plik

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

1. Wprowadzenie

raficzna forma wyników pomiaru, znana najcz

ęś

ciej jako tzw. wykres,

posiada istotne zalety, dla których jest powszechnie stosowana. Tak
wi

c pozwala ona szybko oceni

charakter badanego zjawiska, układu,

elementu elektrycznego, itp. Pod tym wzgl

dem jest wprost niezast

piona.

Umo

liwia dalej łatwe wychwycenie punktów szczególnych charakterystyki, tzn.

punktów zerowych, ekstremalnych, itp.

ne znaczenie ma równie

fakt, i

dysponuj

c sko

czon

liczb

wyników pomiaru, mo

na przez sporz

dzenie wykresu uzyska

informacje

o charakterystyce obiektu dla dowolnego jej punktu z okre

lonego przedziału.

Charakteryzowanie wła

ciwo

ci obiektów przy pomocy ró

norodnych

form graficznych stosowane jest w nauce i technice powszechnie. Nale

y przy

tym podkre

e spotykane w dokumentacjach, katalogach i innych

opracowaniach wykresy, maj

znaczenie nie tylko pogl

dowe. Bardzo cz

sto

bowiem s

wykorzystywane w praktyce projektowej, eksploatacyjnej, a tak

w badaniach naukowych jako

ródła

cisłych informacji o wła

ciwo

ciach

obiektów.

Studenci powinni to sobie u

wiadomi

by nie traktowa

sporz

dzanych

przez siebie wykresów jako czego

drugorz

dnego wobec pomiaru, lub co

gorsza, jako oderwanej od laboratoryjnej rzeczywisto

ci pracy artystycznej, co

niestety zdarza si

nad wyraz cz

sto.

Budowa układu współrz

dnych prostok

tnych

Przewa

ca wi

kszo

ść

wielko

ci fizycznych ma charakter ci

gły, a ich

obrazem graficznym jest linia ci

gła wyst

puj

ca w układzie współrz

dnych

prostok

tnych.

Układ taki tworz

dwie osie liczbowe wzajemnie do siebie prostopadłe,

o wspólnym punkcie pocz

tkowym.

liczbowa jest obrazem graficznym uporz

dkowanego zbioru

liczbowego

okre

lonego

przedziału.

demu

punktowi

prostej

przyporz

dkowana jest tu jedna i tylko jedna liczba. Wobec tego ka

dej liczbie

odpowiada jedna i tylko jedna długo

ść

odcinka prostej, b

ca odległo

danego punktu od punktu zerowego (pocz

tkowego) osi. Okre

lanie długo

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

odcinków odwzorowuj

cych poszczególne liczby danego zbioru odbywa si

w wi

kszo

ci wypadków według nast

puj

cej formuły.

a x

b y

= ⋅

(1)

gdzie:

x y

, - liczby ze zbiorów

X Y

l l

, - długo

ci odcinków odpowiadaj

ce liczbom x, y odpowiednio na

osi poziomej (odci

tych) oraz pionowej (rz

dnych)

a b

- współczynniki proporcjonalno

ci, wyra

ce długo

ci odcinków

jednostkowych na ka

dej z osi

Zasady wyło

one wy

ej ilustruje rys.1.

P(3,4)

x = 3

y = 4

= 4 cm

(b= 1cm)

= 6 cm (a = 2cm)

Rys.1. Zasada tworzenia układu współrz

dnych prostok

tnych

Tworzenie układu współrz

dnych prostok

tnych polega wi

c na obliczaniu

długo

ci stosowanych odcinków prostej, a nast

pnie przez ich odkładanie od

punktu zerowego ka

dej osi znajdowanie interesuj

cych nas punktów tej osi.

Jest oczywiste,

e tak znalezione punkty opisuje si

liczbami

przedstawianymi graficznie a nie długo

ciami odcinków (rys.1).

