powsta przez z dwóch ruchów: obrotowego i post�
ly lożenie epowego
(w sensie geometrycznym jest to superpozycja dwu przekszta obrotu i przesuni�
lceń: ecia)
Rys. 5A-05: Kszta lożenie
ltowanie powierzchni śrubowej (tzw. helikoidy) poprzez z obrotu z prze-
suni�
eciem
tylko w oparciu o jej osie, nie posiadaja natomiast poleceń realizujacych konstrukcje elipsy w
� �
4
oparciu o średnice sprz�żone oraz funkcji rysujacych hiperbol� i parabol� .
e � e e
4
Procedury rysuj� elips� parabol� i hiperbol� zrealizowano w j� AutoLISP (E. Koz
niewski: Nak
ace e, e e ezyku ladki
na AutoCAD a STOŻKOWE I WIELOŚCIANY wspomagaj� realizacj� rysunków technicznych i nauczanie
ace e
6 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rys. 5A-06: Elipsa jako krzywa posiadajaca dwa ogniska F1, F2: a) zwiazki geometryczne mi�
� � edzy
d losi lościa a
lugościami pó i odleg � ogniska od środka; b) promienie elipsy z danego punktu tworz�
jednakowe k� ze styczn� w tym punkcie - k� padania  promienia dz
wi� atowi
aty a at ekowego jest równy k�
odbicia; c)-d) akustyczna w elispy i elipsoidy - ogniska jako z
ród i punkt wzmocnienia
lasność lo
dz
wi�
eku.
2.5. Opisy algebraiczne elipsy
Omawiajac w
� lasności warto przypomnieć analityczny opis tej krzywej. W stosownie dobranym
uk wspó ednych równanie elipsy ma postać:
ladzie lrz�
x2 y2
+ = 1, (10)
a2 b2
gdzie liczby a, b oznaczaja d pó elipsy (rys. 5A-06). Jeśli ponadto przez c oznaczymy
� lugości losi
odleg ogniska od środka elipsy, to prawdziwa jest zależność:
lość
b2 + c2 = a2, (11)
która może być wykorzystana do konstrukcyjnego wyznaczania ogniska. Ponadto dla dowol-
nego punktu danej elipsy suma promieni r1,r2 jest sta i równa 2a (r1 + r2 = 2a). W
la lasność
ta może być wykorzystana do konstrukcji elipsy, może też być jej definicja. Do konstrukcji
�
wystarczy wtedy sznurek i dwie szpilki. Elipsa ma interesujace w �
� lasności skupiajace promienie
np. dz
wi� (rys. 5A-06b) o ile z
ród dz
wi� znajduje si� w ognisku. Elipsa jest krzyw�
ekowe lo eku e a
stopnia drugiego i ma interesujace w ly
� lasności, które zosta wykorzystane przy projektowaniu
5
wn� o specjalnych w
etrz lsnościach akustycznych .
geometrii wykreślnej. Bia 1994).
lystok
5
Przyk takich rozwiazań projektowych może być sala w zamku Lubomirskich herbu  Śreniawa
ladem �
w Wiśniczu Starym k/Bochni, która ma w akustyczne b� ace konsekwencj� elipsoidalnego kszta
lasności ed� a ltu
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 7
Rys. 5A-07: Za do zadania 1. Dany jest okrag o środku Oo a) powinowactwo określone jest
lożenia �
przez przyj� dowolnie osi k (styczność nie jest konieczna) i punktu Oe jako obrazu punktu Oo; b)
ecie
wybieramy dwie średnice prostopad okr� (dla wygody konstruujemy kwadrat opisany na okr�
le egu egu
- po równoleg do osi k jednej ze średnic jest przyjazne ale nie konieczne) (cdn)
lożenie le
Rys. 5A-08: W określonym już powinowactwie konstruujemy obraz średnicy okr� równoleg do
egu lej
osi k (cdn)
Inn� postacia analityczn� elipsy jest jej opis parametrczny:
a � a
x = acost, y = bsint, t "< 0, 2Ą > . (12)
Taki opis u obliczanie pola powierzchni obszaru ograniczonego elips� które wynosi
latwia a,
abĄ.
