Matematyka nansowa

1. Procent, Stopa Procentowa

Denicja 1.1 Procentem nazywamy setn¡ cz¦±¢ caªo±ci.

Przykªad 1.1 Mamy na inwestycji 5000 zª. zarobi¢ 8%, tzn.

8%

· 5000 = 0, 08 · 5000 = 400zª.

Przykªad 1.2 Cena produktu ulegªa podwy»ce o 25% i wynosi 250 j.p. (jednostek

pieni¦»nych). Wyznaczy¢ poprzedni¡ cen¦ tego produktu.

Ustalamy proporcje

x

− 100%

250

− 125%

Wtedy x =

250

125%

· 100% = 200 j.p.

Przykªad 1.3 Cena produktu ulegªa obni»ce o 25%. Wyznaczyc pierwotn¡ cen¦

towaru, je±li cena obecna wynosi 250 j.p.

x

− 100%

250

− 75%

A wi¦c x =

250

75%

· 100% = 333, 33 j.p.

Denicja 1.2 Okresowa stopa procentowa jest to stosunek ceny po»yczonego ka-

pitaªu na dany okres do warto±ci tego kapitaªu.

W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopami ustalonymi dla okresu roczne-

go i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej. Stosuje si¦ równie» stopy póªroczne,

kwartalne i miesi¦czne.

1

Stopa procentowa zale»y od poziomu inacji, ryzyka po»yczenia pieni¦dzy i od mar-

»y (zysku) po»yczaj¡cego.

Denicja 1.3 Odsetkami uzyskanymi z kwoty K

0

jednostek pieni¦»nych za dany

okres (rok, kwartaª, miesi¡c) przy okresowej stopie procentowej r nazywamy iloczyn
O = r

· K

0

.

Denicja 1.4 Punktem procentowym (pp.) nazywamy bezwzgl¦dn¡ ró»nic¦ mi¦-

dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo.

Zakªadaj¡c, »e stopa bezrobocia wynosi 10%, a kilka lat wcze±niej wynosiªa 20%

mo»na powiedzie¢, »e obni»yªa si¦ ona o poªow¦, a wi¦c o 50%. Mo»na równie» po-

wiedzie¢, »e obni»yªa sie o 10 pp.

Rodzaje stóp procentowych.

Denicja 1.5 Nominalna stopa procentowa (r) jest to stopa podawana przez banki

lub inne instytucje nansowe.

Obserwowany w rzeczywisto±ci poziom stóp procentowych zale»y od poziomu in-

acji. Po wyeliminowaniu czynnika inacji otrzymamy stop¦ realn¡.

Denicja 1.6 Stopa realna (r

r

) jest to stopa nominalna pomniejszona o wpªyw

inacji.

Zachodzi nast¦puj¡cy wzór Fishera:

r = r

r

+ r

i

+ r

r

· r

i

lub

r

r

=

r

− r

i

1 + r

i

gdzie r

i

oznacza stop¦ inacji.

Przykªad 1.4 Wyznaczy¢ realna stop¦ procentow¡, je»eli stopa nominalna banku

wynosi 5%, a roczna stopa inacji 3%.

Rozwi¡zanie. r

r

=

0,05

−0,03

1+0,03

=

0,02
1,03

= 0, 0194

.

Realna stopa procentowa wynosi r

r

= 1, 94%

.

Denicja 1.7 Faktyczna stopa procentowa r

f

jest to stopa uwzgl¦dniaj¡ca podatek

dochodowy od zysków z inwestycji kapitaªowych.

2

r

f

= r

· (1 − T ), gdzie T jest stop¡ podatku dochodowego od zysków z inwestycji

kapitaªowych i w Polsce T = 19%.

Przykªad 1.5 Obliczy¢ faktyczna stop¦ procentow¡, je±li r = 4%.

Rozwi¡zanie. r

f

= 4%

· (1 − 0, 19) = 3, 24%.

Denicja 1.8. Oprocentowanie jest to czynno±¢ okresowa polegaj¡ca na dodawaniu

odsetek z posiadanego kapitaªu do tego kapitaªu.

Denicja 1.9 Oprocentowanie proste polega na tym, »e odsetki uzyskane w okre-

sach poprzednich nie podlegaj¡ oprocentowaniu w okresie nast¦pnym, s¡ tylko do-

dawane w ka»dym okresie do kapitaªu.

Oprocentowanie proste stosuje si¦ w obliczeniach dotycz¡cych bankowych trans-

akcji krótkoterminowych oraz umów zawieranych poza sfer¡ bankow¡.

Kapitaª przyszªy K

p

n

oraz kwot¦ odsetek O

n

po n okresach naliczania odsetek

obliczamy ze wzorów:

K

p

n

= K

0

· (1 + n · r),

O

n

= K

0

· n · r,

K

p

n

= K

0

+ O

n

.

Gdy stopy procentowe s¡ zmienne wtedy stosujemy wzór:

K

p

n

1

+n

2

+...+n

m

= K

0

· (1 + n

1

· r

1

+ n

2

· r

2

+ . . . n

m

· r

m

)

Przykªad 1.6 W banku, w którym roczna stopa procentowa r = 4% zªo»ono kwot¦
5000

zª. Obliczy¢ warto±¢ kapitaªu po a) roku, b) dwóch latach, c)póª roku, d) 9-ciu

miesi¡cach, e) 108-miu dniach.

Rozwi¡zanie.

Obliczamy faktyczn¡ stop¦ procentow¡ r

f

= 4%

· (1 − 0, 19) = 3, 24%.

a)

K

p

1

= 5000(1 + 1

· 0, 0324) = 5162 zª.

b)

K

p

2

= 5000(1 + 2

· 0, 0324) = 5324 zª.

c)

K

p

1/2

= 5000(1 +

1
2

· 0, 0324) = 5081 zª.

d)

K

p

9/12

= 5000(1 +

9

12

· 0, 0324) = 5121, 5 zª.

Warto±ci

1
2

· 0, 0324 oraz

9

12

· 0, 0324 nosz¡ nazwy stóp sródokresowych (lub pod-

okresowych) odpowiednio póªrocznej i miesi¦cznej.

3

Ogólnie stopa ±ródokresowa i

k

= a

·r, gdy r jest na ogóª roczn¡ stop¡ procentow¡

oraz a cz¦±ci¡ roku.

e) W praktyce bankowej przyjmuje si¦, »e rok ma 360 dni, a ka»dy miesi¡c 30 dni.

K

p

= 5000(1 +

108
360

· 0, 0324) = 5048, 6 zª.

