Ćwiczenie 11.

Szeregowe i równoległe połączenie elementów RLC

Zadanie

Do sieci o napięciu

(

20

314

2

150

+

⋅

=

u

)

włączono gałąź szeregową złożoną z trzech

elementów idealnych o parametrach: C=25

μF, L=0,25H, R=45Ω.

R

i

L

C

V

1

U

C

U

L

U

R

V

2

Obliczyć:

• wartości skuteczne prądu i napięć

na elementach R, L, C oraz napięć

mierzonych woltomierzami V

1

i V

2

• przebiegi wszystkich wielkości

U

• wykonać wykres wektorowy prądu

i napięć

Rozwiązanie

Obliczamy: pulsację i częstotliwość napięcia

s

rad

314

=

ω

co dopowiada

Hz

50

2

314 =

=

π

f

• reaktancje cewki i kondensatora

Ω

=

⋅

=

=

5

,

78

25

,

0

314

L

X

L

ω

Ω

=

⋅

⋅

=

=

−

4

,

127

10

25

314

1

1

6

C

X

C

ω

• reaktancja obwodu

Ω

−

=

−

=

−

=

9

,

48

4

,

127

5

,

78

C

L

X

X

X

• impedancje obwodu

Ω

=

+

=

+

=

5

,

66

9

,

48

45

2

2

2

2

X

R

Z

• prąd w obwodzie

A

26

,

2

5

,

66

150 =

=

=

Z

U

I

• spadki napięć na elementach R,L, C

V

5

,

101

26

,

2

45

=

⋅

=

⋅

=

I

R

U

R

V

4

,

177

26

,

2

5

,

78

=

⋅

=

⋅

=

I

X

U

L

L

V

9

,

287

26

,

2

4

,

127

=

⋅

=

⋅

=

I

X

U

C

C

• wskazania woltomierzy

V

4

,

204

4

,

177

5

,

101

2

2

2

2

1

=

+

=

+

=

L

R

U

U

U

V

5

,

110

9

,

287

4

,

177

2

=

−

=

−

=

C

L

U

U

U

• kąt przesunięcia fazowego

o

4

,

47

45

9

,

48

arctg

arctg

−

=

−

=

=

R

X

ϕ

• przebieg prądu i napięć

(

)

(

)

(

)

o

4

,

67

314

sin

2

26

,

2

4

,

47

(

20

314

sin

2

26

,

2

314

sin

2

+

⋅

=

−

−

+

⋅

=

−

+

⋅

=

t

t

I

i

o

u

ϕ

ψ

(

)

(

)

o

4

,

67

314

sin

2

5

,

101

314

sin

2

+

⋅

=

+

+

⋅

=

⋅

=

t

U

i

R

u

u

R

R

ϕ

ψ

(

)

(

)

o

o

4

,

157

314

sin

2

,

177

90

314

sin

2

+

⋅

=

+

−

+

⋅

=

t

U

u

u

L

L

ϕ

ψ

(

)

(

)

o

o

6

,

22

314

sin

2

9

,

287

90

314

sin

2

−

⋅

=

−

−

+

⋅

=

t

U

u

u

C

C

ϕ

ψ

(

)

1

2

2

1

sin

2

ϕ

ϕ

ψ

ω

+

−

+

+

⋅

=

u

L

t

X

R

I

u

o

1

2

,

60

45

5

,

78

arctg

arctg

=

=

=

R

X

L

ϕ

(

)

o

1

6

,

127

314

sin

2

4

,

204

+

⋅

=

t

u

(

)

o

2

6

,

22

314

sin

2

5

,

110

−

=

+

=

C

L

u

u

u

• wykres wektorowy

I

U

V

2

U

C

U

L

V

1

U

R

ϕ

<0

0

• podstawę wykresu stanowi wektor prądu I , gdyż elementy obwodu są podłączone

szeregowo

• linią przerywaną wykreślono napięcia wskazane przez woltomierze U

1

i U

2

Zadanie

Obwód przedstawiony na rysunku składa się z trzech impedancji:

j

Z

2

6

1

+

=

,

j

Z

5

4

2

−

=

i

j

Z

3

10

3

−

=

połączonych równolegle do sieci o napięciu U=190-110j.

