str. 23

MODELE ZMIENNEJ JAKOŚCIOWEJ

Zmienne jakościowe – zmienne, których wartości mają postać niemierzalnych „kategorii”,

np. zmienna płeć przyjmuje wartości „mężczyzna” lub „kobieta”.

W modelach ekonometrycznych zmienne te jakościowe najczęściej zamieniane są na

zmienne zero-jedynkowe, np.



 0 dla mężczyzn oraz



 1 dla kobiet.

Model zmiennej jakościowej – model ekonometryczny, w którym zmienną objaśnianą jest

zmienna jakościowa (zer-jedynkowa)

LINIOWY MODEL PRAWDOPODOBIEŃSTWA (LMP)

W LMP szacowane są parametry modelu liniowego:





 









 









gdzie





jest zmienną zero-jedynkową.

Powstają dwa pytania:

1/ Jak interpretujemy wartość teoretyczną modelu LMP?

Przykładowo, co oznacza że





 0,7 dla zmiennej płeć?

2/ Jak interpretujemy parametry modelu LMP?

Aby odpowiedzieć na te pytania zauważmy, że:





 



  



 1  1 



 0  0  



 1  



Oznacza to, że wartość teoretyczna modelu LMP określa prawdopodobieństwo, że zmienna

objaśniana



przyjmie wartość 1.

Tym samym parametr



interpretujemy jako wzrost prawdopodobieństwa zdarzenia



 1

w wyniku wzrostu





o jednostkę.

str. 24

LINIOWY MODEL PRAWDOPODOBIEŃSTWA, CD.

PRZYKŁAD

Oszacowano model LMP dla wiarygodności klientów banku następującej postaci:





 0.66 0.005



gdzie:




- wiarygodność kredytobiorców

(





 1 dla osób regularnie płacących raty oraz 



 0 dla pozostałych kredytoborców)





- wysokość zarobków (w tys PLN rocznie).

Zinterpretuj wartość teoretyczną dla klienta, dla którego



 40 oraz 



 100.

Jaka jest interpretacja parametru 0.005?



 0.66 0.005  40  0.86 - prawdopodobieństwo regularnej spłaty rat wynosi 86%





 0.66 0.005  100  1.16 - prawdopodobieństwo regularnej spłaty rat wynosi 116%

Parametr 0.005 interpretujemy jako wzrost prawdopodobieństwa, że klient będzie

regularnie spłacał raty w wyniku wzrostu rocznych zarobków o 1 tys PLN.

WADY LMP

1/ Wartości teoretyczne modelu, interpretowane jako prawdopodobieństwo, mogą być

większe od 1 lub mniejsze od 0.

2/ Problemy z heteroskedastycznością składnika losowego:

można wykazać, że

!







  



1 " 



, czyli zależy od wartości zmiennych objaśniających.

Wykres: Wartości teoretyczne i rzeczywiste w modelu LMP

str. 25

MODEL LOGITOWY

W modelu logitowym prawdopodobieństwo jest dane funkcją logistyczną:







#

$%

&#

$%

,

gdzie

'



 









 



(

A zatem wartości teoretyczne należą do przedziału [0,1] dla wszystkich wartości

'



.

Warto zauważyć, że

1 " 





&#

$%

, co implikuje, że ILORAZ SZANS wynosi:





1 " 



 )

*

%

zaś wartość tzw LOGITU jest równa:

ln -





1 " 



.  '



 









 





Interpretacja parametrów



/

jest stosunkowo trudna.

Interpretujemy natomiast EFEKT KRAŃCOWY, dany wzorem:

0



0

/

 

/

 



 1 " 





określający jak jednostkowa zmiana



/

wpływa na prawdopodobieństwo





.

Uwaga: w wydrukach komputerowych podawane są efekty krańcowe dla średniej wartości





w próbie, liczone wg wzoru:



/

 1



 1 " 1





MODEL PROBITOWY

W modelu probitowym prawdopodobieństwo jest dane zależnością:





 Φ'



,

gdzie

'



 









 



(

zaś

Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego.

Tak jak w modelu logitowym wartości teoretyczne należą do przedziału [0,1] dla wszystkich

wartości

'



.

Model probitowy jest stosowany substytucyjnie z modelem logitowym, gdyż teoretyczne

wartości prawdopodobieństwa oraz dopasowanie modelu do danych jest zbliżone. W

przypadku oszacowań parametrów, zachodzi zależność:





456(

7 1,7  



895:(

str. 26

MIARY DOPASOWANIA W MODELU LOGITOWYM/PROBITOWYM

;<=>?@ " A

B

W modelu logitowym nie można stosować zwykłego współczynnika determinacji

C



ze

względu na nieliniowość.
Stosuje się tzw.

DEFGHI " A

B

określany także jako

JKLMHHFN A

B

:

O)PQR " C



 1 "

ln S

TU

ln S

TV

gdzie

S

TU

jest wartością funkcji wiarygodności dla modelu pełnego, natomiast

S

TV

dla

modelu zredukowanego do wyrazu wolnego.