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

Papier milimetrowy

Do sporz

dzania układu współrz

dnych prostok

tnych bardzo przydatny

jest tzw. papier milimetrowy. Zawiera on g

siatk

utworzon

przez dwie

rodziny prostych równoległych, wzajemnie do siebie prostopadłych. Linie
prowadzone s

w odst

pach milimetrowych, a co pi

ta i co dziesi

ta z nich jest

wyró

niona wi

ksz

grubo

Podziałka logarytmiczna

Podziałka logarytmiczna znajduje zastosowanie w przypadkach, gdy

przedział zmienno

ci wielko

ci x, y jest bardzo szeroki (rys.2). Gdyby w takich

razach konstruowa

podziałk

według formuły (1), tzn. liniow

, punkty

odpowiadaj

ce małym liczbom byłyby trudne do zidentyfikowania na osi. Na

przykład punkt odpowiadaj

cy liczbie 10 musiałby le

1000 razy bli

pocz

tku układu współrz

dnych ni

punkt odpowiadaj

cy liczbie 10 000. Je

c liczbie 10 000 przyporz

dkowaliby

my odcinek długo

ci 15 cm, to liczbie

10 odpowiada

musiałby odcinek 0,015 cm, czyli tylko nieco dłu

szy od 0,1 mm.

Podziałk

logarytmiczn

tworzy si

przez przyporz

dkowanie liczbom

odcinków prostej według formuły (2).

= a

∗

log x

(2)

= b

∗

log y

gdzie:

x y

, - liczby ze zbiorów

X Y

l l

, - długo

ci odcinków odpowiadaj

ce logarytmom liczb x, y

odpowiednio na osi poziomej (odci

tych) oraz pionowej

(rz

dnych)

a b

- współczynniki proporcjonalno

ci, wyra

ce długo

ci odcinków

jednostkowych na ka

dej z osi

Podobnie jak poprzednio, równie

tym przypadku wyznaczone na osi

punkty opisuje si

przedstawianymi graficznie liczbami. Zasad

takiego

odwzorowywania liczb na osiach układu współrz

dnych prostok

tnych ilustruje

rys.2.

Zauwa

my,

e na osiach liczbowych nie znajduj

swego obrazu liczby

z przedziału 0

≤

x <1. Logarytm zera równy jest -

∞

, za

liczbom ułamkowym

odpowiadaj

ujemne warto

ci logarytmów. Liczb ułamkowych nie odwzorowuje

w tym przypadku, to znaczy w przypadku gdy operuje si

warto

ciami bardzo

ymi, dla których podziałka logarytmiczna została stworzona.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

Wobec tego za punkt pocz

tkowy ka

dej z osi, a wi

c i układu

współrz

dnych przyjmuje si

punkt odpowiadaj

cy liczbie 1 (log1 = 0).

Konstruowanie podziałki logarytmicznej jest do

ś ć

mudne, gdy konieczne

staje si

wyznaczenie na osiach liczb innych ni

10, 100, 1000 itp. Dlatego

najcz

ę ś

ciej korzysta si

z gotowego papieru logarytmicznego. Na papierze takim

na obydwu osiach naniesione s

punkty wg formuły (2) dodatkowo prowadzone

proste prostopadłe, tworz

ce g

nieregularn

siatk

100000

1000

100

10000

1000

100

P(10

,10

)

x = 10

y = 10

= b

∗

log(10

= 4 cm

(b= 1cm

)

= a

∗

log(10

)= 6cm

(a= 2 cm)

10000

Rys.2. Zasada konstruowania podziałek logarytmicznych na osiach układu

współrz

dnych prostok

tnych.

