I. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych zagadnień związanych z opracowaniem
wyników pomiaru.
II. Wprowadzenie
Umiejętność właściwego opracowania wyników pomiaru jest niezbędna w wielu dziedzinach
nauki, techniki oraz gospodarki.
Pomiary można ogólnie podzielić na bezpośrednie lub pośrednie. Pomiarem bezpośrednim
jest na przykład pomiar napięcia stałego za pomocą woltomierza. Przykładem pomiaru
pośredniego jest pomiar rezystancji metodą techniczną: prąd płynący przez mierzony rezystor
jest mierzony za pomocą amperomierza, a spadek napięcia na rezystorze – za pomocą
woltomierza. Rezystancja obliczana jest z prawa Ohma.
Klasyfikacja błędów
Ogólnie błędy dzieli się na:
1) systematyczne,
2) przypadkowe,
3) nadmierne (grube).
Powyższy podział powstał na podstawie obserwacji zachowania się wyników pomiaru przy
powtarzaniu doświadczenia pomiarowego.
III. Opracowanie wyników
1) Pomiar napięcia (programowany generator funkcyjny)
a) multimetr cyfrowy RIGOL (seria DM3000)
Seria pomiarowa N = 30
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{S_{x}}{\sqrt{N}} = \frac{0,000844}{\sqrt{30}} = 0.000154$
Niepewność typu B:
$u_{B}\left( x \right) = \frac{a}{\sqrt{3}}$
gdzie:
- a to rozpiętość przedziału obliczona z wzoru zawartego
w dokumentacji przyrządu.
Dla zakresu 20[V]: a = 0.2%odczytu + 0.1%zakresu
czyli:
$a = \frac{0.2}{100} \bullet 5.044133 + \frac{0.1}{100} \bullet 20 = 0.030088$
tak więc:
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030088}{\sqrt{3}} = 0.017371$
Standardowa niepewność końcowa:
$u_{C}\left( x \right) = \sqrt{\left( u_{A}\left( x \right) \right)^{2} + \left( u_{B}\left( x \right) \right)^{2}}$
uC(x) = 0.01737
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 30:
U = 5.044 ± 0.017[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 10
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,000500}{\sqrt{10}} = 0.000158$
Niepewność typu B:
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030095}{\sqrt{3}} = 0.017375$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.01737
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:
U = 5.048 ± 0.017[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 4
Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):
- liczba stopni swobody
k = N − 1 = 3
- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i
stopnia swobody
tk, α = 1.20
$S_{x} = \frac{0.0005}{\sqrt{4}} = 0.00025$
uA(x) = tk, α • Sx = 1.20 • 0.00025 = 0.000208
Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030098}{\sqrt{3}} = 0.017377$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.017378
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:
U = 5.049 ± 0.017[V]
b) multimetr cyfrowy METEX
Seria pomiarowa N = 30
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,000889}{\sqrt{30}} = 0.000162$
Niepewność typu B:
a = 1%odczytu + 3dgts
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.050195}{\sqrt{3}} = 0.02898$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.02898
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:
U = 5.037 ± 0.028[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 10
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,001}{\sqrt{10}} = 0.000316$
Niepewność typu B:
a = 1%odczytu + 3dgts
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.050187}{\sqrt{3}} = 0.02897$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.02897
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:
U = 5.037 ± 0.028[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 4
Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):
- liczba stopni swobody
k = N − 1 = 3
- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i
stopnia swobody
tk, α = 1.20
$S_{x} = \frac{0.001}{\sqrt{4}} = 0.0005$
uA(x) = tk, α • Sx = 1.20 • 0.0005 = 0.0006
Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.05016}{\sqrt{3}} = 0.02979$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.029796
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:
U = 5.035 ± 0.029[V]
2) Pomiar napięcia (autotransformator)
a) multimetr cyfrowy RIGOL (seria DM3000)
Seria pomiarowa N = 30
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{S_{x}}{\sqrt{N}} = \frac{0,010502}{\sqrt{30}} = 0.001917$
Niepewność typu B:
$u_{B}\left( x \right) = \frac{a}{\sqrt{3}}$
gdzie:
- a to rozpiętość przedziału obliczona z wzoru zawartego
w dokumentacji przyrządu.