2.6. Mimośrodowa w
lasność elipsy
Najogólniejsz� definicja elipsy, obejmujac� również parabol� i hiperbol� jest definicja stożkowej.
a � � a e e,
Niech dane b� a punkt F i prosta k nie incydujace ze sob� Stożkow� o ognisku F i kierownicy
ed� � a. a
k nazywamy zbiór punktów X spe � warunek:
lniajacych
d(X, F )
= e, (13)
d(X, k)
gdzie d(X, F ) oznacza odleg punktu X od ogniska F , d(X, k) oznacza odleg punktu
lość lość
X od kierownicy k, zaś e jest pewn� liczb� dodatnia zwan� mimośrodem stożkowej. Wówczas
a a � a
sklepienia. Zwiedzaj� może być świadkiem nast� acego zjawiska. Wystarczy cicho mówić w jednym rogu
acy epuj�
sali, by przez drug� osob� g by dobrze s w drugim rogu. Obserwuj� rysunek 5A-06 nietrudno
a e los l lyszany ac
zauważyć, że punkty o takiej w a e
laściwości znajduj� si� w ogniskach elipsoidy, której fragmentem jest sklepienie
sali (rys. 5A-06c � d). Dz
wi� wydawany w punkcie F1 poprzez skupienie promieni w punkcie F2 ulega
ek
wzmocnieniu.
8 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
dla e < 1 mamy elips� dla e = 1 - parabol� i dla e > 1 - hiperbol� Ostatnia definicja ma
e, e e.
ścis zwiazek z przekrojami stożka.
ly �
Rys. 5A-09: Konstruujemy: a4) obraz drugiej średnicy okr� i otrzymujemy tzw. średnice
egu
sprz�żone elipsy; a5) wybieramy na okr� dowolny punkt 1o i prowadzimy przez ten punkt i przez
e egu
środek okr� (a wi� przez punkt, którego obraz w powinowactwie znamy) prost� Znajdujemy
egu ec a.
przy okazji drugi punkt 2o na okr� (cdn)
egu
Rys. 5A-10: Znajdujemy: a6) obraz prostej oraz a7) obrazy 1e, 2e punktów 1o, 2o (cdn)
3. Hiperboloida obrotowa i schody kr�
econe
Zadanie 2 A) Skonstruować w programie AutoCAD, w trybie 2D, dowoln� aksonometri�
a e
hiperboloidy obrotowej jednopow
lokowej, której równoleżnikiem jest dana, narysowana wcześniej
elipsa o danych osiach (rys.14A). B) Narysować (tradycyjnie p-o) w rzutach prostok�
atnych
6
(Monge a) i w aksonometrii prawieprostok� 8 � 2 (16 � 2) tworz� hiperboloidy
atnej acych
(rys.5A-14B). C) Narysować za pomoc� programu AutoCAD, w trybie 3D, hiperboloid� jednopow a.
a e lokow�
Rozwi� zadania 2A. Narysowanie hiperboloidy obrotowej środkami klasycznymi p-o,
azanie
dok acych,
ladniej wybranej liczby jej tworz� w aksonometrii wymaga użycia powinowactwa
osiowego. I to niezależnie, czy wykonujemy ja na komputerze w trybie 2D czy cyrklem i
�
linijk� Dopiero realizacja konstrukcji 3D odbywa si� za pomoc� przekszta w przestrzeni
a. e a lceń
6
Liczba 16 � 2 oznazca, że mamy narysować dwie rodziny tworz� hiperboloidy (rys. 5A-14A).