Przykªad 1.7 Obliczy¢ stan kapitaªu po roku, je±li warto±¢ kapitaªu pocz¡tkowe-

go wynosi 1000 zª. przy zaªo»eniu, »e roczna stopa procentowa w pierwszych 4-ch

miesi¡cach wynosi 12%, w dwóch kolejnych m-cach 10%, a w 6-ciu nast¦pnych 9%.

Rozwi¡zanie. Obliczamy faktyczne stopy procentowe.

r

1

= 12%

· 0, 81 = 9, 72%

r

2

= 10%

· 0, 81 = 8, 1%

r

3

= 9%

· 0, 81 = 7, 29%

Poszczególne ±ródokresy s¡ równe n

1

=

4

12

,

n

2

=

2

12

,

n

3

=

6

12

.

Zatem

K

p

= 1000(1 +

1

3

· 0, 0972 +

1

6

· 0, 081 +

6

12

· 0, 0729) = 1082, 35zª

Denicja 1.10 Przeci¦tn¡ stop¡ procentow¡ (r) w okresie n = n

1

+ n

2

+ . . . + n

m

nazywamy tak¡ roczn¡ stop¦ procentow¡, przy której dowolny kapitaª pocz¡tkowy

osi¡gnie po okresie n tak¡ sam¡ warto±¢ przyszª¡, któr¡ osi¡ga przy zró»nicowanych

stopach procentowych r

1

, r

2

, . . . , r

m

, tzn. musi by¢ speªnione poni»sze równanie

K

0

(1 + rn) = K

0

(1 + n

1

r

1

+ n

2

r

2

+ . . . + n

m

r

m

)

Przeci¦tna stopa procentowa

r =

1

n

m

∑

j=1

n

j

r

j

=

n

1

r

1

+ n

2

r

2

+ . . . + n

m

r

m

n

1

+ n

2

+ . . . + n

m

Przykªad 1.8 Na podstawie danych z poprzedniego przykªadu obliczy¢ r.

Rozwi¡zanie.

r =

1
3

· 0.12 +

1
6

· 0, 10 +

1
2

· 0, 09

1
3

+

1
6

+

1
2

= 0, 1017

A wi¦c r = 10, 17%.

4

Denicja 1.11 Dyskontowanie proste jest to obliczanie warto±ci kapitaªu pocz¡t-

kowego K

0

na podstawie warto±ci kapitaªu ko«cowego K

n

. Stosujemy wzór

K

0

=

K

p

n

1 + nr

Dyskontem prostym nazywamy ró»nic¦ D = K

n

− K

0

.

Przykªad 1.9 Za 30 dni mamy otrzyma¢ zapªat¦ za dostarczone towary w wyso-

ko±ci 2000 zª. Obliczy¢ bie»¡c¡ warto±¢ tej kwoty przy zaªo»eniu nominalnej stopy

procentowej r = 32%.

Rozwi¡zanie. K

0

=

2000

1+

30

360

·0,32

= 1948, 05

zª.

Denicja 1.12 Dyskontem handlowym nazywamy opªat¦ pobieran¡ z góry za prawo

korzystania z cudzego kapitaªu naliczan¡ w stosunku do kapitaªu ko«cowego.

Stosunek dyskonta handlowego do kwoty nale»nej wierzycielowi po upªywie roku

nazywamy roczn¡ stop¡ dyskontow¡ i oznaczamy przez d.

Warto±¢ dyskonta handlowego za czas n jest okre±lona wzorem

D

H

= K

n

· d · n

Kwota kapitaªu, któr¡ dªu»nik otrzymuje "do r¦ki" stanowi warto±¢ zdyskontowan¡:

K

0

= K

n

− D

H

= K

n

(1

− dn)

Przykªad 1.13 Bior¡c K

n

i K

0

z przykªadu poprzedniego obliczmy stop¦ dyskon-

tow¡ d.

Rozwi¡zanie. Najpierw obliczamy dyskonto handlowe

D

H

= K

n

− K

0

= 2000

− 1948, 05 = 51, 95.

d =

D

H

K

n

· n

=

51, 95

2000

·

30

360

= 0, 3117

Stopa dyskontowa wynosi 31, 17%, a wi¦c jest ni»sza (w tym przypadku) od stopy

procentowej.

5

Uwaga. Równo±¢ D = D

H

zachodzi wtedy, gdy prawdziwe jest równanie

n =

1

d

−

1

r

.

Przyjmuj¡c n = 1 mamy dwa równowa»ne wzory

d =

r

1 + r

lub

r =

d

1

− d

.

Wynika z nich, »e d < r. W tym przypadku r oznacza, o ile procent zwi¦ksza si¦

pocz¡tkowa warto±¢ kapitaªu po roku. Natomiast d oznacza, o ile zmniejsza si¦ ko«-

cowa warto±¢ kapitaªu w efekcie rocznego dyskontowania.

2. Procent skªadany.

Denicja 2.1 Oprocentowanie skªadane polega na tym, »e odsetki uzyskane w

okresach poprzednich podlegaj¡ oprocentowaniu wraz z kapitaªem pocz¡tkowym w

okresie nast¦pnym.

Doliczanie odsetek do kapitaªu nazywamy kapitalizacj¡ odsetek.

rok

odsetki

warto±¢ kapitaªu

0

0

K

0

1

K

0

r

K

1

= K

0

+ K

0

r = K

0

(1 + r)

2

K

1

r = K

0

(1 + r)r

K

2

= K

1

+ K

1

r = K

1

(1 + r) =

= K

0

(1 + r)(1 + r) = K

0

(1 + r)

2

3

K

2

r = K

0

(1 + r)

2

r

K

3

= K

0

(1 + r)

3

...

...

...

n

K

n

−1

r = K

0

(1 + r)

n

−1

r

K

s

n

= K

0

(1 + r)

n

Wzór na stop¦ procentow¡:

r =

n

√

K

s

n

K

0

− 1

oraz na ilo±¢ okresów oprocentowania:

n =

log

K

n

K

0

log(1 + r)

=

lnK

n

− lnK

0

ln(1 + r)

Ci¡g {K

n

} jest ci¡giem geometrycznym.

6

Przykªad 2.1 Znale¹¢ warto±¢ kapitaªu po a) 1 roku, b) 3 latach, je±li kapitaª

pocz¡tkowy K

0

= 2000

zª, a stopa procentowa r = 8%.

Rozwi¡zanie. Obliczamy stop¦ faktyczn¡ r

f

= 8%

· 0, 81 = 6, 48%.

a) K

s

1

= 2000

· (1 + 0, 0648) = 2129, 6 zª.

b) K

s

3

= 2000

· (1 + 0, 0648)

3

= 2414, 53

zª.