U

Z

3

Z

1

Z

2

U

Z

Wyznaczyć admitancje zespolone gałęzi, wypadkową admitancję i impedancję układu

równoważnego, kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem wypadkowym, prądy

gałęziowe i prąd wypadkowy.

Rozwiązanie

• Obliczamy admitancje gałęzi

j

j

Z

Y

05

,

0

15

,

0

2

6

1

1

1

1

−

=

+

=

=

j

j

Z

Y

122

,

0

098

,

0

5

4

1

1

2

2

+

=

−

=

=

j

j

Z

Y

028

,

0

092

,

0

3

10

1

1

3

3

+

=

−

=

=

• wypadkowa admitancja obwodu

j

Y

Y

Y

Y

099

,

0

339

,

0

3

2

1

−

=

+

+

=

• wypadkowa impedancja obwodu

j

j

Y

Z

769

,

0

714

,

2

099

,

0

339

,

0

1

1

−

=

+

=

=

• Kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem wyznaczamy korzystając

z impedancji wypadkowej R=2,714, X=-0,796

o

3

,

16

2,714

0,796

-

arctg

arctg

−

=

=

=

R

X

ϕ

Odbiornik ma charakter rezystencyjno-pojemnościowy.

• Prądy gałęziowe

j

j

j

Z

U

I

26

23

2

6

110

190

1

1

−

=

+

−

=

=

j

j

j

Z

U

I

439

,

12

951

,

31

5

4

110

190

2

2

=

=

−

−

=

=

j

j

j

Z

U

I

862

,

4

459

,

20

3

10

110

190

3

3

−

=

−

−

=

=

• Prąd wypadkowy

A

63

,

77

423

,

18

41

,

75

o

7

,

13

3

2

1

i

e

I

I

I

I

−

=

−

=

+

+

=

R

e

I

m

0

I

2

U

ϕ

I

1

I

2

I

I

3

I

3

Zadania do rozwiązania

1. Zadanie

Gałąź szeregową złożoną z trzech elementów RLC włączono do sieci o napięciu

skutecznym U=100V. Obliczyć prąd, spadki napięć na elementach i wskazania

woltomierzy, jeżeli: R=5

Ω, X

L

=15

Ω, X

C

=10

Ω.

R

I

X

L

X

C

V

1

U

C

U

R

U

L

V

2

U

Odp.: I=14,14A; U

R

=70,7V; U

L

=212,1V; U

C

=141,1V; U

1

=70,7V ; U

2

=157,8V

2. Zadanie

Trzy impedancje:

j

Z

8

3

1

+

=

,

j

Z

7

4

2

−

=

i

j

Z

3

10

3

−

=

połączono równolegle

i przyłączono do sieci o napięciu U=220j.

Obliczyć admitancje zespolone gałęzi, wypadkową admitancję i impedancję układu

równoważnego, kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem

wypadkowym, prądy gałęziowe i prąd wypadkowy. Wykonać wykres wektorowy

prądu i napięcia.

U

I

I

2

I

1

Z

2

Z

1

U

I

I

I

3

Z

Z

3

Odpowiedź:

j

I

j

Y

04

,

9

11

,

24

11

,

0

041

,

0

1

1

+

=

−

=

j

I

j

Y

538

,

13

692

,

23

108

,

0

062

,

0

2

2

+

−

=

−

=

j

I

j

Y

08

,

30

4

,

4

02

,

0

140

,

0

3

3

+

=

−

=

j

I

j

Y

38

,

53

817

,

4

022

,

0

243

,

0

+

=

−

=

o

8

,

84

6

,

53

369

,

0

088

,

4

j

e

I

j

Z

=

+

=

o

16

,

5

=

ϕ