Na rys.3 przedstawiono układ punktów podstawowej sekwencji (1,10)

podziałki logarytmicznej. Odległo

ci mi

dzy punktami w pozostałych

sekwencjach (rys. 4) s

identyczne, lecz opisywane liczbami 10, 100, 1000 razy

kszymi. Jest to zrozumiałe, bowiem

log c - log d = log 10c - log 10d

1 2 3 4 5 6 7 8 9
10

Rys. 3. Rozmieszczenie punktów podstawowej sekcji podziałki logarytmicznej

Tablica 1 zawiera warto

ci logarytmów liczb z przedziału (1, 10) i ma na

celu ułatwienie

wicz

cym sporz

dzanie własnych podziałek logarytmicznych.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

Poniewa

opisywanie punktów du

ymi liczbami prowadziłoby do

pogorszenia czytelno

ci opisu, w ka

dej sekwencji stosowany jest opis przy

yciu liczb z przedziału (1,10). Ilustruje to rys. 4. W ka

dym kolejnym

przedziale liczbom tym nale

y przypisywa

warto

ci dziesi

ciokrotnie wi

ksze

w przedziale poprzednim.

Punktem pocz

tkowym osi niekoniecznie musi by

liczba 1. Ka

da z osi

e zaczyna

liczb

10, 100. itd., w zale

ci od konkretnych potrzeb.

Tablica 1

log 1 = 0,0000
log 2 = 0,3010
log 3 = 0,4771
log 4 = 0,6021
log 5 = 0,6990
log 6 = 0,7782
log 7 = 0,8451
log 8 = 0,9031
log 9 = 0,9542
log 10 = 1,0000

W u

yciu jest tak

e tzw. papier półlogarytmiczny, na którym na jednej osi

(zwykle osi rz

dnych) naniesiona jest podziałka liniowa, na drugiej za

logarytmiczna Papier taki stosowany jest w przypadkach, gdy tylko jedna ze
zmiennych funkcji y = f(x) przybiera warto

ci z bardzo szerokiego przedziału.

Samodzielne sporz

dzanie podziałki logarytmicznej

Przyst

puj

c do sporz

dzania podziałki logarytmicznej, nale

y zna

najwi

ksz

warto

ś ć

wielko

ci, która ma by

odwzorowana na osi. Na tej

podstawie okre

na potrzebn

liczb

n sekwencji podziałki (patrz rys.4),

zgodnie z warunkiem

max

≤

log X

max

≤

(3)

gdzie n - liczba naturalna

Najlepiej przy tym zaokr

gli

liczb

max

do całkowitej pot

gi dziesi

ciu,

a nast

pnie obliczy

zgodnie z (3) liczb

sekwencji podziałki.

eli np. X

max

= 86 000 Hz, to zaokr

glaj

c t

warto

ś ć

do 100 000 Hz,

otrzymujemy zgodnie z (3) n = 5.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

1 2 3 4 5 6 7 8 10

2 3 4 5 6 7 8 10

sekwencja I

sekwencja II

sekwencja III

Rys. 4. Przykład opisu osi zawieraj

cej trzy sekwencje podziałki logarytmicznej

Nie zawsze jednak tak du

a liczba sekwencji jest potrzebna. Je

li na osi

nie musz

odwzorowywane np. pojedyncze herce, to wystarczy przyj

ąć

n = 4, a gdy dodatkowo nie musz

tak

e zaznaczane dziesi

tki herców,

wtedy n = 3. Kwestia ta zostanie wyja

niona bli

ej w dalszej cz

ę ś

ci instrukcji.

Po ustaleniu liczby n, nale

y zorientowa

, jaka długo

ś ć

na osi mo

e by

przeznaczona na jedn

sekwencj

. Zale

y to od formatu posiadanego arkusza

papieru.

Niech długo

ś ć

odpowiadaj

ca jednej sekwencji wynosi L, wtedy długo

odpowiadaj

ce liczbom z przedziału (1, 10) okre

lone s

zale

= L log x

(4)

Sporz

dzaj

c samodzielnie podziałk

logarytmiczn

, mo

emy nanie

ś ć

osi te punkty, które s

nam potrzebne do sporz

dzenia wykresu, ale oprócz tego

powinni

my tak

e oznaczy

te punkty „standardowe”, tzn. spotykane na

produkowanym fabrycznie papierze logarytmicznym.