Warto±¢ przyszªa kapitaªu przy kapitalizacji odsetek k razy w roku wynosi:

K

s

nk

= K

0

(

1 +

r

k

)

nk

Wraz ze wzrostem liczby okresów kapitalizacji w ci¡gu roku zwi¦ksza si¦ wysoko±¢

odsetek.

Przykªad 2.2 Jak¡ warto±¢ osi¡gnie kapitaª pocz¡tkowy 1000 zª. po 2 latach w

banku oferuj¡cym stop¦ 6% w skali roku przy kapitalizacji odsetek a)póªrocznej, b)

kwartalnej, c) miesi¦cznej, d) dziennej ?

Rozwi¡zanie. r

f

= 6%

· 0.81 = 4, 86%

a) K

s

2

·2

= 1000

(

1 +

0.0486

2

)

2

·2

= 1100, 8

zª.

b) K

s

2

·4

= 1000

(

1 +

0.0486

4

)

2

·4

= 1101, 43

zª.

c) K

s

2

·12

= 1000

(

1 +

0.0486

12

)

2

·12

= 1101, 86

zª.

d) K

s

2

·360

= 1000

(

1 +

0.0486

360

)

2

·360

= 1102, 07

zª.

Przykªad 2.3 Wyznaczy¢ okres trwania depozytu, po okresie którego posiadany

kapitaª K

0

zostanie podwojony, wiedz¡c , »e roczna faktyczna stopa procentowa

r = 7, 1%

i kapitalizacja odsetek nast¦puje raz do roku.

Rozwi¡zanie. Korzystamy ze wzoru na ilo±¢ okresów kapitalizacji:

n =

ln

2K

0

K

0

ln 1, 071

=

ln 2

ln 1, 071

≈ 10

7

Uwaga. Do przybli»onej oceny okresu n, w którym kapitaª podwaja swoj¡ warto±¢

i przy zaªo»eniu rocznej stopy r (podanej w %) stosuje si¦ tzw. reguª¦ 70:

n

≈

70

r

lat

Faktycznie, warto±¢ n z ostatniego przykªadu mo»na policzy¢ szybciej

n =

70

7, 1

≈ 10lat

Denicja 2.2 Ci¡gªa kapitalizacja odsetek zachodzi gdy odsetki naliczane s¡ w

ka»dym momencie trwania lokaty. Liczba okresów kapitalizacji jest niesko«czona.

K

s

k

→∞

= lim

k

→∞

K

0

(

1 +

r

k

)

nk

= K

0

lim

k

→∞

[(

1 +

r

k

)

k
r

]

nr

= K

0

e

nr

Denicja 3. Dwie stopy oprocentowania skªadanego s¡ równowa»ne, je±li przy ka»-

dej z nich odsetki skªadane od kapitaªu pocz¡tkowego po czasie n maj¡ t¡ sam¡

warto±¢ tzn.

K

s

nk

1

= K

s

nk

2

K

0

(

1 +

r

1

k

1

)

nk

1

= K

0

(

1 +

r

2

k

2

)

nk

2

(

1 +

r

1

k

1

)

k

1

=

(

1 +

r

2

k

2

)

k

2

Równowa»no±¢ stóp nie zale»y od:

- kapitaªu pocz¡tkowego

- czasu oprocentowania

Przykªad 2.4 Bank A oferuje roczn¡ stop¦ 8% i kwartalne oprocentowanie od-

setek. Bank B oferuje roczn¡ stop¦ 9% i roczn¡ kapitalizacj¦ odsetek. Który bank

wybra¢?

Rozwi¡zanie. Obliczamy stopy efektywne:
r

1f

= 8%

· 0, 81 = 6, 48%,

r

2f

= 9%

· 0, 81 = 7, 29%.

(

1 +

0,0648

4

)

4

= 1, 0664

,

(

1 +

0,0729

1

)

1

= 1, 0729

.

Z ostatnich oblicze« wnioskujemy, »e bank B oferuje lepsze warunki oprocentowania

lokat.

8

Uwaga. Przy wy»szych stopach procentowych cz¦stsza kapitalizacja ma wi¦ksze

znaczenie.

Przykªad 2.5 Zaªó»my, »e bank A oferuje faktyczn¡ (dla uproszczenia oblicze«)

stop¦ procentow¡ 11% w jednym roku, a w kolejnym 12% i kwartaln¡ kapitalizacj¦.

Bank B oferuje w tych samych latach stopy równe odpowiednio 11, 5% i12, 5% ale

kapitalizacj¦ roczn¡. Który bank wybra¢?

Rozwi¡zanie. Po obliczeniach

(

1 +

0,11

4

)

4

= 1, 1146

,

(

1 +

0,115

1

)

1

= 1, 115

,

(

1 +

0,12

4

)

4

= 1, 1255

,

(

1 +

0,125

1

)

1

= 1, 12

.

stwierdzamy, »e w pierwszym roku lepiej wybra¢ bank B, a w nast¦pnym bank A.

Warto±¢ przyszª¡ kapitaªu dla zmiennej stopy procentowej liczymy ze wzoru:

K

s

n

1

+n

2

+...+n

m

= K

0

(1 + r

1

)

n

1

(1 + r

2

)

n

2

. . . (1 + r

m

)

n

m

Przeci¦tna stopa procentowa r w okresie n speªnia równanie:

K

0

(1 + r)

n

= K

0

(1 + r

1

)

n

1

(1 + r

2

)

n

2

. . . (1 + r

m

)

n

m

,

z którego obliczamy

r =

n

√

(1 + r

1

)

n

1

(1 + r

2

)

n

2

. . . (1 + r

m

)

n

m

− 1

Przykªad 2.6 Roczna stopa procentowa banku w 1-szym roku wynosi 7%, a w

dwóch nast¦pnych 6%. Ustali¢ warto±¢ kapitaªu po 3-ch latach, je±li warto±¢ pocz¡t-

kowa kapitaªu K

0

= 1000

zª. Kapitalizacja odsetek jest roczna. Znale¹¢ r.

Rozwi¡zanie. Obliczamy stopy efektywne:
r

1f

= 7%

· 0, 81 = 5, 67%,

r

2f

= 6%

· 0, 81 = 4, 86%.

Warto±¢ przyszªa kapitaªu wynosi

K

s

1+2

= 1000(1 + 0, 0567)(1 + 0, 0486)

2

= 1161, 90

Z oblicze« r =

3

√

1, 07

· 1, 06

2

− 1 = 0, 0633 otrzymujemy warto±¢ 6, 33%, która

jest przeci¦tn¡ stop¡ procentow¡.