TABLICA TRAFNOŚCI

Drugą miarą dopasowania jest tzw. tablica trafności. W celu skonstuowania tablicy trafności
liczymy teoretyczne wartości dla





, czyli prawdopodobieństwa





oraz wypełniamy tabelę:

Model

Dane





 1





 0





 1

W

W







 0

W



W



Powstaje jednak pytanie, kiedy przyjąć, że model wskazuje na





 1? Istnieją dwie

dominujące metody.
1/ zasada standardowa:





 1 gdy 



X 0,5

2/ metoda optymalnej wartości granicznej (metoda Cramera):





 1 gdy 



X Y.

str. 28

EKONOMETRIA SZEREGÓW CZASOWYCH

Proces stochastyczny – zbiór zmiennych losowych {

(

 uporządkowany zgodnie z indeksem

czasu

Z.

Szereg czasowy – pojedyncza realizacja procesu stochastycznego w próbie, dla

Z  1,2, … , ]

Przykład:

Temperatura notowana 22 listopada o godzinie 10:00 przed wejściem do SGH

Proces stochastyczny:

(

^ _5,4



 dla każdego Z

Szereg czasowy:



`

 6,7; 

b

 1,2; 

c

 "3,7; 

e

 12,3

Przykłady procesów stochastycznych

(Gaussowski) proces białego szumu



(

 

(

,

gdzie



(

^ _0, f



 oraz gRh

(

, 

(i

  0 dla j k 0

Proces błądzenia losowego



(

 

(i



(

Proces autoregresyjny rzędu

; - AR(;)



(

 







(i

 

U



(iU



(

,

Proces średniej ruchomej rzędu

l – MA(l)



(

 

(

m



(i

 m

n



(i

Autoregresyjny proces średniej ruchomej – ARMA(

;, l)



(

 







(i

 

U



(iU



(

m



(i

 m

n



(i

,

str. 29

STACJONARNOŚĆ

Proces ściśle stacjonarny:

proces stochastyczny, którego wszystkie własności statystyczne nie zmieniają się w czasie

Proces słabo stacjonarny:

proces stochastyczny, dla którego wartość oczekiwana, wariancja oraz autokowariancja nie

zmieniają się w czasie, tj.:



(

  o dla Z  1,2, … , ]

!





(

  f



dla

Z  1,2, … , ]

pRh

(

, 

(i

  q

dla

Z  1,2, … , ]

Stacjonarność procesu AR(1)

Proces



(

 







(i



(

jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy gdy

|

| s 1.

W pozostałych przypadkach proces jest niestacjonarny.

Wynika to z faktu, że proces stacjonarny



(

musi powracać do swojej średniej wartości

o.

Oznacza to, że wpływ szoku



(

powinien wygasać w czasie, tj.

lim

vw

xy

z{|

x}

z

 0.

W przypadku procesu AR(1) zachodzi natomiast zależność

xy

z{|

x}

z

 



str. 30

Test Dickeya-Fullera (DF)

Aby zweryfikować hipotezę, że proces



(

jest niestacjonarny, można zastosować m.in. test DF. W

wersji podstawowej, proces AR(1)



(

 







(i



(

jest przekształcany do postaci:

Δ

(

 o 

(i



(

[Warto zauważyć, że

o  



zaś

  

]. Następnie weryfikowany jest zespół hipotez:

€



:   0 " W‚)OZƒp„RWƒ…WRść 

(

€

:  s 0 " OZƒp„RWƒ…WRść 

(

Do weryfikacji powyższych hipotez wykorzystywana jest statystyka Dickeya-Fullera postaci:

!ˆ

5:4



‰Š

‹

Œ

,

która ma rozkład Dickeya Fullera, który został stablicowany w tzw. tablicach McKinnona.

Wnioskowanie jest następujące:

!ˆ

5:4

 !ˆ

Ž



odrzucamy

€



, czyli



(

jest stacjonarny (zapisujemy to jako



(

^ 0)

!ˆ

5:4

X !ˆ

Ž



nie ma podstaw do odrzucenia

€



, czyli



(

jest niestacjonarny

Wersje testu Dickeya-Fullera

wersja bez stałej i bez trendu

Równanie testowe:

Δ

(

 

(i



(

wersja ze stałej i bez trendu

Równanie testowe:

Δ

(

 o





(i



(

wersja ze stałej i trendem

Równanie testowe:

Δ

(

 o



o

Z 

(i



(

Stopień zintegrowania szeregu czasowego

Jeżeli w teście DF nie odrzuciliśmy

€



, to należy znaczy, że proces



(

jest niestacjonarny. W

takim przypadku możemy testować stopień zintegrowania szeregu



(

. W tym celu liczymy

przyrost

Δ

(

i za pomocą testu DF sprawdzamy, czy ten szereg jest stacjonarny. Jeżeli tak, to

mówimy, że



(

jest niestacjonarny, zintegrowany w stopniu 1 i zapisujemy jako



(

^ 1. W

przeciwnym przypadku liczymy kolejny przyrost

Δ





(

i stosujemy test DF, itd.