dr in˙z. Magdalena Topczewska

´

Cwiczenia nr 10

Przedzia ly ufno´

sci

Zakres teorii

• przedzia ly ufno´sci dla ´sredniej

• przedzia ly ufno´sci dla procentu (wska´znika struktury)

• przedzia ly ufno´sci dla wariancji

• minimalna liczno´s´

c pr´

oby

Przedzia lem ufno´

sci nazywamy losowy przedzia l wyznaczony za pomoc

,

a rozk ladu estymatora, a maj

,

acy t

,

e w lasno´

s´

c, ˙ze z du˙zym,

z g´

ory zadanym prawdopodobie´

nstwem, pokrywa warto´

s´

c szacowanego parametru θ.

Zwykle zapisujemy go w postaci P (a < θ < b) = 1 − α, gdzie a i b s

,

a dolnym i g´

ornym kra´

ncem przedzia lu ufno´

sci, za´

s 1 − α jest

to wsp´

o lczynnik ufno´

sci, czyli prawdopodobie´

nstwo zadane z g´

ory, z jakim parametr θ pokryty jest przedzia lem ufno´

sci.

Przedzia ly ufno´

sci dla ´

sredniej

• Model I

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – znane dla populacji

P



¯

x − u

α

σ

√

n

< m < ¯

x + u

α

σ

√

n



= 1 − α

u

α

wyznacza si

,

e z tablic dystrybuanty rozk ladu normalnego, by spe lniona by la relacja P {−u

α

< U < u

α

} = 1 − α

• Model II

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane dla populacji
n – ma le (n < 30)

P



¯

x − t

α

s

√

n − 1

< m < ¯

x + t

α

s

√

n − 1



= 1 − α

lub

P



¯

x − t

α

ˆ

s

√

n

< m < ¯

x + t

α

ˆ

s

√

n



= 1 − α

gdzie s i ˆ

s s

,

a odchyleniami standardowymi

s =

v
u
u
t

1

n

n

X

i=1

(x

i

− ¯

x)

2

ˆ

s =

v
u
u
t

1

n − 1

n

X

i=1

(x

i

− ¯

x)

2

t

α

wyznacza si

,

e z tablic t-Studenta, by spe lniona by la relacja P {−t

α

< T < t

α

} = 1 − α i dla n − 1 stopni swobody

• Model III

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane dla populacji
n – du ˙ze (n > 30)
wz´

or z modelu I (we wzorze zamiast σ u˙zywamy s lub ˆ

s)

W przypadku danych w postaci szeregu rozdzielczego o r klasach ´

sredni

,

a i odchylenie standardowe obliczamy ze wzor´

ow:

¯

x =

1

n

r

X

j=1

x

◦
j

n

j

ˆ

s =

v
u
u
t

1

n

r

X

j=1

(x

◦
j

− ¯

x)

2

n

j

gdzie x

◦
j

jest ´

srodkiem j-tego przedzia lu klasowego, za´

s n

j

jego liczno´

sci

,

a.

Przedzia ly ufno´

sci dla procentu (wska´

znika struktury)

• Model

Populacja generalna ma rozk lad dwupunktowy z parametrem p
n – du ˙ze (n > 100)

P

 m

n

− u

α

s

m

n

(1 −

m

n

)

n

< p <

m

n

+ u

α

s

m

n

(1 −

m

n

)

n



= 1 − α

u

α

wyznacza si

,

e z tablic dystrybuanty rozk ladu normalnego, by spe lniona by la relacja P {−u

α

< U < u

α

} = 1 − α

1

Przedzia ly ufno´

sci dla wariancji

• Model I

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane
n – ma le (n < 30)

P

 ns

2

c

2

< σ

2

<

ns

2

c

1



= 1 − α

lub

P

 (n − 1)ˆ

s

2

c

2

< σ

2

<

(n − 1)ˆ

s

2

c

1



= 1 − α

c

1

i c

2

wyznacza si

,

e z tablic rozk ladu χ

2

(chi-kwadrat) dla n − 1 stopni swobody oraz tak, by spe lnione by ly relacje

P {χ

2

< c

1

} =

1
2

α oraz P {χ

2

> c

2

} =

1
2

α

• Model II

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ) lub zbli ˙zony do normalnego
m – nieznane
σ – nieznane
n – du ˙ze (n > 30)

P



s

1 +

u

α

√

2n

< σ <

s

1 −

u

α

√

2n



= 1 − α

u

α

wyznacza si

,

e z tablic dystrybuanty rozk ladu normalnego, by spe lniona by la relacja P {−u

α

< U < u

α

} = 1 − α

Zadania

Zad 1.
Do zagadnie´

n normowania pracy potrzebne jest oszacowanie ´

sredniego czasu pracy potrzebnego tokarzowi na

obr´

obk

,

e skrawaniem pewnego detalu na okre´

slonym typie obrabiarki. W tym celu zmierzono czas toczenia tego

detalu u 10 losowo wybranych (niezale˙znie) tokarzy. Otrzymano nast

,

epuj

,

ace wyniki (w minutach): 16.2; 15.4;

13.8; 18; 15.1; 17.3; 16.8; 15; 15.9; 16.5. Przyjmuj

,

ac, ˙ze rozk lad czasu toczenia tego detalu jest normalny, poda´

c

przedzia l ufno´

sci ze wsp´

o lczynnikiem ufno´

sci

a) 0.95
b) 0.90
c) 0.99
dla ´

sredniego czasu toczenia.