9

Denicja 2.4 Efektywn¡ stop¡ procentow¡ r

e

nazywamy stop¦ oprocentowania

rocznego, która przynosi ten sam efekt kapitalizacji rocznej co kapitalizacja o danej

nominalnej stopie procentowej w krótszych okresach ni» rok.

r

e

=

(

1 +

r

k

)

k

− 1

gdzie k - ilo±¢ kapitalizacji w ci¡gu roku,
r

- nominalna stopa procentowa.

Uwaga. Je±li kapitalizacja odsetek zachodzi raz do roku to stopa efektywna jest

równa stopie nominalnej.

Uwaga. Je±li uwzgl¦dnimy podatek dochodowy od zysków z inwestycji kapitaªo-

wych to otrzymamy tak zwan¡ faktyczn¡ efektywn¡ stop¦ procentow¡.

Uwaga. r

e

umo»liwia porównanie ró»nych warunków oprocentowania

Przykªad 2.7 Bank A oferuje nominaln¡ stop¦ procentow¡ 24% przy miesi¦cznej

kapitalizacji odsetek, bank B stop¦ 25%, przy kwartalnej kapitalizacji odsetek. Któ-

ry bank oferuje wy»sz¡ efektywn¡ stop¦ procentow¡?

Rozwi¡zanie. Dla banku A otrzymujemy r

e

=

(

1 +

0,24

12

)

12

− 1 = 0, 268,

a dla banku B r

e

=

(

1 +

0,25

4

)

4

− 1 = 0, 274. Bank B oferuje lepsze warunki lokaty

kapitaªu.

Odwrotno±ci¡ poj¦cia stopy efektywnej jest okresowa stopa równowa»na .

Denicja 2.5 Okresowa stopa równowa»na r

d

jest stopa procentowa, przy której

±ródokresowa (podokresowa) kapitalizacja odsetek przynosi ten sam efekt co kapi-

talizacja okresowa o danej stopie % w ci¡gu tego samego czasu trwania depozytu.

r

d

= k

(

k

√

1 + r

− 1

)

gdzie k - liczba dziel¡ca okres na ±ródokresy.

Przykªad 2.8 Bank proponuje kapitalizacj¦ roczn¡ przy rocznej stopie równej 8%.

Jaka powinna by¢ a) póªroczna, b) kwartalna stopa równowa»na.

10

Rozwi¡zanie. a) r

d

= 2(

√

1 + 0, 08

− 1) = 0, 0785.

b) r

d

= 4(

4

√

1 = 0, 08

− 1) = 0, 0777.

Póªroczna stopa równowa»na wynosi 7, 85%, a kwartalna 7, 77%.

Denicja 2.6 Dyskontowanie skªadane jest to obliczanie warto±ci kapitaªu pocz¡t-

kowego K

0

na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego K

s

n

.

K

0

=

K

s

n

(1 + r)

n

Ró»nic¦ K

n

− K

0

= D

nazywamy dyskontem skªadanym.

Przykªad 2.9 Jak¡ kwot¦ nale»y wpªaci¢ do banku by po 3-ch latach uzyska¢ kwo-

t¦ 5000 zª. je±li r = 5% przy kapitalizacji rocznej.

Rozwi¡zanie. K

0

=

5000

(1+0,05)

3

= 4319, 19

zª.

3. Kredyty

Denicja 3.1 Kredyt bankowy jest to zale»no±¢ nansowo-prawna mi¦dzy bankiem-

kredytodawc¡, a inwestorem-kredytobiorc¡, która polega na:

-oddaniu kredytobiorcy okre±lonej kwoty ±rodków pªatniczych do czasowej dyspozy-

cji na realizacj¦ okre±lonego celu

-spªaceniu kredytu wraz z odsetkami i prowizj¡ - najcz¦±ciej naliczan¡ do odsetek

zgodnie z zawart¡ umow¡ kredytow¡

- kontroli realizacji umowy i wykonania przez kredytobiorców przyznanych ±rodków

pªatniczych.

Raty kredytowe, którymi spªacamy zaci¡gni¦ty kredyt skªadaj¡ si¦ na ogóª z

dwóch cz¦±ci - raty kapitaªowej oraz raty odsetkowej. Mog¡ zawiera¢ równie» np.

rat¦ ubezpieczenia.

Rata kapitaªowa to cz¦±¢ kredytu, któr¡ spªacamy w danym okresie (najcz¦±ciej

miesi¡cu), i która pomniejsza nasz dªug wobec banku.

Rata odsetkowa zawiera naliczane za dany okres odsetki od pozostaªej do spªaty

cz¦±ci kredytu.

Najcz¦±ciej banki stosuj¡ raty malej¡ce lub raty równe.

Omówimy kolejno ka»d¡ z nich.

11

Rata malej¡ca charakteryzuje si¦ staª¡ rat¡ kapitaªow¡ oraz malej¡c¡ rat¡ odset-

kow¡.

Wówczas rata kapitaªowa

T =

S

N

,

gdzie S to kwota zaci¡gni¦tego kredytu, a N - ilo±¢ rat.

Wprowad¹my oznaczenia.

S

n

= S

− nT - kwota pozostaªego do spªacenia kredytu po wpªaceniu n-tej raty.

O

n

= S

n

−1

· r = S

(

1

−

n

−1

N

)

r

- wysoko±¢ odsetek za n-ty okres (rata odsetkowa).

r

- stopa procentowa kredytu.

A

n

= T + O

n

= T [1 + (N

− n + 1)r] - n-ta kwota pªatno±ci (n-ta rata).

W powy»szych oznaczeniach zmienna n przyjmuje warto±ci ze zbioru {1, 2, . . . , N}.

Suma wszystkich odsetek wynosi

O = O

1

+ O

2

+ . . . + O

N

= r

· S ·

N + 1

2

Š¡czna kwota pªatno±ci

A = A

1

+ A

2

+ . . . + A

N

= S

(

1 + r

N + 1

2

)

Przykªad 3.1 Klient zaci¡gn¡ª kredyt w wysoko±ci 24000 zª. na okres 4 lat wg.

stopy procentowej 25%. Kredyt ten nale»y spªaci¢ w 4-ch ratach przy zaªo»eniu rów-

no±ci rat kapitaªowych.

Rozwi¡zanie. Sporz¡dzamy tabel¦.

