Arkusz nr 5

CAŁKI PODWÓJNE

Zadanie 1. Zapisać w postaci obszaru normalnego względem osi OX lub OY zbiór ograniczony
krzywymi: a) y=x

2

, x=y

2

; b) xy=6 , x+y=7 ; c) x+y=2, x=0, y=0; d) y=x, x+y=2, y=0 ;

e) y=lnx , x=e , y=0; f) y

2

=x+4, x=5; g) y

2

=2x, x-y-4=0.

Zadanie 2. Obliczyć całki podwójne :

a)

∬

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y=

,y=2-2

.

b)

∬

,gdzie D jest prostokątem [1,e] x [0,1] .

c)

∬

,gdzie D jest obszarem zawartym między krzywymi : y=

,y=

i x=1 .

d)

∬

,gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A(1,1) B(2,0) C(-3,-1) .

Zadanie 3. Wprowadzając współrzędne biegunowe, zapisać obszar w postaci normalnej :

a)D={(x,y)

:

} ; b) D={(x,y)

: 1

+

;

c) D={(x,y)

:

} .

Zadanie 4. Stosując zamianę zmiennych, obliczyć całki podwójne :

a)

∬

)dxdy ,gdzie D={(x,y)

} ;

b)

∬

, gdzie D={(x,y)

: 1

y } ;

c)

∬ √

dxdy ,gdzie D={(x,y)

:

-2y

d)

∬

,gdzie D={(x,y)

.

Zadanie 5. Obliczyć objętość bryły V:

a)V={(x,y,z)

: 4

b)V={(x,y,z)

c)V={(x,y,z)

Zadanie 6. Obliczyć pole płata powierzchniowego S :

a)S jest częścią płaszczyzny 2x+2y-z-13=0 wyciętą walcem

b)S jest częścią paraboloidy z = 9 -

której rzutem na płaszczyznę Oxy jest pierścień

określony nierównościami 1

;

c)S jest częścią stożka z= 1 + √

wyciętą walcem o równaniu

Zadanie 7. Obliczyć masę oraz momenty statyczne i momenty bezwładności arkusza blachy D gdzie

D= {(x,y)

} o gęstości powierzchniowej

.

Gdzie znajduje się środek ciężkości obszaru D? Wyznaczyć ten punkt.