Odległo

ci l

obliczone i naniesione dla pierwszej sekwencji, mog

przeniesione cyrklem lub specjalnym przeno

nikiem na pozostałe sekwencje osi,

jak wiadomo bowiem, układ punktów dla ka

dej sekwencji jest taki sam.

Formuła (4) pozwala tak

e znale

ź ć

na papierze fabrycznym te punkty,

które nie s

oznaczone. Nale

y w tym celu zmierzy

długo

ś ć

L pojedynczej

sekwencji.

Szczegółowe zasady sporz

dzania wykresów

Niech dane b

dwa zbiory wyników pomiaru wielko

ci y, x, o których

wiadomo,

e istnieje mi

dzy nimi zwi

zek y = f(x). Nale

y na podstawie tej

ograniczonej liczby danych pomiarowych wykre

lini

gł

, która

stanowiłaby obraz graficzny funkcji y = f(x). Zadanie to nale

y wykona

według

nast

puj

cych zasad.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

1. Dokona

analizy otrzymanych z pomiaru wyników i zdecydowa

o wyborze

potrzebnego papieru (milimetrowego, logarytmicznego, czy półlogaryt-
micznego).

2. Zarysowa

lekko ołówkiem na posiadanym arkuszu papieru ramy wykresu,

pami

taj

c o konieczno

ci pozostawienia z jego lewej strony marginesu

o szeroko

ci 3 cm., z prawej za

- ok. 1,5 cm, jak te

pozostawieniu wolnego

miejsca u góry (tytuł) i u dołu wykresu (podpisy, obja

nienia). Mo

na np.

zaplanowa

wykres na planie kwadratu, albowiem wskazane jest aby obie osie

układu współrz

dnych miały zbli

one do siebie długo

ci. Okre

lanie obydwu

współrz

dnych punktów wykresu jest wtedy obarczone jednakowymi bł

dami

wzgl

dnymi.

3. Narysowa

obydwie osie układu i oznaczy

na nich tak

ilo

ś ć

punktów równo

od siebie odległych, jaka si

zmie

ci. Je

eli posługujemy si

papierem

milimetrowym, to niezale

nie od jego formatu, poleca si

oznaczenie punktów

co 5 , 10 lub 20 mm. Mniej korzystne s

odległo

ci 15 mm, ze wzgl

du na

pó

niejsze trudno

ci przy interpolowaniu (nieprzyjemne dzielenie przez 15).

Wybrane punkty oznaczamy krótkimi (2mm), prostopadłymi od osi kreskami
skierowanymi ku wn

trzu układu współrz

dnych.

4. Opisa

liczbami oznaczone punkty osi. Zadanie to wymaga wyczucia

i do

wiadczenia. Mo

na poleci

tu nast

puj

ce zasady:

a) nie wszystkie oznaczone punkty osi musz

wykorzystane.

b) nie wszystkie punkty oznaczone na osi musz

opisane liczbami, mo

na np.

opisa

co drugi oznaczony punkt, unikaj

c w ten sposób nadmiernego

zag

szczenia liczb.

c) opis powinien zapewnia

łatwo

ś ć

interpolacji, tzn. okre

lania liczb dla

punktów poło

onych mi

dzy dwoma s

siednimi punktami opisanymi.

d) warto

ś ć

ostatniego opisanego punktu powinna nieznacznie przekracza

maksymalny wynik pomiaru.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

Przykład 1

eli przy zdejmowaniu pewnej charakterystyki, zmieniano napi

cie do zera

do 220V, to o

napi

ę ć

e by

przykładowo opisana tak, jak pokazuje rys. 5.

160

220

200

180

120

100

160

240

200

120

150

120

240

210

180

Rys.5. Mo

liwe warianty opisu osi układu współrz

dnych.