Zad 2.
W pewnym eksperymencie chemicznym bada si

,

e czas ca lkowitego zako´

nczenia pewnej reakcji. Dokonano 60

niezale˙znych do´

swiadcze´

n i otrzymano z nich ´

sredni

,

a 46 sek. oraz odchylenie standardowe 13 sek. Przyjmuj

,

ac

wsp´

o lczynnik ufno´

sci

a) 0.99
b) 0.90
oszacowa´

c metod

,

a przedzia low

,

a ´

sredni czas potrzebny w tym do´

swiadczeniu na ca lkowite zako´

nczenie reakcji.

Zad 3.
W celu oszacowania ´

sredniego czasu po´

swi

,

ecanego tygodniowo przez student´

ow pewnej uczelni na studiowanie w

bibliotece, wylosowano niezale˙znie pr´

ob

,

e 132 student´

ow i otrzymano z niej nast

,

epuj

,

ace wyniki (czas studiowania

w bibliotece w godzinach):

Czas

Liczba student´

ow

0 − 2

10

2 − 4

28

4 − 6

42

6 − 8

30

8 − 10

15

10 − 12

7

Przyjmuj

,

ac wsp´

o lczynnik ufno´

sci 0.90 oszacowa´

c metod

,

a przedzia low

,

a ´

sredni tygodniowy czas studiowania

student´

ow w bibliotece.

Zad 4.
W celu zbadania hamowania samochodu po usprawnieniach technicznych wykonano 100 pomiar´

ow, a nast

,

epnie

obliczono ´

sredni czas hamowania 4.26 sek. i wariancj

,

e z pr´

oby 1.1 sek2. Znale´

z´

c realizacj

,

e przedzia lu ufno´

sci na

poziomie ufno´

sci 0.9 dla warto´

sci oczekiwanej i odchylenia standardowego czasu hamowania. Por´

owna´

c wyniki

po zmianie poziomu na 0.95. Jak zmieni lyby si

,

e wyniki, gdyby liczno´

s´

c pr´

oby zmniejszy´

c do 25 pomiar´

ow?

2

Zad 5.
Na podstawie danych liczbowych z zadania 3 oszacowa´

c metod

,

a przedzia low

,

a procent student´

ow badanej uczelni,

kt´

orzy na studiowanie w bibliotece po´

swi

,

ecaj

,

a mniej ni˙z 6 godzin tygodniowo. Przyj

,

a´

c wsp´

o lczynnik ufno´

sci

0.95.

Zad 6.
W celu oszacowania rozrzutu wagi jaj dostarczanych do pewnego sklepu dokonano pomiar´

ow wagi 15 jaj i

otrzymano nast

,

epuj

,

ace wyniki (w g): 62, 57, 70, 58, 59, 67, 65, 69, 55, 57, 60, 54, 72, 66, 74. Przyjmuj

,

ac

wsp´

o lczynnik ufno´

sci 0.96 zbudowa´

c przedzia l ufno´

sci dla wariancji wagi jaj dostarczanych do sklepu.

Zad 7.
W celu wyznaczenia dok ladno´

sci przyrz

,

adu pomiarowego dokonano 7 niezale˙znych pomiar´

ow pewnej sta lej

wielko´

sci, uzyskuj

,

ac rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179. Wyznaczy´

c ocen

,

e wariancji b l

,

ed´

ow tego

przyrz

,

adu, je˙zeli:

a) warto´

s´

c mierzonej wielko´

sci jest znana i r´

owna 176,

b) warto´

s´

c mierzonej wielko´

sci jest nieznana.

Przyj

,

a´

c poziom istotno´

sci 1 − α = 0.90.

Zad 8.
W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji w indywidualnych gospodarstwach rolnych
pewnego powiatu wylosowano niezale˙znie 360 gospodarstw rolnych spo´

sr´

od tych, ktore prowadz

,

a kontraktacj

,

e.

Otrzymano nast

,

epuj

,

ace dane:

Rodzaj kontraktacji

liczba gospodarstw

zbo˙za i ziemniaki

21

buraki i ro´

sliny przemys lowe

123

byd lo

50

trzoda chlewna

166

Zbudowa´

c przedzia ly ufno´

sci ze wsp´

o lczynnikami 0.9 dla poszczeg´

olnych wska´

znik´

ow struktury gospodarstw

prowadz

,

acych kontraktacj

,

e w tym powiecie.

Zad 9.
Obliczy´

c niezb

,

edn

,

a liczb

,

e pomiar´

ow jakie nale˙zy wykona´

c w celu wyznaczenia 95%-wego przedzia lu ufno´

sci o

d lugo´

sci nie przekraczaj.cej 0.08 mm dla warto´

sci przeci

,

etnej grubo´

sci tkaniny, wiedz

,

ac, ˙ze b l

,

edy pomiar´

ow

maj

,

a rozk lad normalny o odchyleniu standardowym s = 0.1 mm

Zad 10.
Ile nale˙zy wylosowa´

c niezale˙znie puszek konserwowych do badania jako´

sci pewnej partii konserw, aby przy

wsp´

o lczynniku ufno´

sci 0.90 oszacowa´

c procent zepsutych konserw, kt´

ory przypuszczalnie jest rz

,

edu 10%, z

b l

,

edem maksymalnym 5%?

Zad 11.
Ile przebieg´

ow poci

,

ag´

ow pasa˙zerskich w Polsce nale˙za loby wylosowa´

c niezale˙znie do pr´

oby, aby z maksymal-

nym b l

,

edem dopuszczalnym 6% oszacowa´

c nieznany procent op´

o´

znionych przyjazd´

ow na stacj

,

e docelow

,

a?

Wsp´

o lczynnik ufno´

sci 0.90.

3