12

Kwota kredytu

Rata

Odsetki od

Kwota

Kwota kredytu

Rok

na pocz¡tku

kapitaªowa

pozostaªego do

pªatno±ci na koniec roku

roku

T

spªacenia kapitaªu

A

n

1

24000

6000

6000

12000

18000

2

18000

6000

4500

10500

12000

3

12000

6000

3000

9000

6000

4

6000

6000

1500

7500

0

∑

24000

15000

39000

Suma wszystkich odsetek wynosi

O = r

· S ·

N + 1

2

= 0, 25

· 24000 ·

5

2

= 15000

Š¡czna kwota pª¡tno±ci

A = S

(

1 + r

N + 1

2

)

= 24000

(

1 + 0, 25

·

5

2

)

= 39000

Równe raty kapitaªowe. Okresy spªat i kapitalizacji takie same ale inny

okres stopy procentowej.

Mamy m rat kapitaªowych w jednym okresie procentowym czyli mN rat w ogó-

le. Obliczamy ±ródokresow¡ stop¦ procentow¡ r

m

=

r

m

. We wzorach okre±laj¡cych

koszty kredytu nale»y zast¡pi¢ liczb¦ okresów procentowych N przez mN oraz r

przez r

m

. Rata kapitaªowa

T =

S

mN

Kwota kredytu do spªacenia

S

n

= S

− nT

n = 1, 2, . . . , mN.

Kwota odsetek naliczana od faktycznie pozostaªego do spªaty dªugu

O

n

= S

n

−1

· r

m

= S

(

1

−

n

− 1

mN

)

·

r

m

n = 1, 2, . . . , mN.

Suma wszystkich odsetek wynosi

O = O

1

+ O

2

+ . . . + O

mN

=

r

m

· S ·

mN + 1

2

13

n-ta kwota pªatno±ci

A

n

= T + O

n

n = 1, 2, . . . , mN.

Š¡czna kwota pªatno±ci

A = A

1

+ A

2

+ . . . + A

mN

= S

(

1 + r

m

mN + 1

2

)

Przykªad 3.2 Dane jak w przykªadzie 3.1 ale spªata kredytu i kapitalizacja odsetek

odbywa si¦ co póª roku.

Rozwi¡zanie. m=2, wi¦c ilo±¢ rat wynosi 2 · 4 = 8

Rata kapitaªowa

T =

24000

8

= 3000

,

stopa ±ródokresowa r

m

=

0,25

2

= 0125

Kwota kredytu

Rata

Odsetki od

Kwota

Kwota kredytu

Póªrocze

na pocz¡tku

kapitaªowa

pozostaªego do

pªatno±ci

na koniec

póªrocza

T

spªacenia kapitaªu

A

n

póªrocza

1

24000

3000

3000

6000

21000

2

21000

3000

2625

5625

18000

3

18000

3000

2250

5250

15000

4

15000

3000

1875

4875

12000

5

12000

3000

1500

4500

9000

6

9000

3000

1125

4125

6000

7

6000

3000

750

3750

3000

8

3000

3000

375

3375

0

∑

24000

13500

37500

Suma wszystkich odsetek wynosi

O = 0, 125

· 24000 ·

8 + 1

2

= 13500

Š¡czna kwota pª¡tno±ci

A = 24000

(

1 + 0, 125

·

8 + 1

2

)

= 37500

14

Odsetki od kredytu mog¡ by¢ naliczane nie od faktycznie pozostaªego do spªa-

cenia dªugu ale od dªugu istniej¡cego na pocz¡tku okresu procentowego. Wówczas

klient ma sytuacj¦ mniej korzystn¡.

Raty odsetkowe maj¡ nast¦puj¡ce warto±ci

O

k,n

=

r

m

S

(

1

−

n

− 1

N

)

k = 1, 2, . . . , m,

n = 1, 2, . . . , N.

Suma wszystkich odsetek wynosi

O = r

· S ·

N + 1

2

Š¡czna kwota pª¡tno±ci

A = S

(

1 + r

N + 1

2

)

Przykªad 3.3 Dane jak w przykªadzie 3.2 ale odsetki naliczane s¡ od salda na

pocz¡tku roku.

Kwota kredytu

Rata

Odsetki od

Kwota

Kwota kredytu

Póªrocze

na pocz¡tku

kapitaªowa

pozostaªego do

pªatno±ci

na koniec

póªrocza

T

spªacenia kapitaªu

A

n

póªrocza

1

24000

3000

3000

6000

21000

2

21000

3000

3000

6000

18000

3

18000

3000

2250

5250

15000

4

15000

3000

2250

5250

12000

5

12000

3000

1500

4500

9000

6

9000

3000

1500

4500

6000

7

6000

3000

750

3750

3000

8

3000

3000

750

3750

0

∑

24000

15000

39000

Suma wszystkich odsetek wynosi

O = 0, 25

· 24000 ·

4 + 1

2

= 15000

Š¡czna kwota pªatno±ci

A = 24000

(

1 + 0, 25

·

4 + 1

2

)

= 39000

15

W tym wypadku strata kredytobiorcy wynosi

∆O = rS

N + 1

2

− r

m

S

mN + 1

2

= r

m

S

m

− 1

2

= 0, 125

· 24000 ·

1

2

= 1500

Spªata kredytu w równych ratach kapitaªowych m razy w roku, odsetki

naliczane i pªacone na koniec roku.

Odsetki naliczane s¡ od pozostaªego do spªacenia kredytu w ka»dym ±ródokresie i

sumuje si¦ na koniec roku.

Warto±¢ odsetek po kolejnych okresach kapitalizacji wynosi

O

n

=

S

N

· r ·

(

N

− n +

m + 1

2m

)

n = 1, 2, . . . , N.

Š¡czna suma odsetek

O = O

1

+ O

2

+ . . . + O

N

=

r

m

· S ·

mN + 1

2

Kwota kredytu do spªacenia po n okresach kapitalizacji

S

n

= S

− n

S

mN

n = 1, 2, . . . , N.

Kwoty pªatno±ci w okresach, w których byªy naliczane odsetki

A

n

=

S

mN

+ O

n

n = 1, 2, . . . , N.

Kwoty pªatno±ci w okresach, w których nie naliczano odsetek s¡ równe racie kapita-

ªowej:

A =

S

mN

Przykªad 3.4 Klient pobiera kredyt 24000 zª. ze spªat¡ w ci¡gu 4-ch lat w o±miu

ratach ze stop¡ 25% w trzech pierwszych latach i stop¡ 26% w roku ostatnim. Ka-

pitalizacja odsetek nast¦puje raz do roku. Dodatkowo bank pobiera prowizj¦ w wy-

soko±ci 1% za udzielenie kredytu.