acych
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 9
Rys. 5A-11: Wybierajac dowoln� liczb� punktów na okr� otrzymujemy dowoln� liczb� punktów
� a e egu a e
elipsy jako obrazu okr� w przyj� powinowactwie (koniec)
egu etym
Rys. 5A-12: Algorytm konstrukcji siatkowej elipsy jako konsekwencja w
lasności powinowactwa
"
okr� i elipsy. W celu uporz� egu
egu adkowania systemu znajdowania obrazu okr� odcinki [Oo4o], [Oo4"]
o
dzielimy na dowoln� liczb� równych cz�ści odpowiednio punktami 1o, 2o, 3o; 1", 2", 3". Zauważmy,
a e e
o o o
" " " "
że trójk� [AoOo1o], [BoOo1"] s� przystajace, zaś k� "(AoOo1o), "(BoOo1") sa równe. Zatem
aty a � aty �
o o
trójk� [AoOo1o], [AoBoPo] s� podobne, a wi� k� "(AoPoBo) jest prosty i wobec tego punkt
aty a ec at
Po leży na okr� Obraz Pe punktu Po leży wi� na elipsie. Ponieważ powinowactwo zachowuje
egu. ec
"
stosunek podzia odcinka punkt Pe możemy otrzymać dzielac odcinki [Oe4e], [Oe4"] na tak� sam�
lu � a a
e
liczb� równych cz�ści punktami 1e, 2e, 3e; 1", 2", 3" i prowadz� odpowiednie proste. Jak widać
e e ac
e e e
do konstrukcji wystarcz� średnice sprz�żone a liczba punktów podzia decyduje od dok
a e lu ladności
aproksymacji krzywej a
laman�
(OBRÓT/REVOLUTION, w AutoCADzie jest to polecenie POWOBROT/REVSURF). Kon-
strukcj� 2D przedstawia rys. 5A-14. Przy za acych
e lożeniu, że kreślimy tylko 8 tworz� nie
musimy korzystać z powinowactwa (rys. 5A-14), gdyż w tym przypadku podzia elipsy jest
l
zrealizowany przez przek� równoleg W przypadku innej, wiekszej liczby tworz�
atne lboku. acych
wykorzystujemy powinowactwo (rys. 15 � 17). Rysunek 5A-14 jest przede wszystkim
10 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rys. 5A-13: Ilustracja konstrukcji siatkowej elipsy: a) danej za pomoc� średnic sprz�żonych
a e
ćwiczeniem w rysowaniu za pomoc� edytora graficznego (AutoCAD).
a
Rozwi� zadania 2B. Opis rozwiazania przeprowadzimy komentujac sekwencj� rysunków
azanie � � e
5A-15 � 5A-17. Zak
ladamy (rys. 15a), że:
rys. 5A-15a) dana jest elipsa o danych dwóch średnicach sprz�żonych przy czym średnice
e
te musz� być zadane zgodnie z zasadami aksonometrii prawieprostok� (3:4), to znaczy
a atnej
przyjmujemy uk osi aksonometrii i dwa po � si� odcinki jeden wzd osi Oy, drugi
lad lowiace e luż
skrócony w stosunku 3:4 wzd osi Ox (na rys. 15a średnice sprz�żone przyj� w dowolnej
luż e eto
aksonometrii);
rys. 5A-15a1) w celu odwzorowania elipsy na okr� konstrujemey oś powinowactwa równoleg a
ag l�
do jednej ze średnic przechodz� a przez koniec drugiej (to ostatnie za nie jest konieczne
ac� lożenie
ale wygodne);
rys. 5A-15a2) konstruujemy równoleg i odpowiadajacy mu kwadrat definiujacy powinowactwo;
lobok � �
rys. 5A-15a3) rysujemy okr�
ag
i
rys. 5A-15a4) dzielimy go na n (n=16) równych cz�ści;
e
rys. 5A-16a5) przekszta przez powinowactwo otrzymane punkty rysujac przez dwa z
lcamy �
tych punktów prost� w uk okr�
a ladzie egu;
rys. 5A-16a6) znajdujemy obraz tej prostej;
rys. 5A-16a7) znajdujemy obrazy dwóch punktów leż� na tej prostej;
acych
rys. 5A-17a8) przekszta przez powinowactwo otrzymane pozosta punkty równomiernego
lcamy le
podzia okr� otrzymujemy punkty podzia elipsy (n = 16 punktów);
lu egu, lu
i
rys. 5A-17a9) rysujemy drug� przesuni� a równolegle, elips� i laczymy punkty dolnej elipsy z
a, et� e �
punktami górnej elipsy przyjmujac przesuni� o t(t = 4) punktów. Należy dodać, że ustaw-
� ecie
ienie prostej tworz� wzgl� osi obrotu jest zupe dowolne.