5. Je

eli liczby opisuj

ce o

zbyt du

e (np. 1500) lub zbyt małe (np. 0,0002),

co mo

e pogorszy

czytelno

ś ć

opisu, wskazane jest dziesi

cio-, stu- lub

tysi

ckrotne (najwła

ciwsze) zmniejszenie ich lub zwi

kszenie, a w

lad za

tym umieszczenie na ko

cu osi stosownego mno

nika, albo zmiana jednostki

miary danej wielko

ci, tak jak to pokazano na rys.6.

1,6

2,4

2,0

1,2

0,8

0,4

x10

-3

1,6

2,4

2,0

1,2

0,8

0,4

Rys. 6. Przykład opisu osi z zastosowaniem mno

nika

6. Pocz

tkowy punkt osi nie musi by

koniecznie opisany zerem. Je

eli wyniki

pomiarów zawieraj

w przedziale liczbowym nie zawieraj

cym zera

i odległym od niego, to pocz

tek osi mo

e by

opisany liczb

blisk

naj-

mniejszemu wynikowi pomiaru.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

7. W koniecznych przypadkach dopuszczalne jest stosowanie innej skali na

półosi dodatniej, innej za

na półosi ujemnej. Jest to na przykład konieczne

przy wykre

laniu charakterystyki pr

dowo-napi

ciowej diody Zenera.

8. Obowi

zuje zasada, i

nad osi

odci

tych ( na jej ko

cu) umieszcza si

symbol wielko

ci, pod osi

- symbol jednostki (patrz rys.5 i rys. 6).

Dla osi rz

dnych zasada ta brzmi - z lewej strony osi symbol jednostki - z

prawej - symbol wielko

ci. Liczby umieszcza si

z lewej strony osi

dnych i pod osi

odci

tych.

9. W przypadku papieru logarytmicznego lub półlogarytmicznego, jeste

bardziej ograniczeni w wyborze, jako

e punkty osi układu zastajemy ju

opisane. Jak ju

wyja

niano, na papierze takim znajduje si

kilka identycznych

sekwencji

punktów

(rys.4).

ytkownik

korzysta

z jednej lub wi

cej sekwencji, przypisuj

c ponadto zastanym liczbom warto

krotnie wi

ksze (k = 1,2,3,...). Kwesti

wyja

niaj

podane ni

przykłady.

Przykład 2

Podczas bada

pewnego obiektu, zmieniano cz

stotliwo

ść

napi

cia

podawanego na jego wej

cie. Zanotowano przy tym nast

puj

ce cz

stotliwo

ci:

5, 10, 20, 40, 60, 80,100, 200, 400, 600, 800, 1000 Hz.

Sposób wykorzystania podziałki logarytmicznej jest tu jasny. Pojedynczym

hercom przypisa

nale

y punkty z I sekwencji, dziesi

tkom herców punkty z II

sekwencji, za

setkom herców - z III sekwencji. W tej ostatniej znajdzie

odwzorowanie tak

e cz

stotliwo

ść

1000 Hz (jako ostatni punkt).

Przykład 3

W podobnym do opisanego do

wiadczeniu zanotowano nast

puj

stotliwo

ci: 500, 1000, 5000, 10 000, 50 000, 100 000 Hz. Je

eli do

dyspozycji mamy podziałk

logarytmiczn

z rys. 4 (jest tu wystarczaj

ca), to

liczbom z I sekwencji nale

y przypisa

warto

ci 100 razy wi

ksze od podanych,

liczbom z ka

dej nast

pnej sekwencji dziesi

ciokrotnie wi

ksze od warto

liczb z sekwencji poprzedniej (pierwszy punkt osi oznaczy

trzeba wtedy liczb

100).