16

Rozwi¡zanie. Poniewa» potrzebujemy kwoty 24000, wi¦c z uwagi na prowizj¦ musimy

wyliczy¢ faktyczn¡ kwot¦ pobieranego kredytu x.

x

− 1% · x = 24000

x

· 99% = 24000

x =

24000

0, 99

= 24242

zª.

Rata kapitaªowa równa si¦

T =

24242

8

= 3030.25

Ukªadamy plan amortyzacji

Kwota kredytu

Rata

Odsetki od

Kwota

Kwota kredytu

Póªrocze

na pocz¡tku

kapitaªowa

pozostaªego do

pªatno±ci

na koniec

póªrocza

T

spªacenia kapitaªu

A

póªrocza

1

24242

3030

,25

3030

,25

21211

,75

2

21211

,75

3030

,25

3030, 25 + 2651

,47

8711

,97

18181

,5

3

18000

3030

,25

3030

,25

15151

,25

4

15000

3030

,25

2272, 69 + 1893

,91

7196

,85

12121

,25

5

12000

3030

,25

3030

,25

9090

,75

6

9000

3030

,25

1515, 13 + 1136

,35

5681

,73

6060

,5

7

6000

3030

,25

3030

,25

3030

,25

8

3000

3030

,25

787, 87 + 393

,94

4211

,06

0

∑

242420

13681

,61 37923,61

Równe raty kapitaªowe. Kapitalizacja odsetek cz¦stsza ni» spªata odsetek.

Mamy m kapitalizacji odsetek mi¦dzy kolejnymi spªatami. Mo»emy wi¦c zast¡pi¢

m-krotn¡ kapitalizacj¦ stop¡

r

m

przez jednokrotn¡ kapitalizacj¦ stop¡ efektywn¡ r

e

=

(

1 +

r

m

)

m

− 1. Wówczas poszczególne warto±ci kosztów kredytu s¡ równe:

T =

S

N

S

n

=

S

N

(N

− n)

17

O

n

=

S

N

(N

− n + 1)r

e

O = S

N + 1

2

r

e

A

n

=

S

N

[1 + (N

− n + 1)r

e

]

Raty równe.

Kredyt jest spªacany w N równych kwotach pªatno±ci, tzn.

A

1

= A

2

= . . . = A

N

= A

Gdyby kredyt nie byª spªacany to po upªywie N lat kwota S wzrosªaby do poziomu

S(1 + r)

N

= Sq

N

,

q = 1 + r

(1)

Natomiast, gdyby kredyt byª spªacany w równych ratach A, to raty te utworzyªyby

kapitaª

A + A(1 + r) + . . . + A(1 + r)

N

−1

= A

q

N

− 1

q

− 1

(2)

Z porównania wielko±ci (1) i (2) otrzymujemy wzór na staª¡ rat¦

A = Sq

N

q

− 1

q

N

− 1

gdzie q = 1 + r.

Kwota kredytu pozostaªa do spªacenia:

S

n

= S

n

−1

· q − A = Sq

n

− A

q

n

− 1

q

− 1

n = 1, 2, . . . , N

Kwota odsetek naliczana na koniec kolejnego roku:

O

n

= S

n

−1

· r

n = 1, 2, . . . , N

Rata kapitaªowa:

T

n

= A

− O

n

= S

n

−1

− S

n

n = 1, 2, . . . , N

18

Š¡czna kwota odsetek:

O = N A

− S = S

(

N q

N

q

− 1

q

N

− 1

− 1

)

Przykªad 3.5 Dane jak w przykªadzie 1. Kredyt ma by¢ spªacany w 4-ch równych

ratach.

Rozwi¡zanie. wielko±¢ raty wynosi.

A = 24000

· 1, 25

4

·

1, 25

− 1

1, 25

4

− 1

= 10162, 60163

≈ 10162, 602

Obliczamy "r¦cznie" kolejne raty odsetkowe i kapitaªowe:
O

1

= S

· r = 24000 · 0, 25 = 6000

T

1

= A

− O

1

= 4162, 602

S

1

= S

− T

1

= 24000

− 4162, 602 = 19837, 398

O

2

= S

1

· r = 4959, 35

T

2

= A

− O

2

= 10162, 602

− 4959, 35 = 5203, 26

S

2

= S

1

− T

2

= 19837, 398

− 5203, 26 = 14634, 146

O

3

= S

2

· r = 14634, 13 · 0, 25 = 3658, 537

T

3

= A

− O

3

= 10162, 602

− 3658, 537 = 6504, 065

S

3

= S

2

− T

3

= 14634, 146

− 6504, 065 = 8130, 081

O

4

= S

3

· r = 8130, 081 · 0, 25 = 2032, 52

T

4

= A

− O

4

= 10162, 602

− 2032, 52 = 8130, 082

S

4

= S

3

− T

4

= 0

Wyniki umieszczamy w tabeli.

Kwota kredytu

Rata

Odsetki od

Kwota

Kwota kredytu

Rok

na pocz¡tku

kapitaªowa

pozostaªego do

pªatno±ci na koniec roku

roku

T

n

spªacenia kapitaªu

A

1

24000

4162

,602

6000

10162

,602

19837

,398

2

19837

,39

5203

,252

4959

,35

10162

,602

14634

,146

3

14634

,13

6504

,065

3658

,537

10162

,602

8130

,081

4

8130

,081

8130

,082

2032

,52

10162

,602

0

∑

24000

,001

16650

,407

40650

,408

19

Zauwa»my, »e w przypadku staªych kwot spªaty dªugu, kolejne raty kapitaªowe rosn¡,

a raty odsetkowe malej¡. Poza tym koszt kredytu o staªych spªatach jest wi¦kszy,

poniewa» wi¦ksze kwoty kredytu pozostaj¡ do spªacenia w pó¹niejszych okresach

pªatno±ci.

Je»eli równe raty miaªyby by¢ wpªacane m razy cz¦±ciej ni» kapitalizacja odsetek

(liczona od pozostaªego do spªaty dªugu), to staªa rata równa si¦

A = Sq

N

2

2m + (m

− 1)r

·

q

− 1

q

N

− 1

Je»eli kapitalizacja odsetek odbywaªaby si¦ m razy cz¦±ciej ni» spªata kolejnych rat,

to

A = Sq

N

q

− 1

q

N

− 1

= S

·

(

1 +

r

m

)

mN

·

(1 +

r

m

)

m

− 1

(1 +

r

m

)

mN

− 1

gdzie q = 1 + r

e

, r

e

=

(

1 +

r

m

)

m

− 1

jest efektywn¡ stop¡ procentow¡ w okresie

mi¦dzy dwiema wpªatami rat.