acej edem lnie
Na rysunku 5A-17a9 narysowano tylko jedn� rodzin� prostych, by rysunek ten by możliwie jak
a e l
najbardziej czytelny. Otrzymana powierzchnia może pe w praktyce interersujace funkcje
lnić �
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 11
Rys. 5A-14: Konstrukcja rzutu aksonometrycznego hiperboloidy obrotowej w AutoCADzie metod�
a
2D. Zak � la
ladamy, że: a1) elipsa jest dana jako krzywa ciag o danych osiach (dwóch średnicach
sprz�żonych prostopad - ELLIPSE/ELIPSA). Rysujemy: a2) dowoln� średnic� i prost� do
e lych a e a
niej równoleg a za pomoc� polecenia COPY/KOPIUJ; a3) obcinamy odcinki brzegiem elipsy
l� a
(TRIM/UTNIJ); a4) laczymy odcinkiem środki odcinków (PLINE/WIELOLINIA MIDpoint MID-
�
point(INTersec)); a5) Wyd (EXTEND/WYD do brzegu elipsy; a6) Usuwamy linie pier-
lużamy LUŻ)
wotne i pomocnicze (ERASE/WYMAŻ); a7) konstruujemy równoleg a8) i przek� wyz-
lobok; atne
naczajace punkty regularnego podzia elipsy na osiem cz�ści odpowiadajacego podzia okr�
� lu e � lowi egu
równoleżnika na osiem równych cz�ści; A) Kopiujemy elips� pionowo i laczymy odpowiednie punkty
e e �
( przesuwajac górne punkty, odpowiadajace dolnym punktom, o 2). Przesuni� to może być
� � ecie
dowolne, ważne jest jednak, by zapewnić skośność tworz� i osi paraboloidy. W tym wypadku
acej
nie może to być wi� przesuni� o 4. Dlaczego? Dlatego, że wtedy odleg tworz� od osi
ec ecie lość acej
by równa zero (oś i tworz� by prostymi przecinajacymi si� i otrzymalibyśmy tworz�
laby aca lyby � e) ace
stożka. Otrzymana rodzina tworz� to rodzina prostych wzajemnie skośnych. Ale na hiper-
acych,
boloidzie obrotowej leży jeszcze inna rodzina tworz� Jeżeli b� �
acych. edziemy laczyć punkty  prze-
suwajac górne w prawo o 2, to otrzymamy podobn� rodzin� tworz� wzajemnie skośnych.
� a e acych
Warto dodać, że proste z tych obu rodzin przecinaja si� B) (hiperboloida w rzutach prostok�
� e; atnych
(Monge a) rozwiazanie klasyczne p-o). Zak a: �
� ladamy, że dane s� okrag szyjny oraz dwa dowolnie
przyj� symetryczne wzgl� p egu egi
ete, edem laszczyzny okr� szyjnego, okr� równoleżnikowe (rys. 5A-14B).
Tworz� kszta � egu �
ace ltujemy rysujac w rzucie poziomym proste styczne do okr� szyjnego i znajdujac
punkty wspólne tych prostych (ślady) z okr� - rzutem poziomym okr� równoleżnikowych.
egiem egów
konstrukcyjne. Ma zastosowanie m.in. przy budowie silosów, ch kominowych, wież
lodni
7
ciśnień itp. .
7
W Ciechanowie znajduje si� wieża ciśnień, w której konstrukcj� noń� jest ustrój hiperboloidy obrotowej,
e a a
sam zbiornik ma kszta powierzchni torusoidalnej (S. Przew Geometria wykreślna w budownictwie.
lt locki:
Arkady. Warszawa 1982.)