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

Sposób nanoszenia punktów i kre

lenia krzywej

Punkty wykresu nanosi si

ostrym, niezbyt mi

kkim ołówkiem, odciskaj

najpierw jego

lad punktowy, a nast

pnie przekre

laj

c go niewielkim

krzy

ykiem.

Przez naniesione punkty prowadzi si

lini

gł

, prowadz

c ołówek przy

krzywiku. Krzywik (jeden z trzech wyst

puj

cych zwykle w komplecie)

powinien obejmowa

co najmniej trzy punkty, za

kre

lona krzywa powinna

doprowadzona do połowy odległo

ci mi

dzy dwoma s

siednimi punktami.

Jej dalszy odcinek mo

e by

kre

lony przy innym poło

eniu krzywika.

Poszczególne odcinki powinny tworzy

cznie gładk

, pozbawion

jakichkolwiek załama

lini

gł

Gdyby obj

cie krzywikiem trzech punktów było niemo

liwe, nale

prowadzi

krzyw

dzy punktami tak, aby w ko

cowym rezultacie po obu

stronach wykre

lonej linii znajdowała si

w przybli

eniu taka sama liczba

punktów.

na w tym przypadku stosowa

technik

polegaj

na ł

czeniu

siednich punktów pomocniczymi odcinkami prostej, a nast

pnie prowadzeniu

krzywej przez

rodki tych odcinków.

Wszystkie pomocnicze linie musz

znacznie słabiej widoczne ni

krzywa wykresu.

eli we wspólnym układzie współrz

dnych ma by

wykre

lonych kilka

krzywych, mo

na je wyró

kolorami, nie zakrywaj

c jednak obrazu

kre

lonego ostrym ołówkiem..

Poza tym poszczególne krzywe mo

na odró

stosownymi przepisami

prowadzonymi równolegle do tych krzywych lub w inny czytelny sposób.

Pod wykresami powinien znale

ź ć

stosowny podpis oraz dodatkowe

obja

nienia, je

li potrzebne to jest do wła

ciwego zrozumienia wykresów.

Przedstawione w tej instrukcji zasady, nie wyczerpuj

wszystkich

zagadnie

zwi

zanych z graficznym przedstawianiem wyników pomiarów.

Wynika to m.in. z mnogo

ci przypadków, z jakimi mo

na si

spotka

w prak-

tyce pomiarowej.

Swoje umiej

tno

ci w tej dziedzinie nale

y doskonali

przez uwa

ledzenie wykresów zamieszczonych w dobrych wydawnictwach naukowych

i technicznych.

wicz. Nr15 Graficzna prezentacja wyników pomiarów

2. Przebieg

wiczenia

Studenci wykre

laj

, zgodnie z poznanymi zasadami, krzywe wynikaj

ce z

przedstawionych ni

ej wyników pomiarów zawartych w Tablicy 2 oraz

Tablicy 3. Wykonane prace podlegaj

ocenie i decyduj

o zaliczeniu

wiczenia.

Zadanie 1

Wykre

l charakterystyk

I = f(U) na podstawie wyników pomiaru

zawartych w Tablicy 2.

Tablica 2

1,5

3,0

4,5

6,0

7,5

9,0

10,5

2,3

3,6

5,9

6,6

8,4

8,3

9,3

Zadanie 2

Wykre

l charakterystyk

R = f(I) na podstawie wyników pomiaru

zawartych w Tablicy 3.

Tablica 3

Ω

67,5 54,5 43,5 33,8 25,5 19,1 14,3 11,2

Zadanie 3

(studenci samodzielnie sporz

dzaj

podziałk

logarytmiczn

)

Wykre

l funkcj

y = x

dla nast

puj

cych warto

ci argumentu x:

Tablica 4

1 2

100

200

500

1000

dy z trzech wykresów nale

y zamie

na oddzielnym arkuszu papieru

milimetrowego, opisa

zale

funkcyjn

, której jest on obrazem,

a tak

e poda

nazwisko i imi

autora.