Czasami zdarza si¦, »e kredytobiorca ma problemy ze spªat¡ kredytu i wynego-

cjowuje spªat¦ odsetek caªych lub cz¦±ciowych po pewnym czasie.

W przypadku odroczenia wszelkich pªatno±ci na okres p lat, to po tym czasie

kredyt zwi¦ksza si¦ do sumy

S(1 + r)

p

W przypadku odroczenia spªacania jedynie rat kapitaªowych przy zachowaniu spªat

rat odsetkowych O

p

= Sr

po okresie p lat pozostaje do spªacenia ta sama kwota

kredytu S.

Przykªad 3.6 Dane jak w przykªadzie 3.1. Spªata zaci¡gni¦tego kredytu ma rozpo-

cz¡¢ si¦ po upªywie 3-letniego okresu karencji a) caªego kredytu, b) rat kapitaªowych.

Rozwi¡zanie. a) Po 3-ch latach warto±¢ dªugu ro±nie do kwoty

S = 24000(1 + 0, 25)

3

= 46875

zª.

Plan amortyzacji dªugu przedstawia poni»sza tabela.

20

Kwota kredytu

Rata

Odsetki od

Kwota

Kwota kredytu

Rok

na pocz¡tku

kapitaªowa

pozostaªego do

pªatno±ci na koniec roku

roku

T

spªacenia kapitaªu

A

1

24000

−

−

−

30000

2

30000

−

−

−

37500

3

37500

−

−

−

46875

4

46875

11718

,75

11718

,75

23437

,5

35156

,25

5

35156

,25

11718

,75

8789

,06

20507

,81

23437

,5

6

23437

,5

11718

,75

5859

,38

17578

,13

11718

,75

7

11718

,75

11718

,75

2929

,69

14648

,44

0

∑

46875

29296

,88

76171

,88

Kwota odsetek wynosi

O = Sr

N + 1

2

= 46875

· 0, 25 ·

4 + 1

2

= 29296, 88

b) W ci¡gu kolejnych 3 lat b¦d¡ spªacane odsetki od zaci¡gni¦tego kredytu w wy-

soko±ci

S

· r = 24000 · 0, 25 = 6000 zª.

Pozostaªe dane w nast¦pnych latach takie jak w tabeli przykªadu 1.

W efekcie caªkowita suma spªacanych odsetek wynosi

3

· 6000 + 15000 = 33000 zª.

Do oceny kosztu kredytu nale»y wzi¡¢ ró»nic¦ pomi¦dzy przyszª¡ warto±ci¡ sumy

wszystkich pªatno±ci, a warto±ci¡ pobranego kredytu. Jest to tzw. efektywny koszt

kredytu.

K

e

= [A

1

(1 + r)

N

−1

+ A

2

(1 + r)

N

−2

+ . . . + A

N

−1

(1 + r) + A

N

]

− S

Miar¡ jednostkowego kosztu kredytu jest warto±¢

r

e

=

(

1 +

r

m

)

m

− 1,

gdzie m oznacza cz¦sto±¢ kapitalizacji odsetek przy stopie procentowej r w ci¡gu

roku.

21

4. Wkªady okresowe.

Wkªadami okresowymi nazywamy jednostkowe kwoty pieni¦»ne skªadane w rów-

nych odst¦pach czasu w celu ich kapitalizacji.

Wkªad okre±lony jest przez

- liczb¦ rat,

- wysoko±¢ raty,

- dªugo±¢ okresu mi¦dzy kolejnymi ratami,

- dat¦ pªatno±ci 1-szej raty.

Wkªady zgodne s¡ to raty dokonywane w terminach zgodnych z okresem stopy

procentowej i okresem kapitalizacji odsetek.

Oprocentowanie proste.

Wkªady okresowe w wysoko±ci K j.p. przy okresowej stopie procentowej r i okreso-

wym oprocentowaniu tworz¡ kwot¦:

- przy wpªatach dokonywanych z góry - na pocz¡tku ka»dego z n kolejnych okresów

P

+

n

= K

· n ·

(

1 +

n + 1

2

r

)

- przy wpªatach dokonywanych z doªu - pod koniec ka»dego z n kolejnych okresów

P

−

n

= K

· n ·

(

1 +

n

− 1

2

r

)

Przykªad 4.1 W banku roczna nominalna stopa% depozytów pieni¦»nych przy

rocznej kapitalizacji wynosi 12%. Wyznaczy¢ kwot¦ jak¡ nale»y wpªaca¢ z góry przez

3 kolejne kwartaªy, aby na koniec 3-go kwartaªu uzyska¢ kwot¦ 2000 zª.

Rozwi¡zanie. Z równania

P

+

3

= K

· 3 · (1 +

3 + 1

2

r)

mamy wyznaczy¢ K:

K =

2000

3

· (1 + 2 · 0, 12)

= 537, 64

zª.

22

Uwaga. W caªym tym rozdziale dotycz¡cym wkªadów okresowych stopy procentowe

traktujemy jako stopy faktyczne, a wi¦c uwzgl¦dniaj¡ce ju» podatek od inwestycji

kapitaªowych, je±li taki podatek musimy zapªaci¢.

Oprocentowanie skªadane.

Wkªady okresowe w wysoko±ci K j.p. przy okresowej stopie procentowej r i okreso-

wym oprocentowaniu tworz¡ kwot¦:

- przy wpªatach dokonywanych z góry - na pocz¡tku ka»dego z n kolejnych okresów

Q

+
n

= K(1 + r)

(1 + r)

n

− 1

r

- przy wpªatach dokonywanych z doªu - pod koniec ka»dego z n kolejnych okresów

Q

−

n

= K

(1 + r)

n

− 1

r

Przykªad 4.2 Jak¡ kwot¦ uzyskamy wpªacaj¡c do banku rocznie 12000 zª. przez

5 lat. Roczna stopa procentowa wynosi 6% przy rocznej kapitalizacji odsetek. Roz-

patrzy¢ dokonywanie wpªat a) na pocz¡tku roku, b) na koniec roku

Rozwi¡zanie.

Q

+
5

= 12000(1 + 0, 06)

(1 + 0, 06)

5

− 1

0, 06

= 71703, 82

Q

−

5

= 12000

(1 + 0, 06)

5

− 1

0, 06

= 67645, 16

Warto±ci¡ pocz¡tkow¡ K

0

wkªadów zªo»nych z n rat nazywamy sum¦ warto±ci

tych rat zaktualizowanych na pocz¡tek okresu.

