Procesy stochastyczne

10. Proces Wienera — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 10.1 (J. S., Zad. 2 str. 310) Podaj przykład procesu stochastycznego o funkcji kowariancji

K(s, t) = min(s, t), niebędącego stochastyczną modyfikacją procesu Wienera.

Zad. 10.2 (J. S., Zad. 3 str. 310) (Most Browna) Wyznacz funkcję kowariancji mostu Browna,

czyli procesu U

t

= W

t

− tW

1

, t ∈ [0, 1], gdzie W jest procesem Wienera.

Zad. 10.3 (P. P., Zad. 8 str. 373) Niech W będzie procesem Wienera. Wyznacz wartość średnią

oraz kowariancję procesu

X

t

=

Z

t

0

W

θ

dθ.

Zad. 10.4 (J. S., Zad. 5 str. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera

są również

1. Z

t

= −W

t

,

2. V

t

= W

T +t

− W

T

, t > 0.

Zad. 10.5 (P., Ex. 2.5-2.7 p. 77) Niech W będzie procesem Wienera z parametrem σ

2

. Wyznacz

wartość średnią i kowariancję procesów

1. X(t) = W (t + L) − W (t), L — stała dodatnia,

2. X(t) = At + W (t), A — stała dodatnia,

3. X(t) = At + W (t), gdzie A nie zależy od W i ma rozkład N (m, σ

2

1

).

Zad. 10.6 (P., Th. 27 p. 445) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to

Z(t) = exp(aW (t) − a

2

t/2),

a ∈ R,

jest martyngałem względem σ-algebry F

t

= σ(W

s

; s ¬ t). Następnie, obliczając kolejno

pochodne Z(t) po a i podstawiając a = 0, wykaż, że martyngałami są W (t), W (t)

2

− t,

W (t)

3

− 3tW (t), W (t)

4

− 6tW (t)

2

+ 3t

2

.