Dla zakresu 20[V]: a = 0.2%odczytu + 0.1%zakresu
czyli:
$a = \frac{0.2}{100} \bullet 5.067533 + \frac{0.1}{100} \bullet 20 = 0.030135$
tak więc:
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030135}{\sqrt{3}} = 0.017398$
Standardowa niepewność końcowa:
$u_{C}\left( x \right) = \sqrt{\left( u_{A}\left( x \right) \right)^{2} + \left( u_{B}\left( x \right) \right)^{2}}$
uC(x) = 0.01737
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 30:
U = 5.068 ± 0.017[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 10
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,005}{\sqrt{10}} = 0.00158$
Niepewność typu B:
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.0301616}{\sqrt{3}} = 0.017413$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.01738
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:
U = 5.081 ± 0.017[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 4
Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):
- liczba stopni swobody
k = N − 1 = 3
- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i
stopnia swobody
tk, α = 1.20
$S_{x} = \frac{0.002875}{\sqrt{4}} = 0.00143$
uA(x) = tk, α • Sx = 1.20 • 0.00143 = 0.00171
Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030153}{\sqrt{3}} = 0.017409$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.017376
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:
U = 5.077 ± 0.017[V]
b) multimetr cyfrowy METEX
Seria pomiarowa N = 30
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,005271}{\sqrt{30}} = 0.000962$
Niepewność typu B:
a = 1%odczytu + 3dgts
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.05032}{\sqrt{3}} = 0.02905$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.02899
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:
U = 5.0745 ± 0.028[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 10
Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej):
$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,0042}{\sqrt{10}} = 0.00133$
Niepewność typu B:
a = 1%odczytu + 3dgts
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.05029}{\sqrt{3}} = 0.02903$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.029
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:
U = 5.074 ± 0.029[V]
gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest
wartością złożonej niepewności standardowej uc, a nie
jest przedziałem ufności.
Seria pomiarowa N = 4
Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):
- liczba stopni swobody
k = N − 1 = 3
- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i
stopnia swobody
tk, α = 1.20
$S_{x} = \frac{0.005375}{\sqrt{4}} = 0.00268$
uA(x) = tk, α • Sx = 1.20 • 0.00268 = 0.00321
Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):
$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.0503}{\sqrt{3}} = 0.02904$
Standardowa niepewność końcowa:
uC(x) = 0.029217
Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:
U = 5.075 ± 0.029[V]
3) Z powyższych pomiarów wywnioskowaliśmy, iż programowalny generator funkcyjny RIGOL jest dokładniejszy od autotransformatora, natomiast multimetr RIGOL jest dokładniejszy od multimetru METEX
4) Obliczenie pośrednie rezystancji
Rezystancję obliczamy ze wzoru:
$$R = \frac{U}{I}$$
Dla prądu stałego:
U = (4,785±0.030)[V]
I = (0.00472±0.000029)[A]
R = 1013.771[Ω]
Dla pomiarów pośrednich niepewności wynoszą:
Współczynniki wrażliwości oraz ci wynoszą:
R = (1013,7±6,9)[Ω]
Symbol wielkości | Oszacowanie wielkości | Niepewność standardowa | Współczynnik wrażliwości | Niepewność składowa R | Udział w niepewności złożonej |
---|---|---|---|---|---|
X | |||||
U | 4,785[V] | 0,014[V] | 211,9[1/a] | 3[Ω] | 43% |
I | 0,00472[A] | 0,000029[A] | 213767[V/A2] | 6,2[Ω] | 90% |
R | 1013,7[Ω] | 6,9[Ω] |
Budżet niepewności:
5) Charakterystyka napięciowo-prądowa żarówki