Dla wpªat dokonywanych z góry:

K

0

= K(1 + r)

1

− (1 + r)

−n

r

= K

(1 + r)

n

− 1

r(1 + r)

n

−1

23

Dla wpªat dokonywanych z doªu:

K

0

= K

1

− (1 + r)

−n

r

= K

(1 + r)

n

− 1

r(1 + r)

n

Przykªad 4.3 Nowy telewizor wart 10000 zª. mo»na kupi¢ na raty wpªacaj¡c przez

2 lata na koniec kwartaªu 1622 zª. lub zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci 10000 zª. w

banku oferuj¡cym oprocentowanie 16% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek. Który

wariant bardziej si¦ opªaca?

Rozwi¡zanie. Stopa kwartalna kredytu wynosi r

m

=

16%

4

= 4%

.

Policzmy jakiej wysoko±ci kredyt S musieliby±my spªaca¢ równymi kwartalnymi ra-

tami w wysoko±ci 1622 zª przez dwa lata.

Ze wzoru na staª¡ rat¦:

1622 = S

· 1, 04

8

·

1, 04

− 1

1, 04

8

− 1

obliczamy

S = 1622

1, 04

8

− 1

0, 04

· 1, 04

8

= 10920, 51

Zauwa»my, »e obliczona warto±¢ S jest wªa±nie warto±ci¡ pocz¡tkow¡ K

0

. Poniewa»

K

0

> 10000

, wi¦c lepiej wzi¡¢ kredyt 10000 zª.

Przykªad 4.4 Stan konta w banku wynosi 10000 zª. Wyznaczy¢ kwot¦ jak¡ nale»y

wpªaca¢ pod koniec roku, by przy danej stopie procentowej 5% i rocznej kapitalizacji

stan konta po 5-ciu latach podwoiª si¦.

Rozwi¡zanie.

Q

5

= K

0

(1 + r)

5

+ K

(1 + r)

5

− 1

r

20000 = 10000(1 + 0, 05)

5

+ K

(1 + 0, 05)

5

− 1

0, 05

K =

20000

− 10000(1, 05)

5

(1, 05)

5

− 1

· 0, 05 = 1309, 75

24

Wkªady niezgodne.

I. Wpªaty dokonywane s¡ m · n razy , gdy kapitalizacja nast¦puje n razy. Wówczas

przy wpªatach dokonywanych

- z góry

Q

+
nm

= K

(

m +

m + 1

2

r

)

(1 + r)

n

− 1

r

- z doªu

Q

−

nm

= K

(

m +

m

− 1

2

r

)

(1 + r)

n

− 1

r

Przykªad 4.5 Wpªacamy 200 zª. miesi¦cznie przez 3 lata na lokacie oprocentowa-

nej 4, 8% rocznie przy kwartalnej kapitalizacji odsetek. Znale¹¢ kwot¦ jak¡ udaªo si¦

uzbiera¢ przy wpªatach a) z góry, b) z doªu.

Rozwi¡zanie. Liczymy stop¦ procentow¡ kwartaln¡.

r =

4,8%

4

= 1, 2%

,

m = 3

,

n = 4

· 3 = 12.

Q

+
3

·12

= 200

(

3 +

3 + 1

2

0, 012

)

(1 + 0, 012)

12

− 1

0, 012

= 7756, 29

Q

−

3

·12

= 200

(

3 +

3

− 1

2

0, 012

)

(1 + 0, 012)

12

− 1

0, 012

= 7725, 51

II. Kapitalizacja odbywa si¦ m razy w ci¡gu kolejnych wpªat. Przy czym okres wpªat

pokrywa si¦ z okresem stopy procentowej.

Warto±¢ przyszªa wkªadów przy wpªatach dokonywanych

- z góry

Q

+
n

= K(1 + r

e

)

(1 + r

e

)

n

− 1

r

e

= K

(

1 +

r

m

)

m

(1 +

r

m

)

mn

− 1

(1 +

r

m

)

m

− 1

- z doªu

Q

−

n

= K

(1 + r

e

)

n

− 1

r

e

= K

(1 +

r

m

)

mn

− 1

(1 +

r

m

)

m

− 1

gdzie r

e

=

(

1 +

r

m

)

m

− 1 jest efektywn¡ stop¡ procentow¡ w okresie mi¦dzy kolej-

nymi wpªatami.

25

Przykªad 4.6 Wpªaty dokonywane s¡ raz w roku w wysoko±ci 1000 zª. do ban-

ku, który oferuje kwartaln¡ kapitalizacj¦ odsetek z kwartaln¡ stop¡ procentow¡ 4%.

Obliczy¢ warto±¢ przyszª¡ wkªadów po upªywie 4-ch lat przy wpªatach a) z góry, b)

z doªu.

Rozwi¡zanie. Obliczamy r

e

= (1 + 0, 04)

4

− 1 = 0, 1699.

Q

+
4

= 1000(1 + 0, 1699)

(1 + 0, 1699)

4

− 1

0, 1699

= 6013, 01

Q

−

4

= 1000

(1 + 0, 1699)

4

− 1

0, 1699

= 5139, 76

Przykªad 4.7 Jak¡ kwot¦ nale»y wpªaca¢ przez 8 lat na pocz¡tku ka»dego póªrocza

na konto bankowe, je»eli chcemy uzyska¢ po upªywie tego czasu kwot¦ 20000 zª. Sto-

pa procentowa jest staªa i wynosi 4% rocznie, a kapitalizacja odsetek jest kwartalna.

Rozwi¡zanie. Stopa kwartalna r =

4%

4

= 1%

.

Efektywna stopa póªroczna

r

e

= (1 + 0, 01)

2

− 1 = 0, 0201

Z równania

20000 = K

·

(1 + 0, 0201)

16

− 1

0, 0201

Znajdujemy rozwi¡zanie.

K =

20000

· 0, 0201

(1, 0201)

16

− 1

= 1072, 17

Literatura.

Adamczak A., Majerowska E., Matematyka nansowa w przykªadach, Wydawnictwo

Wiedzy Gospodarczej, Sopot 2003.

Dynus M., Prewysz-Kwinto P., Matematyka nansowa, Wydawnictwo "Dom orga-

nizatora", Toru« 2005.

Podgórska M., Klimkowska J., Matematyka nansowa, PWN, Warszawa 2005.

26

Sobczyk M., Matematyka nansowa. Podstawy teoretyczne, przykªady, zadania, Agen-

cja Wydawnicza "Placet", Warszawa 2000.

Borowski J., Gola«ski R., Kasprzyk K., Melon M., Podgórska M., Matematyka -

nansowa. Przykªady, zadania, testy, rozwi¡zania, wydanie 3, Warszawa 2002.

27