12 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rozwi� zadania 2C. Za pomoc� polecenia REVSURF/POWOBROT tworzymy hiper-
azanie a
boloid� obrotow� Przyjmujemy prost� pionow� oraz inn� prost� skośn� (PLINE/PLINIA z
e a. a a a a a
użyciem filtru na przyk .xy).
lad
Rys. 5A-15: Wykorzystanie powinowactwa i pośrednictwa okr� do konstrukcji elipsy wraz z
egu
punktami równomiernego podzia a) elipsa dana za pomoc� średnic sprz�żonych; a1) wybór osi
lu: a e
powinowactwa; a2)-a4) konstrukcja okr� - obrazu elipsy wraz z punktami podzia okr�
egu lu egu
Zadanie 3 W oparciu o dokonany w zadaniu 1 podzia stożkowej narysować (tradycyjnie p-
l
o) w rzutach prostok� i w aksonometrii prawieprostok� (3:4) schody kr� o ośmiu
atnych atnej econe
stopniach na jeden pe lny obrót (rys. 5A-18).
Rozwi� zadania 3. Konstrukcja schodów polega na  podnoszeniu na odpowiednia
azanie �
wysokość cz�ści elipsy (rys. 5A-18a1 � rys. 5A-18a2). Jest jednak pewien szczegó mi-
e l
anowicie wyznaczenie stycznych pionowych do elipsy (i odpowiednich punktów styczności).
Do tego celu wykorzystamy powinowactwo osiowe (rys. 5A-18a3). Oś schodów przekszta
lcamy
do uk okr� (rys. 5A-18a3�5A-18a4) i rysujemy proste styczne do okr� równoleg
ladu egu egu, le
do przekszta prostej (rys. 5A-19a7 � rys. 5A-19a8), równocześnie znajdujemy punkty
lconej
styczności. Nast�  wracamy z prostymi stycznymi do uk elipsy (rys. 5A-20a9 �
epnie ladu
rys. 5A-20a10). Znajdujemy równocześnie punkty styczności prostych pionowych do elipsy w
podstawie schodów, które odpowiednio  podnosimy . Na rys. 5A-20a10  podniesiono dwa
punkty styczności. Rysunek 5A-21a10 w powi� ly
ekszeniu pokazuje szczegó konstrukcji.
Przedstawiony algorytm konstrukcji schodów kr� a
econych - to klasyczna konstrukcja za pomoc�
środków p-o chociaż w przestawianym materiale wyk przedstawiona technik� komput-
ladów a
erow� 2D. Cyrklem i linijk� wykonywalibyśmy te konstrukcj� analogicznie. Interesujacym jest
a a e �
również pokazać istot� konstrukcji w innej logice niż klasyczna metoda konstrukcji.
e
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 13
Rys. 5A-16: Zasada znajdowania punktów i prostych - obrazów w powinowactwie
Rys. 5A-17: Punkty równomiernego podzia elipsy i tworz� hiperboloidy jednopow obro-
lu ace lokowej
towej
3.1. Konstrukcja schodów kr� a
econych w programie AutoCAD za pomoc� poleceń
geometrii bry
l
Schody kr� można zrealizować za pomoc� poleceń geometrii bry Pos � si� poleceni-
econe a l. lugujac e
ami geometrii bry konstruujemy walec (CYLINDER) o wysokości stopnia schodów i dowoln�
l a
14 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rys. 5A-18: Zasada konstrukcji aksonometrii schodów kr�
econych. Określenie powinowactwa
Rys. 5A-19: Konstrukcja obrazu osi schodów w powinowactwie i prostych stycznych do okr� i
egu
punktów styzcności
kostk� (BOX). Nast� za pomoc� operacji boolowskich (UNION, SUBTRACT, INTER-
e epnie a
SECT) kszta epnie
ltujemy odpowiedni schodek, który nast� kopiujemy w liczbie równej liczbie
Ł
2Ąi
stopni, i każdy i-ty schodek obracamy odpowiednio o k� , dla i = 1, 2, ..., n i przesuwamy
at
n
w odpowiedni punkt osi schodów. Nast� konstruujemy poleceniem WALEC/CYLINDER
epnie
walec o wymienionej wyżej osi stanowiacy nośny s schodów kr�
� lup econych i dokonujemy
po aczenia poleceniem SUMA/UNION. Konstrucja tych obiektów naturalnie nie wymaga
l�
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 15
Rys. 5A-20: Konstrukcja konturowych stycznych pionowych do elips kszta � schody kr�
ltujacych econe
Rys. 5A-21: Fragment schodów kr� w aksonometrii (jest to powi�
econych ekszenie fragmentu rysunku
5A-20a10)
pos e
lugiwania si� powinowactwem. Obiekt jest bowiem konstruowany w przestrzeni wirtu-
alnej, zaś efekt wizualizacji w aksonometrii jest realizowany przez polecenie VPOINT.
16 E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A
Rys. 5A-22: Propozycja ukszta e a atrz
ltowania cz�ści dachu za pomoc� powierzchni śrubowej. Wewn�
domu i obok schody kr� zrealizowane za pomoc� poleceń geometrii bry w AutoCADzie (BOX,
econe a l
CYLINDER) i operacji boolowskich (UNION, SUBTRACT, INTERSECT) (fragment realizacji stu-
denckiego projektu  Dom z kwiaciarni� z przedmiotu architektura i urbanistyka na kierunku Bu-
a
downictwo Politechniki Bia
lostockiej).
Rys. 5A-23: Schody skonstruowane za pomoc� programu w j� PASCAL i importowane do
a ezyku
AutoCADa jako plik o rozszerzeniu DXF
3.2. Konstrukcja schodów kr�
econych w programie AutoCAD realizowana poza
AutoCADem
Skomplikowany obiekt geometryczny jakim s� schody kr� można narysować za pomoc�
a econe a
specjalnie przygotowanego programu komputerowego, np. w j� PASCAL przygotowujacego
ezyku �
E. Koz
niewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 17
8
kod wejściowy dla AutoCADa przedstawiono. Program w PASCALu umożliwiajacy parame-
�
tryczne ukszta
ltowanie schodów przygotowuje odpowiedni plik w trybie DXF, który jest
nat� importowany (DXFIN) do programu AutoCAD. Punkt ci�żkowści rozwiazania prob-
epnie e �
lemu zosta przeniesiony tym razem do środowiska kompilatora j� PASCAL (rys. 5A-23).
l ezyka
Schemat post� epujacy:
epowania jest nast� �
napisanie programu w j� PASCAL i jego kompilacja:
ezyku
algorytm edytorASCII schody.pas TPC schody.exe
uruchomienie programu w Windows i importowanie do AutoCADa:
schody.exe schody.dxf AutoCAD(DXFIN) schody.dwg
Prezentowany program umożliwia narysowanie schodów o określonych przez parametry: liczba
schodków, wysokość schodka, wielkość promienia zewn� etrznego,
etrznego, wielkość promienia wewn�
liczba elementów sk ly,
ladowych schodka (prymitywów atomowych budowy bry liczby skoków
linii śrubowej indukowanej przez schody kr�
econe). Zbudowany  poza AutoCADem (obiekt
geometryczny) jest obiektem (entycja, prymitywem) AutoCADa. Konstrukcja pliku schody.dxf
�
zosta wykonana tak, by by to pe obiekt wirtualny, który można cieniować, chować
la l lny
kraw� niewidoczne itp.
edzie
Literatura
[Fol95] J. D. Foley i inni: Wprowadzenie do grafiki komputerowej (Introduction to Com-
puter Graphics). Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa 1995.
[Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw� stosowan� Wydawnictwo
a a.
Naukowe PWN. Warszawa 1995.
[Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.
Warszawa 1990.
[Ott94] F. Otto, E. Otto: Podr� geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.
ecznik
Warszawa 1994.
[Pik97] A. Pikoń: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyższe. Wydawnictwo
HELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, 1997.
[Prz82] S. Przew
locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.
[Prz00] S. Przew
locki: Geometria wykreślna w zastosowaniach dla budownictwa i architek-
tury. Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego. Olsztyn 2000.
8
Koz
niewski E., Or M.: Rysunki w środowisku AutoCADa wykonywane poza AutoCADem. Zeszyty
lowski
Naukowe PB BUDOWNICTWO nr 24. Bia 2003.
lystok